平面几何知识在解析几何中的妙用

数学应用Shu Xue Ying Yong数学应用Shu Xue Ying Yong解析几何是从宏观上利用代数方法研究几何问题，但这些几何对象有自身的基本性质，所以微观上利用几何方法也常常有效。下面我想通过几道实例对平面几何知识在解析几何中的应用进行简单的归纳,使学生能够灵活运用平面几何知识找到简捷的解题途径，简化解题过程，减少运算量。

一、 三角形全等和相似的妙用

【命题分析】三角形全等与相似的证明是初中平面几何的教学中的重点内容，不少学生这部分知识掌握的相当不错。在处理解析几何中一些证明或求线段长的问题时，如果能巧妙利用三角形的全等与相似往往比直接利用代数法运算更简捷明快，同时又有助于学生的综合能力的培养。

【试题设计】

如图，设椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=22，M、N是椭圆右准线上的两个动点，且F1M•F2N=0.若|F1M|=|F2N|=25,求椭圆的方程.

解析延长NF2交F1M于R点，设右准线交x轴于点Q，焦距为2c.

因为e=22，所以a=2c，得|F2Q|=a2c－c=2c－c=c,

因为F1M•F2N=0，

所以∠F2NQ+∠F1MQ=90°,

又因为∠MF1Q+∠F1MQ=90°,

所以∠F2NQ=∠MF1Q,

又由|F1M|=|F2N|，∠F2QN=∠F1QM=90°，

可得△MF1Q≌△F2NQ,

则|QM|=|F2Q|=c，

又因为|F1M|=25，所以c2+9c2=20，

即c2=2，

所以椭圆的方程为x24+y22=1.

点拨本题如果利用e=22,将b,c都用a来表示,设M(2a,y1)、N(2a,y2),再利用F1M•F2N=0,|F1M|=|F2N|=25,得到关于y1,y2,a的三个方程,然后消去y1,y2求出a,此解法运算量较大，很多同学不能算出最后结果，而如果我们能抓住|F1M|与|F2N|相等，联想到通过证明△MF1Q与△F2NQ全等，得出|MQ|=|F2Q|，然后将已知量放到同一个直角三角形内，利用勾股定理求出c，过程就简捷多了。

二、 相交弦定理的妙用

【命题分析】高考大纲明确提出“以能力立意，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题”，因此高三的复习一定要重视各部分知识之间的横向、纵向联系。近几年四点共圆在解析几何中的应用成为高考命题的热点，圆内接四边形的有关知识是同学们在初中所学，遗忘太多，不少同学在解此类问题时往往无从下手。这个问题应当引起我们的高度重视。

【试题设计】

已知过点A(－1,0)的动直线l与圆C：x2+(y－3)2=4相交于P、Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N.

(１) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；

（2） 探索AM•AN是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.

解析（１） 因为l与m垂直，且km=－13，

所以kl=3，

故直线l的方程为y=3(x+1)，即3x－y+3=0，又因为圆心坐标（0，3）满足直线l的方程，

所以当l与m垂直时，l必过圆心C.

（2） 设AC交直线m于点D,当l过圆心C时,由点到直线的距离公式，得

|AD|=|－1+6|10=102,又AC=10，

则AM•AN=－|AC|×|AD|=－102×10=－5.

当l不过圆心C时，因为CM⊥MN,AD⊥m,

所以C,M,D,N四点共圆,由相交弦定理得AM•AN=－|AC|×|AD|=－5.

点拨本题若先设出直线l的方程，再将直线与圆的方程联立，利用韦达定理求出M点的坐标，然后再求出N点的坐标，如这样处理对运算要求较高。而如果巧妙利用第一问的结论，先探究出AM•AN的值，再利用相交弦定理证出无论直线l的倾斜角如何变化，AM•AN都为定值，问题就变得更为简单。解析几何中的定值问题，是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容。这类问题以直线与圆或直线与圆锥曲线位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求。

三、 切割线定理的妙用

【命题分析】初中平面几何中有切割线定理,该定理在高中数学中有许多巧妙应用、许多高考、高中数学联赛、模拟试题如果能够使用该定理,可以大大改进常规解法,减小思维量和运算量,为考试赢得宝贵的答题时间。

【试题设计】如图，过点P(5,4)作直线l与圆O：x2+y2=25交于A、B两点，若PA=2，则直线l的方程为．

解析设圆O：x2+y2=25与x轴的正半轴交于点T,

由切割线定理可得PT2=PA•PB,

又因为PA=2,PT=4，

所以PB=8,进而求得|AB|=6.

