基于提升小波熵指标的梁板组合桥损伤识别研究

孙增寿，范科举

（1.郑州大学 土木工程学院，郑州 450002；2.中铁大桥局集团 第一工程有限公司，郑州 450053）

钢-混凝土组合结构可以充分发挥钢材和混凝土这两种材料的优点，具有自重轻、强度高、刚度大等优点，已被广泛应用于桥梁工程当中。由多片型钢梁与现浇钢筋混凝土桥面板组成的梁板组合结构特别适用于中、小跨径公路桥梁，如北京市从1985年建成第一座组合梁桥至今，共建成了60余座。在钢筋混凝土梁板组合桥中，为了加快施工进度，缩减工期，也经常采用钢梁和现浇混凝土板结构体系。

在梁板组合桥结构体系中，梁板之间采用刚性剪力连接件连接，一端植入梁中，另一端浇入钢筋混凝土板中，使之形成一个整体而共同受力。所以，组合梁桥受力的关键所在就是连接部位的剪力连接件，它的作用主要有两个方面：① 用来抵抗混凝土板与梁间的掀起作用，使得梁板共同受力；② 用来承受并传递梁与混凝土板之间的纵向剪力［1-2］。因此该处受力复杂，在桥梁多年服役后，由于振动、超载和环境等因素影响，有的桥梁剪力连接件损坏严重，已经影响到桥梁的正常使用。而剪力连接件通常埋植在结构内部，一般的检测方法很难检测其损伤位置。

小波变换在时、频域都具有表征信号局部特征的能力，利用一个可以伸缩和平移的可变视窗，能够聚焦到信号或函数的任意细节进行时、频域处理，既可看到信号的全貌，又可分析信号的细节，适合分析和识别结构响应中其它方法难以发现的局部损伤信息，判别结构的损伤情况［3-4］。特别是 1995 年 Sweldens［5］提出的不依赖傅里叶变换的小波构造方法-提升格式，易于进行整数小波变换、非线性小波变换和小波逆变换，实现小波变换的原位计算，大大提高了运算速度，减小了运算量和存储量［6-7］，这对在线检测和识别结构损伤是十分有利的。

另外，在信息论中常用谱熵表示每个符号所提供的平均信息量和信源的平均不确定性。所分析信号的谱熵越大，信号的不确定性就越大。但在谱熵计算过程中，基于快速傅里叶变换的功率谱估计只能反映信号的平均功率分布，不包含信号的任何时域变化信息。而用小波变换代替快速傅里叶变换所得到的小波熵即可表征信号不确定性在时域的变化情况，也可表征信号的频域特征［8］。

为此，本文将提升小波引入到熵谱分析中，提出了结构响应的提升小波时间熵和相对提升小波熵指标，采用基于提升小波熵的损伤识别方法，判别梁板组合桥中剪力连接件的损伤时刻和损伤位置。

1 提升小波变换基本理论

提升小波是一种构造紧支集双正交小波的新方法，基本提升过程分为三步：剖分、预测和更新。在实现中，最常用惰性小波做数据集的剖分；预测的目的是消除剖分后留下的冗余，给出更紧凑的数据表示；更新是为了使某一全局性质得以保障。提升小波的构造方法是基于多相矩阵P（z）或˜P（z）因式分解的提升格式。

（1）剖分

剖分（Split）是将原始信号s0［n］分为两个互不相交的子集和，即even1［n］和odd1［n］，每个子集的长度是原子集的一半。通常是将一个数列分为偶数序列和奇数序列，即：

（2）预测

预测（Predict）是利用偶数序列和奇数序列之间的相关性，由其中一个序列（一般是偶序列even1［n］）来预测另一个序列（一般是奇序列odd1［n］）。实际值odd1［n］与预测值P（even1［n］）的差值d1［n］反映了两者之间的逼近程度，称之为细节系数或小波系数，对应于原信号的高频部分。一般来说，数据的相关性越强，则小波系数的幅值就越小。如果预测是合理的，则差值数据集d1［n］所包含的信息比原始子集odd1［n］包含的信息要少得多。预测过程如下：

式中：P（·）表示预测算子。预测算子P可用预测函数Pk来表示，函数Pk可取为even1［n］中的对应数据本身或even1［n］中的对应数据的相邻数据的平均值，或者其他更复杂的函数。

