浅谈立体几何课本例题在高考中的应用

纵观近几年高考立体几何题，不难发现基本遵循了“稳定大局、控制难度、改革探索”的指导思想和原则，难度有所降低，更着重考查学生的基础知识掌握能力，试题大多源于课本习题。课本习题是教材的重要组成部分,它蕴含着丰富的教学功能和思维模式,运用这些典型题目解答问题,具有巧妙、简捷、明快的特点。本文以课本数学必修2《立体几何》直线与平面、平面与平面之间的位置关系习题为例,说明课本习题在高考中的应用。

我们先从课本例题入手，梳理立体几何高考相关考查知识点，进而分析课本例题在高考中的应用，为同学们指明高考立体几何考查的方向。

【例1】（苏教版课本P31页）已知E、F分别是三棱锥ABCD的侧棱AB,AD的中点，求证：EF∥平面BCD.

这道例题主要考查了学生对于直线与平面位置关系的判定，以及空间想象能力和推理论证能力。

2008年、2009年、2011年的高考立体几何题的第1问全是基于本例题出题，同学们只要对课本例题了解和掌握，对于此类高考题的解答将是驾轻就熟的。

【例2】（苏教版课本P44页）在正方体ABCDA′B′C′D′中，求证：平面A′C′CA⊥平面B′D′DB.

这道例题主要考查了学生对于平面与平面位置关系的判定，2008年、2009年、2011年的高考立体几何题的第2问均出自于本例题，面面垂直的判定看似简单，实则对于学生识图、将概念、性质灵活应用于图形以及对图形的处理能力有相当高的要求，包括会把非标准图形转化为标准图形，对图形的割、补、折、展等高考长考不衰的内容。

下面就2008年、2009年、2011年高考立体几何题进行分析和解答。

例题一（2008年江苏高考）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，

求证:（1） 直线EF∥面ACD;

（2） 面EFC⊥面BCD.

分析第1问要证明直线EF∥面ACD，只要证明直线EF和面ACD内的直线AD平行即可。

第2问要证明面EFC⊥面BCD，只要证明线面垂直。由题目可知，只要证明直线BD⊥面EFC即可。

解（1） E，F分别为AB，BD的中点軪F∥AD

軪F∥AD

AD济鍭CD

EFっ鍭CD軪F∥面ACD.

（2） EF∥AD

AD⊥BD軪F⊥BD

CD=CB

F为BD的中点軨F⊥BD

EF∩CF=F

BD⊥面EFC，又BD济鍮CD，

所以面EFC⊥面BCD.

例题二（2009年江苏高考）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E,F分别是A1B,A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.

求证：（1） EF∥平面ABC;

（2） 平面A1FD⊥平面BB1C1C.

分析第1问重点考查的是直线和平面的位置关系，由线线平行，得到线面平行。目标很明确，对于考生来讲，只要掌握最基本的判定定理，即可顺利完成证明。

第2问重点考查的是平面和平面的位置关系，要证明面面垂直，只要证明线面垂直，根据判定定理即可得到证明。

解（1） 因为E,F分别是A1B,A1C的中点，所以EF∥BC，又EFっ鍭BC，BC济鍭BC，所以EF∥平面ABC.

（2） 因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，又A1D⊥B1C，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D济鍭1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

牛刀小试

1. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是AD,DD1的中点，求证：EF∥平面A1BC1.

2. 如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC⊥平面PDB.

【参考答案】

1. 证明：连接AD1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，可知AB∥D1C1,AB=D1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，所以AD1∥BC1.因为E,F分别是AD,DD1的中点，所以AD1∥EF，则EF∥BC1，又EFっ鍭1BC1，BC1济鍭1BC1，则EF∥平面A1BC1.

2. 证明：因为PD⊥底面ABCD,AC济鍭BCD,所以AC⊥PD.

又因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD.从而可得AC⊥面PDB，又AC济鍭EC,所以平面AEC⊥平面PDB.

(作者：蔡飞，扬中市第二高级中学)