随机单调增算子的随机不动点定理

蔺海新

（河西学院 数学与统计学院，甘肃 张掖 734000）

随机单调增算子的随机不动点定理

蔺海新

（河西学院 数学与统计学院，甘肃 张掖 734000）

利用锥理论和非对称迭代法，讨论了随机单调增算子在非连续性条件和紧性条件下的随机不动点的存在性、惟一性，同时给出了迭代序列收敛于解的误差估计。

随机增算子；随机不动点；正规锥

1 引言

近年来，随机算子随机不动点的存在性及惟一性问题引起了国内外学者的广泛关注，获得了一系列富有创新的成果，在诸多结论及所用研究方法中，迭代逼近的方法是处理非线性问题的基本方法，特别是在满足一定序条件下的非线性随机算子的不动点问题中，应用迭代的方法获得了许多好的结果[1-4]。本文利用非对称迭代的方法研究了在非连续性和紧性条件下，非线性随机增算子的不动点的存在性、惟一性及迭代收敛性，并且给出了迭代的误差估计。

2 预备知识和引理

称映射x:Ω→E 为可测向量函数（随机变量），如果对任意的B∈ε，集合

算子

称为随机算子，若对任意

为E-值随机变量。假设

为随机算子，若存在随机变量x(ω)，使得

则称x(ω)为算子A(ω,x)的随机不动点。

定义1[1]设u0∈E,v0∈E，有u0≤v0，称集合

为E中的序区间。

定义2[1]设非空集合D⊂E，算子

称为随机单调增（减）算子，是指任意给定的

是可测的，而任意给定的

3 随机单调增算子的随机不动点定理

另外，

则

根据锥P的正规性得

所以

又

得

由P的正规性得

即

40x(ω)的唯一性。假设存在y(ω)∈E，满足根据上述证明过程有

所以

即不动点唯一。

在(2)式和(3)式中令m→∞，便得到误差估计式。

50对任意的x0(ω)∈[u0,v0]，作

有

根据归纳法得：

从而

定理2设E是实Banach空间，P⊂E为E中的锥，

是随机增算子，满足下列条件：

（i）存在正有界线性算子L: E→E，L的谱半径

使得

则增算子A(ω,x)在[u0,v0]上有唯一的不动点x*(ω)，且迭代格式：

都收敛于x*，且有误差估计式：

其中N为正规常数。记

都有

证明同上（略）。

[1] 李志龙.不连续随机算子随机不动点定理及其应用[J].数学物理学报,2010,30A(2):542-547.

[2] 张宪.序压缩映射的不动点定理[J].数学学报,2005, 48(5):974-978.

[3] 李国祯.随机单调算子的随机不动点定理[J].江西师范大学学报(自然科学版),2003,28(2):136-142.

[4] 盛梅波.增算子新的不动点定理及其应用[J].华东交通大学学报,2004,21(1):114-116.

[5] 王梓坤.随机泛函分析引论[J].数学进展,1962,5(1): 45-71.

（责任编辑、校对：赵光峰）

Random Fixed Point Theorems of Random Monotone Increasing Operator

LIN Hai-xin

(Insitute of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye 734000, China)

By using the cone theory and non-symmetry iteration method, it is studied the existence and uniqueness of random fixed point of random increasing operator equations which only satisfy some ordered condition while have no continuous condition and compact condition, and the iteration sequences which converge to solution of operator equations and the error estimates are also given.

random increasing operator; random fixed point; normal cone

O211. 5

A

1009-9115(2012)02-0025-03

2011-09-19

蔺海新（1974-），男，甘肃山丹人，硕士，讲师，研究方向为随机分析。