（3）更新

经过剖分步骤产生子集的某些整体特征（如均值）可能与原始数据并不一致，为了保持原始数据的这些整体特征，需要一个更新（Update）过程。将更新过程用算子U（·）来代替，其过程如下：

其中，s1［n］为s0［n］的低频部分；与预测函数一样，更新算子也可以取不同函数。P与U取不同的函数，可构造出不同的小波变换。

至此，提升方法实现了信号在一个尺度上的小波分解。细节信号d1［n］是1尺度上的小波系数，反映了原始信号中的高频部分；逼近信号s1［n］为1尺度上的尺度系数，反映了原始信号中的低频部分；因此可以构造具有某种特性的小波函数和尺度函数。提升格式在j尺度上的分解与重构如图1所示。

图1 提升方法分解与重构示意图Fig.1 The diagrammatic sketch of decomposition and restucting of lifting scheme

2 提升小波熵指标

2.1 相对提升小波能量

为了计算信号的提升小波熵值，这里先引入相对提升小波能量。对给定信号序列，通过提升小波变换可以得到不同尺度下的小波系数，定义每一尺度下的小波能量为该尺度下提升小波系数的平方和：

则信号序列的总能量为：

式中：Aj（k）为第j尺度下的提升小波系数。

相对提升小波能量可定义为：

由式（6）可见，相对提升小波能量Pj之和为1，同时也反映出Pj分布在时间轴上的密集程度，这就给出了一种检测和识别信号有无异常特征的工具和方法。

2.2 提升小波时间熵

根据Shannon熵理论，提升小波熵定义如下［9］：

首先对给定信号序列s（t）进行提升小波变换，然后在变换系数序列上设定一滑动窗，设窗口宽度为τ∈N，滑动系数μ∈N，那么滑动窗为：

式中，m=1，2，…，M，其中M=（N- τ）/μ∈N，为窗口数量。依次在滑动窗内应用式（7）求提升小波熵，得到信号提升小波熵随时间的变化规律，称之为提升小波时间熵。在j尺度下的提升小波时间熵为：

在每一尺度下计算信号的Sj WTT（m），并在时间轴上绘制提升小波熵的变化曲线，进而可根据明显的提升小波时间熵峰值识别信号中的突变信息。

2.3 相对提升小波熵

给定两组不同的信号，采用提升小波对信号进行分解变换，设它们的相对提升小波能量分布分别为Pj和Qj，定义相对提升小波熵为：

对于结构损伤检测而言，可将两组信号分别看作是结构损伤前后的动力响应信号，从式（10）不难看出，若结构没有发生损伤，相对提升小波能量分布Pj和Qj基本上相同，这时相对提升小波熵值接近零；当结构存在损伤时，结构上各点动力响应的相对提升小波能量分布就会发生变化，这时相对提升小波熵就会偏离零点，特别是靠近损伤位置处的偏离较大。因此，可根据明显的相对提升小波熵峰值来识别结构损伤位置。

3 基于提升小波熵的梁板组合桥损伤识别

结构损伤识别往往是结构两种状态下自身特性或响应之间的比较，它包括两种情况：①结构损伤发生在连续监测过程中，在所测动力响应信号中隐含有损伤引发的突变信息；②拥有结构完好状态下的动力特性和动力响应信号，可通过对比损伤前后这些参数的变化情况来判断结构的损伤状况。无论哪种情况，一旦结构发生或是存在损伤，损伤前后结构响应信号的提升小波熵都将发生明显的幅值变化。下面通过梁板组合桥的数值模拟方法对两个提升小波熵指标的敏感性和识别效果进行分析。

3.1 谐波函数分析

采用式（11）所示谐波函数，其时程曲线如图2所示，在前10 s中包含1 Hz、2 Hz、和5 Hz三个频率段，而在后10 s中1 Hz的频率变为0.999 Hz，仅变化千分之一，相当于结构刚度发生微小变化。

图2 谐波函数时程曲线Fig.2 Time-history curve of harmnic function

下面通过提升小波熵指标来识别信号组分频率的微小变化。首先对谐波函数进行提升小波变换，然后在提升小波变换的基础上设定一滑动窗，依次按式（9）计算各窗口的提升小波时间熵，计算结果如图3所示。从图3可以看出，提升小波时间熵在10s处存在明显的突变，成功识别出谐波函数在10s时刻信号组分频率的微小变化。与文献［9］和一般小波变换结果比较，提升小波时间熵的突变幅值较小波时间熵的突变幅值大，是后者的1.7倍，更容易识别损伤时刻和损伤位置，且计算速度快。