设O到AB的距离为d，

则d=25－AB22=4.

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为

y－4=k(x－5)，

即kx－y+4－5k=0，由|4－5k|1+k2=4，

解得k=0或k=409，所以直线l的方程为

y=4或40x－9y－164=0.

点拨本题传统解题思路是求出A点坐标，利用点A、P的坐标求l。而如果我们能发现点P横坐标为5就很容易求出切线PT的长，再利用切割线定理求出PB的长，进而求出弦AB的长，问题迎刃而解。

四、 角平分线性质定理的妙用

【命题分析】当今高考很注重对数学能力的考察，很多数学试题注重包装效果，目的是为了迷惑同学们的眼球，让你们分不清楚试题的难易，“不识庐山真面目，只缘身在此山中”这才是出题人真正的目的。在圆锥曲线中涉及到角平分线的问题处理时，如果能联想到应用角平分线性质定理结合圆锥曲线性质往往会简化某些问题的求解，同时也让学生领悟到数学美的所在。

【试题设计】如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A,B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为82．

（1） 求椭圆C的方程；

（2） 设点Q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1,PF2都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

解析（1） 由题意知12×2c×b=4，bc=4,4a=82,a=22,

解得b=c=2，

所以椭圆的方程为x28+y24=1.

（2） 假设存在椭圆上的一点P(x0,y0)，使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆相切，则Q到直线PF1,PF2的距离相等,即点Q在∠F1PF2的平分线上，

由角平分线性质定理|PF1||PF2|=|QF1||QF2|,

F1(－2,0),F2(2,0),Q(1,0),

得|QF1|=3,|QF2|=1,所以|PF1||PF2|=|QF1||QF2|=3,

又|PF1|+|PF2|=42,则|PF2|=2,

由焦半径公式|PF2|=22－22x0，可得22－22x0=2，即x0=2,

所以椭圆上存在点P，其坐标为(2,2)或(2,-2)，使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆(x-1)2+y2=1相切．

点拨本题一般解法是设出点P的坐标，由圆与直线PF1,PF2都相切，以及点P在椭圆上联立方程组，求出点P的坐标。此解法运算较为繁琐，而如果我们利用角平分线性质定理很快就可以求出|PF2|，再利用焦半径公式求出点P的坐标就简单多了。

牛刀小试

1. 已知点M是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上非长轴端点的点，F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，△MF1F2的内心为I，连接MI并延长交F1F2于点N,则MIIN=.

2. 直线y=kx与圆C:(x－2)2+(y－3)2=1相交于P,Q两点，则|OP|•|OQ|=.

3. 函数y=x2－2x－8的图象与坐标轴有三个交点，则过这三点的圆与坐标轴另一个交点的坐标为.

4. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k=.

【参考答案】

1. 因为I为△MF1F2的内心，所以由角平分线性质定理可得MIIN=F1MF1N=F2MF2N,

再利用合比性质可得

MIIN=F1M+F2MF1N+F2N=2a2c=aa2－b2.

2. 设OT为圆C的切线，T为切点，

则OT2=OC2－CT2=13－1=12,

由切割线定理OT2=OP•OQ=12.

3. 设点A(－2,0),B(4,0)，C(0,－8)分别为圆的图象与坐标轴的三个交点，D为另一个交点，由相交弦定理，OA•OB=OC•OD,即2×4=8×OD,则OD=1,故D(0,1).

4. 设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A、B分别作AA1、BB1垂直于l，

A1、B1为垂足，过B作BE垂直于AA1于E，

由第二定义得，|AA1|=|AF|e，|BB1|=|BF|e，

由AF=3FB，得|AA1|=3|BF|e，

cos∠BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33，

所以sin∠BAE=63,tan∠BAE=2，

即k=2.

（作者：周强,江苏海安曲塘中学）