两种非常见简谐振动的分析

李景琴

摘 要：本文主要分析了两种非常见的简谐振动，包括超导线圈在磁场中的振动、空气团在温度变化时的振动等。

关键词：平衡位置、回复力、振幅、周期

中图分类号：O321  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2021）10-0005-02

1 引言

做简谐振动的物体，若以平衡位置为原点，用x表示质点相对于原点的位移，则回复力为f=-kx，其中k是一个正的常数。

2 超导圆环线圈在磁场中的运动

处于超导态、半径为r₀、质量为m、自感为L的超导细圆环处在竖直放置的柱形磁棒上方，其对称轴与磁棒的对称轴重合。圆环附近的磁场具有柱对称性。磁感应强度B可用一个竖直分量B_z=B₀（1-2αz）和一个径向分量Br=B0？琢r近似的描述。这里B₀、α为大于0的常数，z、r分别为竖直和径向位置坐标，在t=0时刻，环心坐标为z=0、r=0，环上电流为I₀（规定圆环中电流的正方向与z轴正向满足右手规则），此时把圆环释放，圆环开始向下运动，其对称轴仍然保持竖直。下面讨论超导圆环的运动规律：

设某时刻t，环上的电流为I，位置坐标为z，由于为超导环，不存在电阻，故环上总电动势为0，穿过超导细圆环的磁通量保持不变。则有：

从以上分析可以看出，将一个超导线圈放在圆柱形磁棒上方，圆环将作简谐振动^[3]。

3 空气团的运动

静止的大气中不同高度处气体的温度、密度都是不同的。对于干燥的静止的空气，大气的温度T_E随高度的增大而降低，已知其变化率可表示为：

现分析大气层中的一微小空气团，当该气团发生向上的小位移的过程中，其体积要膨胀，温度变化。微气团内气体压强可认为与周围大气的压强相等，且与周围大气未来得及发生热交换，该过程视为绝热过程。已知空氣的摩尔质量μ=0.029kg，重力加速度g=9.8m/s²，z=0处大气温度T₀=300k，空气比热容比为γ=1.4，下面在上述条件下定量讨论微气团以后的运动规律^[4]。

设气团在z=0处的体积量为m。则在坐标z处时气团的加速度为：

对该气团由于可理解为理想气体，根据克拉伯龙方程有：

通过以上两例分析可以看出，除了比较有代表性的简谐振动外，还存在一些不太常见的简谐振动，其分析方法都是一样的，但其分析过程更为复杂一些。

参考文献：

〔1〕东北师范大学微分方程教研室.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，201-202.

〔2〕张三慧.大学物理学[M].北京：清华大学出版社， 190-192.

〔3〕梁灿彬，梁竹健.电磁学[M].北京：高等教育出版社，126-127.

〔4〕严军.国际国内物理奥林匹克竞赛优化解题题典[M].长春：吉林教育出版社，246-247.