关于丢番图方程
2012-02-15管训贵
管训贵
(泰州师范高等专科学校 数理信息学院,江苏 泰州 225300)
管训贵
(泰州师范高等专科学校 数理信息学院,江苏 泰州 225300)
与阶乘有关的高次丢番图方程,一直是数论中引人关注的课题。本文研究了方程
丢番图方程;阶乘;方幂数;同余;正整数解
All positive integral solution can be reached under certaiss condition with a finite number of congruence.Key Words:diophantine equation; factorial; power number; congruence; positive integral solution
1 引言及主要结论
设N为全体正整数的集合。长期以来,高次丢番图方程的求解,一直是数论中引人关注的课题[1]。许多数学家及其数学爱好者曾对此做过大量的研究[2-4]。2005年,M. Bencze[5]提出了含有阶乘的方程
的求解问题。2006年,乐茂华[6]证明了方程(1)仅有解(m,n)=(1,1),(2,2)。2009年,郑涛和杨仕椿[7]提出了更一般的方程
这里a是给定的整数。他们给出了a∈{-4,-2,-1,1,4}时,方程(2)的全部解。本文证明了
定理1设n≥6,
(I)若
a≡1,3,7,15,17,23,29,31,35,43,45,49,51,63,65,71,77,79, 87,91,93,99,107(mod112),则方程(2)无解;
(II)若a≡3,7,11,13,15,23,29,31,33,39,43,47,49,51, 59,61,65,67,75,77,79,83,87,93,95,97,103,111,113,115,119, 123,129,131,139,141(mod144),则方程(2)无解。
定理2方程(2)
当a=1时,仅有解(m,n,q)=(3,3,2),(5,4,2);
当a=17时,仅有解(m,n,q)=(4,4,2);
当a=29时,仅有解(m,n,q)=(2,4,2);
当a=-3时,仅有解(m,n,q)=(2,1,2),(2,4,6);
当a=-5时,仅有解(m,n,q)=(3,2,2);
当a=-13时,仅有解(m,n,q)=(4,2,2);
当a=-15时,仅有解(m,n,q)=(4,1,2);
当a=-31时,仅有解(m,n,q)=(5,1,2),(6,4,2);
当a=-33时,仅有解(m,n,q)=(2,2,6);
当a=-35时,仅有解(m,n,q)=(2,1,6);
当a=-61时,仅有解(m,n,q)=(6,2,2);
当a=-63时,仅有解(m,n,q)=(6,1,2),(3,5,6);
当a=-67时,仅有解(m,n,q)=(2,4,10);
当a=-95时,仅有解(m,n,q)=(7,4,2);
当a=-97时,仅有解(m,n,q)=(2,2,10);
当a=-111时,仅有解(m,n,q)=(2,4,12);
当a=-141时,仅有解(m,n,q)=(2,2,12)。
2 关键性引理
引理1(孙子剩余定理) 设m1,m2,Λ,mk(k≥2)是两两互素的正整数,令
则同余方程组
有唯一解
这里证明参见文献[8]。
引理2同余方程组
的解为a≡49r+64t(mod 112)。
证明因gcd(16,7)=1,故本题可用孙子剩余定理求解。此时m1=16,m2=7,M=112,M1=7,M2=16。由7α1≡1(mod16)可取α1=7;由16α2≡1(mod7)可取α2=4,故根据引理1知,原同余方程组的解为
引理3同余方程组
的解为a≡81r+64t(mod 144)。
证明因gcd(16,9)=1,故本题可用孙子剩余定理求解。此时m1=16,m2=9,M=144,M1=9,M2=16。由9α1≡1(mod16)可取α1=9;由16α2≡1(mod9)可取α2=4,故根据引理1知,原同余方程组的解为
3 定理证明
先证定理1。
方程(2)可化为
当n≥6时,
故
若a≡7,3,1,-1,-3,-5(mod16),则
结合(3)知,2∣q。令q=2l(2s+1),这里l为正整数,s为非负整数。
假如m≥4,则qm≡0(mod16),即
与(4)矛盾,故m=2或3。
当l≥2时,qm≡0(mod 16),即
与(4)矛盾,故此时方程(2)无解。
当l=1,m=2时,qm≡4(mod16),即
与(4)矛盾,故此时方程(2)也无解。
当l=1,m=3时,
(I)对(5)取模7得,q3≡0,1,6(mod7),即
考虑到n≥6时,
若再令a≡3,2,1,0(mod7),则
(6)与(7)矛盾,说明此时方程(2)无解。
