关于丢番图方程

管训贵

（泰州师范高等专科学校 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

管训贵

（泰州师范高等专科学校 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

与阶乘有关的高次丢番图方程，一直是数论中引人关注的课题。本文研究了方程

丢番图方程；阶乘；方幂数；同余；正整数解

All positive integral solution can be reached under certaiss condition with a finite number of congruence.Key Words:diophantine equation; factorial; power number; congruence; positive integral solution

1 引言及主要结论

设N为全体正整数的集合。长期以来，高次丢番图方程的求解，一直是数论中引人关注的课题[1]。许多数学家及其数学爱好者曾对此做过大量的研究[2-4]。2005年，M. Bencze[5]提出了含有阶乘的方程

的求解问题。2006年，乐茂华[6]证明了方程（1）仅有解(m,n)=(1,1)，(2,2)。2009年，郑涛和杨仕椿[7]提出了更一般的方程

这里a是给定的整数。他们给出了a∈{-4,-2,-1,1,4}时，方程（2）的全部解。本文证明了

定理1设n≥6，

（I）若

a≡1,3,7,15,17,23,29,31,35,43,45,49,51,63,65,71,77,79, 87,91,93,99,107(mod112)，则方程(2)无解；

（II）若a≡3,7,11,13,15,23,29,31,33,39,43,47,49,51, 59,61,65,67,75,77,79,83,87,93,95,97,103,111,113,115,119, 123,129,131,139,141(mod144)，则方程(2)无解。

定理2方程(2)

当a=1时，仅有解(m,n,q)=(3,3,2)，(5,4,2)；

当a=17时，仅有解(m,n,q)=(4,4,2)；

当a=29时，仅有解(m,n,q)=(2,4,2)；

当a=-3时，仅有解(m,n,q)=(2,1,2)，(2,4,6)；

当a=-5时，仅有解(m,n,q)=(3,2,2)；

当a=-13时，仅有解(m,n,q)=(4,2,2)；

当a=-15时，仅有解(m,n,q)=(4,1,2)；

当a=-31时，仅有解(m,n,q)=(5,1,2)，(6,4,2)；

当a=-33时，仅有解(m,n,q)=(2,2,6)；

当a=-35时，仅有解(m,n,q)=(2,1,6)；

当a=-61时，仅有解(m,n,q)=(6,2,2)；

当a=-63时，仅有解(m,n,q)=(6,1,2)，(3,5,6)；

当a=-67时，仅有解(m,n,q)=(2,4,10)；

当a=-95时，仅有解(m,n,q)=(7,4,2)；

当a=-97时，仅有解(m,n,q)=(2,2,10)；

当a=-111时，仅有解(m,n,q)=(2,4,12)；

当a=-141时，仅有解(m,n,q)=(2,2,12)。

2 关键性引理

引理1（孙子剩余定理） 设m1,m2,Λ,mk（k≥2）是两两互素的正整数，令

则同余方程组

有唯一解

这里证明参见文献[8]。

引理2同余方程组

的解为a≡49r+64t(mod 112)。

证明因gcd(16,7)=1，故本题可用孙子剩余定理求解。此时m1=16，m2=7，M=112，M1=7，M2=16。由7α1≡1(mod16)可取α1=7；由16α2≡1(mod7)可取α2=4，故根据引理1知，原同余方程组的解为

引理3同余方程组

的解为a≡81r+64t(mod 144)。

证明因gcd(16,9)=1，故本题可用孙子剩余定理求解。此时m1=16，m2=9，M=144，M1=9，M2=16。由9α1≡1(mod16)可取α1=9；由16α2≡1(mod9)可取α2=4，故根据引理1知，原同余方程组的解为

