双特征值约束下的两类逆二次特征值问题

严深海

（赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000）

双特征值约束下的两类逆二次特征值问题

严深海

（赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000）

论文研究了双特征值约束下对称矩阵三元组（M、C、K）的两类逆二次特征值问题，即对于预先给定部分信息的特殊结构对称矩阵M、C、K以及两个实特征根λ和μ，通过求解立方程组得到M或K中未知元素的值.研究给出了解的存在性和解的表达式，数值算例说明了算法的有效性.

二次特征值问题；逆二次特征值问题；二次矩阵方程

0 引言

二次特征问题，是指已知矩阵三元组（M、C、K），求数λ和向量x满足Q（λ）x=0，这里Q（λ）=λ2M+λC+K，此时称满足detQ（λ）=0的λ为二次特征值，满足Q（λ）x=0的x称为对应于λ的特征向量，称（λ，x）为特征对.这类问题来源于带阻尼的弹簧质点系统[1-5]（此时,M对应质量矩阵，C对应阻尼矩阵，K对应刚度矩阵）和二阶电路系统[2]（此时,M对应电感矩阵，C对应电阻矩阵，K对应电容矩阵）.逆二次特征问题，是指根据矩阵三元组（M、C、K）的部分信息，寻找M、C、K的全部信息，使得具有事先给定的特征值，或具有事先给定的特征对，前者被称为逆二次特征值问题[6]，后者被称为逆二次特征对问题.文献[7]讨论了由不足2n个特征对信息构造M、C、K矩阵的情形，文献[8]讨论了由2n个特征对信息构造含参数的M、C、K矩阵的情形，文献[9]讨论了二次特征系统的修正问题，文献[10]给出了求解二次特征值问题多个特征对的一种并行方法.文献[11-13]研究了谐振电路的建模、仿真及逆二次特征值问题在四网孔电路（见图1）设计中的应用.

文中研究以四网孔电路设计为背景的两类逆二次特征值问题：

图1 四网孔电路示例

问题QIEVP-double-Ⅰ：对于预先给定的实数λ和μ，λ≠μ，若已知矩阵C∈R4×4，K∈R4×4和M∈R4×4中的l3，求实数l2〉0和l4〉0，构造矩阵M，使得:detQ（λ）=0，detQ（μ）=0

问题QIEVP-double-Ⅱ：对于预先给定的实数λ和μ，λ≠μ，若已知矩阵M∈R4×4，C∈R4×4和K∈R4×4中的d3，求实数d2〉0，d4〉0，构造矩阵K，使得:detQ（λ）=0，detQ（μ）=0

这里，R表示实数域，以四网孔电路设计为背景的特殊结构对称矩阵三元组（M、C、K）为：

1 问题QIEVP－doubel-I的解

为了求解问题QIEVP-double-Ⅰ，可整理成:

进一步展开，容易整理得到φ（λ）=λ2M+λC+K的表达式：

定理1对称矩阵三元组（M、C、K）的特征多项式为:

这里：

那么问题QIEVP-double-Ⅰ的求解，等价于已知r1，r2，r3，r4，d2，d3，d4和l3,根据联立方程:

求解得到l2，l4.

根据定理1，整理式（2）得以下矩阵形式

考虑到式（3）的特殊结构，容易获得问题QIEVP-double-Ⅰ的解：

定理2当a3（λ）=0，a3（μ）=0时,式（3）有唯一实数解的条件为:

且解的表达式为:

进而，若有l2〉0且l4〉0，则问题QIEVP-double-Ⅰ有唯一解.

定理3当a3（λ）≠0，a3（μ）≠0时,式（3）有解的条件为:

①a≠0；②b2-4ac≥0；③Γ∩Ω=Ф;且解的表达式为:

进而，若有l2〉0且l4〉0，则问题QIEVP-double-Ⅰ有解，

证明：式(2)等价于同时成立:

当a3（λ）≠0，a3（μ）≠0，且a2（λ）+a3（λ）l2≠0，a2（μ）+a3（μ）l2≠0时，

因l4是同一的,由式(4)、式(5)知

整理上式有求解l2的二次方程组al22+bl2+c=0.当b2-4ac≥0,可解得l2,进而由式（4）得l4.定理获证.

