力与运动的“较量”

周异平

题目：如图1所示，质量为m的物块，放在水平面上，已知物块与平面间的静摩擦因数为μ0，动摩擦因数为μ。

1问：物块对地面的压力多大？为什么？

答：物块受重力G和平面的支持力N作用，由于物块处于静止状态，所以支持力N与重力G是一对平衡力，即N=G。又因为物块对平面的压力N′与平面对物块的支持力N是一对作用力与反作用力，所以N′=N，故物块对地面的压力N′=G=mg，方向垂直于平面向下。

2问：从牛顿第二定律知道，无论怎样小的力都可以使物体产生加速度。可是，我们用一个很小的水平力去推它，却推不动它，如图2所示。这跟牛顿第二定律有无矛盾？为什么？

答：无矛盾。公式F合=ma中的F合指的是物体所受的合力。当用一个很小的水平力去推它时，物块水平方向受两个力作用：推力F和摩擦力f。由于推力F（很小）小于物块受到的最大静摩擦力f（此时物块实际受到的静摩擦力f=F），使得物块所受的合力为零，故物块的加速度为零，物块保持静止不动。

3问：水平推力F至少多大才能推动物块运动呢？

答：要把静止的物块推动，必须使水平推力F≥f=μ0N=μ0mg；要使物块保持匀速运动，必须使水平推力F=μmg。

4问：若用较大的水平推力F推动了物块，那么物块的加速度是多大？若水平推力F增大一倍，物块的加速度是否增大一倍？

答：如图3所示，物块受四个力作用。由牛顿第二定律得：

加速度a= =－μg

当水平推力F增大一倍时：

加速度a′==－μg=2a+μg

可见物块的加速度不是增大一倍，而是增大一倍多。

5问：若水平向右的推力从较大的值逐渐减小直到为零，那么物块的加速度a、速度v怎样变化？

答：由于开始时F>f，物块被推动向右运动，加速度a向右，其大小a=－μg，随着推力F的逐渐减小，加速度a也逐渐减小，但向右的速度v逐渐增大，只不过增大得越来越慢而已。当推力F=μmg时，加速度a=0，此时速度达到最大值v。当推力继续减小时，加速度向左，其大小a=μg－，随着推力F的减小，加速度a逐渐增大，而向右的速度v减小得越来越快直到为零。

6问：若物块向右运动的速度为v0时，受水平向右的推力F=2μmg的作用，经一段时间t0后撤去F的作用，再经过相等的时间t0时，又周期性地恢复F的作用，然后又周期性地撤去F的作用，那么经过10t0时间时，物块的速度是多少？位移是多少？

答：当物块受水平向右的推力F作用时，其加速度a1==μg，方向向右，其间物块向右做匀加速运动。当撤去水平推力F时，其加速度a2==μg，方向向左，其间物块向右做匀减速运动。其v-t图象如图4所示。

则经过10t0时间时，物块的速度为v0，发生的位移s=10v0t0+μgt20。

7问：如图5所示，已知斜向上的拉力F和拉力F与水平方向的夹角θ，那么物块的加速度是多少？

答：①若Fsinθ=mg时：物块受两个力作用，G与F。加速度a=，方向水平向右。

②若Fsinθ>mg时：物块受两个力作用，G与F。水平方向a=；竖直方向a=。

加速度a==，方向与水平方向夹角α=arctan=arctantanθ－。

③若Fsinθ

当Fcosθ<μ（mg－Fsinθ）时，物块静止，a=0；

当Fcosθ≥μ（mg－Fsinθ）时，物块沿水平方向运动，加速度a==－μg，方向水平向右。

8问：要使物块保持向右做匀速运动，最小拉力F是多少？方向如何？

答：解法一：如图6所示，设拉力为F，与水平方向夹角为α，则由物块匀速运动可得：

Fcosα－f=0，Fsinα+N－mg=0

又f=μN

解得：F=

令μ=tanβ，则F=

∴当α=β=arctanμ时，拉力最小F=。

解法二：由于滑动摩擦力f随正压力N的变化而变化，但比值=μ不变，即f与N的合力F1方向不变。设其合力F1与N的夹角为β，如图7所示，则tanβ=μ。

因为F、G、F1三力的合力为零，所以由图8可得：最小拉力F=mgsinβ=。

方向与水平夹角为α=β=arctanμ。

9问：如图9所示，当推力F与水平夹角α超过多少时，无论F多大都推不动物块。

答：物块刚好被推动时，受四个力作用，其中静摩擦力达到最大值fm，如图10所示。

对物块由平衡条件有：

Fcosα=f，N=Fsinα+mg

又f=μN

解得：F=

∴当cosα=μsinα，即α=arctan时，F→∞。

可见当推力F与水平夹角α超过arctan时，无论F多大，都推不动物块。