3 定理证明

先证定理1。

方程(2)可化为

当n≥6时，

故

若a≡7,3,1,-1,-3,-5(mod16)，则

结合(3)知，2∣q。令q=2l(2s+1)，这里l为正整数，s为非负整数。

假如m≥4，则qm≡0(mod16)，即

与(4)矛盾，故m=2或3。

当l≥2时，qm≡0(mod 16)，即

与(4)矛盾，故此时方程(2)无解。

当l=1，m=2时，qm≡4(mod16)，即

与(4)矛盾，故此时方程(2)也无解。

当l=1，m=3时，

（I）对(5)取模7得，q3≡0,1,6(mod7)，即

考虑到n≥6时，

若再令a≡3,2,1,0(mod7)，则

(6)与(7)矛盾，说明此时方程(2)无解。

由引理2知，同余方程组

的解为

这说明n≥6且a取上述整数时，方程(2)无解。

（II）对(5)取模9得，q3≡0,1,8(mod9)，即

考虑到n≥6时，

若再令a≡2,3,4,5,6,7(mod9)，则

(8)与(9)矛盾，说明此时方程(2)无解。

由引理3知，同余方程组

的解为

这说明n≥6且a取上述整数时，方程(2)也无解。

定理1证毕。再证定理2。

当n=1,2,3,4,5时，

令

考虑n≤5的情况。

由f(1)=0, 2, 8, 32, 152知，(2)有解(m, n, q)=(3, 3, 2)，(5, 4, 2)；

由f(17)=-16, -14, -8, 16, 136知，(2)有解(m, n, q)= (4, 4, 2)；

由f(29)=-28, -26, -20, 4, 124知，(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 2)；

由f(-3)=4, 6, 12, 36, 156知，(2)有解(m, n, q)= (2, 1, 2)，(2, 4, 6)；

由f(-5)=6, 8, 14, 38, 158知，(2)有解(m, n, q)= (3, 2, 2)；

由f(-13)=14, 16, 22, 46, 166知，(2)有解(m, n, q)= (4, 2, 2)；

由f(-15)=16, 18, 24, 48, 168知，(2)有解(m, n, q)= (4, 1, 2)；

由f(-31)=32, 34, 40, 64, 184知，(2)有解(m, n, q)= (5, 1, 2)，(6, 4, 2)；

由f(-33)=34, 36, 42, 66, 186知，(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 6)；

由f(-35)=36, 38, 44, 68, 188知，(2)有解(m, n, q)= (2, 1, 6)；

由f(-61)=62, 64, 70, 94, 214知，(2)有解(m, n, q)= (6, 2, 2)；

由f(-63)=64, 66, 72, 96, 216知，(2)有解(m, n, q)= (6, 1, 2)，(3, 5, 6)；

由f(-67)=68, 70, 76, 100, 220知，(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 10)；

由f(-95)=96, 98, 104, 128, 188知，(2)有解(m, n, q)= (7, 4, 2)；

由f(-97)=98, 100, 106, 130, 190知，(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 10)；

由f(-111)=112, 114, 120, 144, 264知，(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 12)；

由f(-141)=142, 144, 150, 174, 294知，(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 12)。

再结合定理1可知结论成立。

定理2证毕。

[1] Mordell L J. Diophantine equation[M]. London: Academic press, 1969.

[2] ErdÖs, Oblat R. Uber diophantische Gleichungen der From n!=xp±ypund n!±m!=xp[J]. Acta Szeged, 1937, 8: 241-255.

[3] Guy R. Unsolved problems in Number Theory(3rd. ed.) [M]. New York: Springer Verlag, 2004.

[4] Marius O. The Diophantine equation n!+1=m2[J]. Bull London Math. Soc., 1993, 25: 104-110.

[5] Bencze M. Proposed problem 9247[J]. Octogon Math. Mag, 2005, 13(2): 1227.

[6] 乐茂华.三个含有阶乘的Diophantine方程[J].曲靖师范学院学报,2006,25(6):28-31.

[8] 管训贵.初等数论[M].合肥:中国科技大学出版社,2011.

（责任编辑、校对：赵光峰）

On the Diophantine Equation

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics, Physics ＆ Information Science, Taizhou Normal College, Taizhou 225300, China)

The higher Diophantine equation is very important in number theory. In this paper, we study the Diophantine equation

O156

A

泰州师范高等专科学校重点课题资助项目（2010-ASL-09）

2011-10-30

管训贵（1963-），男，江苏兴化人，副教授，研究方向为基础数论。

主要结果为在一定条件下求出了它的全部正整数解，所用的方法仅限于取有限模。