附加题——理科考生的必争之题

本文围绕解析几何与立体几何两大专题，结合2012年《考试说明》新要求，谈谈江苏高考附加题的部分相关内容——“极坐标与参数方程”、“空间向量”。其中，“极坐标与参数方程”为必考题（2008年、2009年和2011年江苏卷均考查参数方程问题，仅2010年考查了极坐标问题，一般情况下，两者不兼考），通常为容易题，分值10分；“空间向量”为选考题（2008年和2011年江苏卷曾两次考查，计算难度略有攀升，通常围绕“角”进行考查），一般为中等题，分值10分。

【例1】极坐标与参数方程

如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆x212+y24=1在第一象限处的一点P(x，y)分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M、N，求矩形PMON周长最大时点P的坐标．

分析如何利用变量来刻画点P的运动变化，进而描述矩形PMON周长是解决问题的关键，而适时地引入参数并建立三角函数模型是解决这一问题常用而有效手段。

解设x=23cosα，

y=2sinα（α为参数），

则矩形PMON周长为

43cosα+4sinα=8sinα+π3，

所以，当α=π6时，矩形PMON周长取最大值8，此时，点P（3，1).

点拨本题主要考查椭圆的参数方程的应用——一般地，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的参数方程为x=acosα，

y=bsinα（α为参数），再转化为三角函数问题来处理；同样值得重视的还有直线的参数方程、抛物线的参数方程等，注意：①曲线的参数方程通常不唯一；②参数方程中的参数是否有特殊的几何意义。

总结：处理“极坐标与参数方程”的参数问题时，通常考虑“引参”和“消参”两种常用方法（均要注意参数自身的范围），利用化归与转化的思想以期达到简单地解决问题的目的。

【变式】如图，在平面直角坐标系xOy中，自坐标原点O作一条射线分别交以O为圆心，1、2为半径的两圆于M，N两点，NT垂直于x轴于点T，MP垂直于NT于点P，求点P的轨迹方程．

分析用何种变量来刻画射线的运动变化并描述点P的坐标是解决问题的关键，而引入以角为变量的参数来表示点P的坐标是解决本题较为简单的方法。

解设∠TOM=φ，点P的坐标为(x0，y0)，

则x0=2cosφ，

y0=sinφ（φ为参数），

消去参数φ得x24+y2=1，

所以点P的轨迹方程为x24+y2=1．

点拨刻画绕原点旋转的射线的变量可以是斜率，也可以是倾斜角，选哪一个更易于解决问题是解题过程中应加以比较的。另参数方程为x=acosα，

y=bsinα（α为参数，常数a，b满足a>b>0）的普通方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，表示焦点在x轴上的椭圆。

总结：消参法是求轨迹方程的常用方法之一。一般来说，若题中没有直接给出参数时应选择合理的参数，这是解决问题的突破口，也正是本题的难点所在。

【例2】空间向量

如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD=1，D1D=2，点P在棱CC1上，且∠A1PB=π2．

（1） 求PC的长；

（2） 求二面角AA1BP的正弦值．

分析建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量处理∠A1PB=π2，从而确定点P的位置，再处理第（2）问。

解（1） 如右图，以点D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，

则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，2），

设P（0，1，λ），其中λ∈［0，2］，

因为∠A1PB=π2，

所以A1P•BP=0，

即（－1，1，λ－2）•（－1，0，λ）=0，得λ=1，

此时P（0，1，1），即有PC=1.

（2） 易得平面AA1B的一个法向量为m=DA=（1，0，0），

设平面A1BP的一个法向量为n=（x，y，z），

则n•A1P=0，

n•BP=0，即－x+y－z=0，

－x+z=0，

不妨取x=1，则y=2，z=1，即n=（1，2，1），

所以cos〈m，n〉=m•n|m||n|=11×6=66，

所以二面角AA1BP的的正弦值为306.

点拨本题主要考查空间向量的应用，考查运算求解能力，平面的法向量的求法：若（题）图中已有平面的法线，则法线所在的方向向量可作为平面的法向量。否则，可用设而求的方法求出平面的法向量。

总结：①建系、写点的坐标、向量的坐标等基本运算务必要做到正确无误，需仔细检查；②利用空间向量求二面角的大小或三角函数值时，一般不涉及利用几何直观判断二面角是锐二面角或钝二面角问题；③弄清向量夹角的余弦值与题中所求角的大小（或三角函数值）的关系，通常借助图形处理会更直观。

牛刀小试

1. （2008•江苏卷第21题C）在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．

2. （原创题）如右图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，设AD=1，D1D=λ(λ>0)，若棱C1C上存在点P满足A1P⊥平面PBD，求实数λ的取值范围．

【参考答案】

1. 设x=3cosα，

y=sinα（α为参数），则S=3cosα+sinα=2sinα+π3，所以S的最大值为2.

2. 如右图，以点D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，

则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，λ），

设P（0，1，x），其中x∈［0，λ］，

因为A1P⊥平面PBD，所以A1P•BP=0，

即（－1，1，x－λ）•（－1，0，x）=0，

化简得x2－λx+1=0，x∈［0，λ］，

故判别式Δ=λ2－4≥0，且λ>0，

解得λ≥2．

（作者：阙东进，江苏省海安高级中学）