由引理2知,同余方程组
的解为
这说明n≥6且a取上述整数时,方程(2)无解。
(II)对(5)取模9得,q3≡0,1,8(mod9),即
考虑到n≥6时,
若再令a≡2,3,4,5,6,7(mod9),则
(8)与(9)矛盾,说明此时方程(2)无解。
由引理3知,同余方程组
的解为
这说明n≥6且a取上述整数时,方程(2)也无解。
定理1证毕。再证定理2。
当n=1,2,3,4,5时,
令
考虑n≤5的情况。
由f(1)=0, 2, 8, 32, 152知,(2)有解(m, n, q)=(3, 3, 2),(5, 4, 2);
由f(17)=-16, -14, -8, 16, 136知,(2)有解(m, n, q)= (4, 4, 2);
由f(29)=-28, -26, -20, 4, 124知,(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 2);
由f(-3)=4, 6, 12, 36, 156知,(2)有解(m, n, q)= (2, 1, 2),(2, 4, 6);
由f(-5)=6, 8, 14, 38, 158知,(2)有解(m, n, q)= (3, 2, 2);
由f(-13)=14, 16, 22, 46, 166知,(2)有解(m, n, q)= (4, 2, 2);
由f(-15)=16, 18, 24, 48, 168知,(2)有解(m, n, q)= (4, 1, 2);
由f(-31)=32, 34, 40, 64, 184知,(2)有解(m, n, q)= (5, 1, 2),(6, 4, 2);
由f(-33)=34, 36, 42, 66, 186知,(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 6);
由f(-35)=36, 38, 44, 68, 188知,(2)有解(m, n, q)= (2, 1, 6);
由f(-61)=62, 64, 70, 94, 214知,(2)有解(m, n, q)= (6, 2, 2);
由f(-63)=64, 66, 72, 96, 216知,(2)有解(m, n, q)= (6, 1, 2),(3, 5, 6);
由f(-67)=68, 70, 76, 100, 220知,(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 10);
由f(-95)=96, 98, 104, 128, 188知,(2)有解(m, n, q)= (7, 4, 2);
由f(-97)=98, 100, 106, 130, 190知,(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 10);
由f(-111)=112, 114, 120, 144, 264知,(2)有解(m, n, q)= (2, 4, 12);
由f(-141)=142, 144, 150, 174, 294知,(2)有解(m, n, q)= (2, 2, 12)。
再结合定理1可知结论成立。
定理2证毕。
[1] Mordell L J. Diophantine equation[M]. London: Academic press, 1969.
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[5] Bencze M. Proposed problem 9247[J]. Octogon Math. Mag, 2005, 13(2): 1227.
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[8] 管训贵.初等数论[M].合肥:中国科技大学出版社,2011.
(责任编辑、校对:赵光峰)
On the Diophantine Equation
GUAN Xun-gui
(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou Normal College, Taizhou 225300, China)
The higher Diophantine equation is very important in number theory. In this paper, we study the Diophantine equation
O156
A
泰州师范高等专科学校重点课题资助项目(2010-ASL-09)
2011-10-30
管训贵(1963-),男,江苏兴化人,副教授,研究方向为基础数论。
主要结果为在一定条件下求出了它的全部正整数解,所用的方法仅限于取有限模。