图3 谐波函数提升小波时间熵Fig.3 Lifting wavelet time entropy of harmnic function

3.2 梁板组合桥的数值模拟

以图4（a）所示梁板组合桥为例进行分析研究，为单跨三梁结构形式。钢梁长6 m，翼缘板厚度为0.018 m、宽度为0.15 m，腹板厚度为0.008 m、高度为0.3 m。混凝土板厚度为0.05 m、宽度为1.14 m、长度为6 m。在每根钢梁的上翼缘板上布置两列9排栓钉剪力连接件，列间距75 mm，排间距600 mm，使钢梁的上翼缘与混凝土板紧密连接，共同受力，剪力连接件的位置如图4（b）所示。

采用有限元方法计算梁板组合桥在冲击荷载下的加速度响应，在有限元建模过程中，混凝土板采用SOLID65单元，钢梁采用SHELL63单元，剪力连接件采用线性弹簧单元，通过生死单元来控制剪力连接件的损伤。梁板组合桥的损伤工况如表1所示，模拟不同时刻、不同位置的剪力连接件损伤。

图4 梁板组合桥有限元模型Fig.4 The finite model of beam-slab composite bridge

表1 梁板组合桥损伤工况表Tab.1 The damage scenarios of beam-slab bridge

在梁板组合桥有限元动力分析计算中，采用冲击力进行激励，冲击力持时0.016 s，冲击力时程如图5所示，采样频率取1 000 Hz，采样时间取1.000 s。图6所示为提取的一节点的加速度响应时程曲线，曲线光滑渐变收缩，单从信号本身无法识别结构损伤情况。

图5 冲击力时程曲线Fig.5 Time-history curve of impact force

图6 梁板组合桥节点加速度时程曲线Fig.6 The acceleration time-history curve of a node of beam-slab bridge

采用D4小波对提取的加速度动力响应信号进行提升小波变换，并在提升小波系数序列上加滑动窗函数，依次按式（9）计算各窗口的提升小波时间熵，结果如表2柱状图所示。对工况一，提升小波时间熵在0.4 s时刻存在明显峰值，这正好与设定的0.4 s时刻剪力连接件发生损伤相一致，说明梁板组合桥在0.4 s的时刻部分剪力连接件失效。对工况二，提升小波时间熵在0.3 s和0.4 s时刻均存在明显峰值，说明此刻的信号发生了异常，对应着结构在这一时刻发生了损伤；这也与设定的损伤时刻相一致，说明梁板组合桥在0.3 s和0.4 s的时刻部分剪力连接件失效。因此，对于发生在连续检测过程当中出现的损伤，采用提升小波时间熵可以有效地识别，包括个别剪力连接件的破坏。同样，也显示出比小波时间熵突变幅值大的优势。

为了进一步确定损伤剪力连接件的位置，依次提取桥面板中线上31个节点损伤前后的加速度响应，在相同尺度下对各节点损伤前后加速度响应信号进行提升小波变换，以损伤前梁板桥为基准，按式（10）求损伤梁板桥加速度响应信号的相对提升小波熵，分析结果如表2折线图所示，显示出各节点相对提升小波熵的分布情况。对工况一，在节点16位置出现明显的相对提升小波熵峰值，说明损伤位置位于跨中，与工况一设定的剪力连接件损伤位置一致，准确识别出剪力连接件损伤位置。对工况二，在两处损伤情况下，也准确识别出剪力连接件损伤位置。

表2 梁板组合桥损伤时刻和损伤位置识别结果Tab.2 The identification result of damage time and location of beam－slab bridge

4 结论

本文将提升小波和信息熵有机结合起来，提出了提升小波时间熵和相对提升小波熵指标，并用于梁板组合桥剪力连接件损伤的检测和识别，根据分析结果可得出以下结论：

（1）提升小波时间熵对结构响应中的突变信号比较敏感，可用于梁板组合桥健康监测系统中在线检测和判定结构损伤；

（2）以完好梁板桥动力响应为基准，结构发生损伤后，各测点动力响应信号的相对提升小波熵将发生不同程度的变化，但损伤位置附近测点的相对提升小波熵谱值变化最为明显，根据相对提升小波熵指标可以准确判定梁板组合桥剪力连接件的损伤位置。

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