一种阻尼振动规律的研究

姜付锦

(武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430030)

文献[1]对在粗糙水平面上的弹簧振子的运动规律进行了定性和半定量的研究，但是没有给出振子的振动图像，不够系统和完整；文献[2]对这个模型的a-x,x-t图像进行了定性和半定量研究，分析方法科学有效；文献[3]从这个模型的“双平衡位置”的角度出发展开了研究，并得到了a-x,x-t图像和部分运动规律．笔者受到以上三篇文章中思想的启发，借助MathCAD对这个问题也进行了分析研究，得到了和以上三篇文章中相同的结果并进行了有效补充，以下是分析过程，文中若有不当之处还请各位物理同仁批评指正．

[题目]如图1所示，将一根劲度系数为κ的弹簧与一质量为m的物块相连，置于粗糙的水平面上，已知物块与水平面的滑动摩擦力大小为f，弹簧处于原长时，物块位于O点．用力向左缓慢推物块从O点至A点，且使OA=L，之后撤去外力，物块将在水平面上来回运动，试分析物块的运动规律．

图1

1 建立模型

如图2所示，物块在运动过程中会受到重力G、地面的支持力FN、弹簧的弹力F和地面的滑动摩擦力f作用，其中重力和支持力是一对平衡力．弹簧弹力F与摩擦力f是两个变力．F的大小方向与弹簧的形变有关，f的大小一定，方向与振子的运动方向相反，若将f等效为重力则弹簧振子在振动过程中有两个平衡位置(即文献[3]中所指的“双平衡位置”)．若以O点为坐标原点向右为正方向，建立坐标轴Ox，设在某一时刻物块位于P点，偏离原点的位移为x，则物块运动微分动力学方程如下

图2

2 用MathCAD解微分动力学方程

为了研究问题的方便，不妨令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2，则上式可整理为

x(0)=-10x′(0)=0

i:=1:5000S:rkfixde (x,0,40,3000,D)

T:S<0>X:=S<1>V:=S<2>

图3 弹簧振子振动x-t图像

图4 弹簧振子振动v-t图像

图5 弹簧振子速度v与位移x图像

图6 弹簧振子机械能E与位移x图像

3 图形分析

上图中图3为弹簧振子振动x-t图像，图4为弹簧振子振动速度v-t图像，图5为弹簧振子速度与位移v-t图像，图6为弹簧振子机械能E-x图像，它们与文[2][3]中的图一致．

图7 弹簧振子的x-t图像

图8 弹簧振子的v-t图像

图9 弹簧振子的v-x图像

4 弹簧振子的周期

5 弹簧振子振动规律的解析解

若令L=10 m,κ=10 N/m,m=1 kg,f=2 N,g=10 m/s2，则有

图10 弹簧振子的x-t图像

图11 弹簧振子的v-t图像

与前面的图3、图4、图5相同，即振动方程为

6 结语

参考文献

1 王兴堂．粗糙水平面上弹簧振子运动的研究.物理通报，2011(12)：90～91

2 冯德强，黄雄.从一道题的错解说弹簧振子.物理通报，2011(10)：89～91

3 陆天明.对一道双平衡位置振动问题的讨论.物理通报，2011(10)：92～93

4 姜付锦.此题还有一解——对《正确使用平均值》一文的补充.物理通报，2011(7)：94，98