定理4当a3（λ）=0,a3（μ）≠0（类似考虑a3（λ）≠0，a3（μ）=0情形）时，式（3）有解的条件为:①a≠0；②a2（λ）≠0；③b2-4ac≥0；④Γ∩Ω=Ф；且解的表达式为:

进而，若有l2〉0且l4〉0，则问题QIEVP-double-Ⅰ有解，

证明：当a3（λ）=0，a3（μ）≠0式(2)等价于同时成立

当a2（λ）≠0，a3（μ）≠0，且a2（μ）+a3（μ）l2≠0时，

因l4是同一的，由式(6)、式(7)知

整理上式有求解l2的二次方程组al22+bl2+c=0.当b2-4ac≥0,可解得l2，进而由式(6)得l4.定理获证.

2 问题QIEVP－double-Ⅱ的解

为了求解问题QIEVP-double-Ⅱ，整理特征多项式为:

定理5对称矩阵三元组（M、C、K）的特征多项式为:

这里，

那么问题QIEVP-double-Ⅱ的求解，等价于已知r1，r2，r3，r4，d3，l2，l3，l4根据联立方程

求解得到d2，d4.

根据定理5，整理式（9）得以下矩阵形式

考虑到式（10）的特殊结构，类似上一节的讨论，容易获得问题QIEVP-double-Ⅱ的解：

定理6当b3（λ）=0，b3（μ）=0时,式（10）有唯一解的条件为:

b1（λ）b1（μ）-b1（μ）b2（λ）≠0，

且解的表达式为:

进而，若有d2〉0且d4〉0，则问题QIEVP-double-Ⅱ有唯一解.

定理7当b3（λ）≠0，b3（μ）≠0时,式（10）有解的条件为:①a≠0；②b2-4ac≥0；③Γ∩Ω=Ф；且解的表达式为:

进而，若有d2〉0且d4〉0，则问题QIEVP-double-Ⅱ有解.

这里,a=-b1（λ）b3（μ）+b1（μ）b3（λ）；

c=b0（μ）b2（λ）-b0（λ）b2（μ）；

定理8当b3（λ）=0,b3（μ）≠0（类似考虑b3（λ）≠0，b3（μ）=0情形）时，式（10）有解的条件为:①a≠0；②b2（λ）≠0；③b2-4ac≥0；④Γ∩Ω=Ф；且解的表达式为:

进而，若有d2〉0且d4〉0，则问题QIEVP-double-Ⅱ有解.这里，

3 数值算例

利用Mathlab7.6软件，求解问题QIEVP-double-I/Ⅱ的算例如下：

例1对于预先给定的矩阵

求矩阵三元组（M、C、K）的二次特征值.

例2对于预先给定的数λ=-1.1065830，μ=-0.1159460，l3=1.5，和矩阵

求正数l2和l4，构造矩阵M如上，使得detQ（λ）≤ε，detQ（μ）≤ε，ε=10-6.

解：该问题属QIEVP-double-Ⅰ，通过计算ai（λ），ai（μ），i=0，1，2，3，得到方程：

根据定理3求得实根：l2=1.4999998，l4=1.4999963；或l2=2.8457780，l4=-0.2521963.容易验证：

情形1（l2=1.4999998，l4=1.4999963时）:

情形2（l2=2.8457780，l4=-0.2521963时）：

综上所知，所求l2=1.4999998，l4=1.4999963满足l2、l4是正数的要求.

例3对于预先给定的数λ=-1.1065830，μ=-0.1159460，d3=0.5和矩阵

求正数d2，d4，构造矩阵K如上，使得detQ（λ）≤ε，detQ（μ）≤ε，ε=10-6.

解：该问题属QIEVP-double-Ⅱ，通过计算bi（λ），bi（μ），i=0，1，2，3，得到方程：

根据定理7求得实根：d2=0.4999938，d4=0.5000017；或d2=0.1380092，d4=-14.1340446.容易验证：

情形1（d2=0.4999938，d4=0.5000017时）：

情形2（d2=0.1380092，d4=-14.1340446时）：

综上所知，所求d2=0.4999938，d4=0.5000017满足d2、d4是正数的要求.

4 结论

论文研究指出以四网孔电路设计为背景的双特征值约束下对称矩阵三元组（M、C、K）的两类逆二次特征值问题QIEVP-double-I和QIEVP-double-Ⅱ,是一类以M或K中未知量为变量的二元二次方程组，通过分析二元二次方程组特殊结构，研究了特定的求解方式，给出了解存在性的判定，提出了相应的数值算法，算法数值结果满足系统对参数的要求，并有较高的精度.本研究成果能为四网孔电路设计提供理论工具和参考算法.

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Two kinds of the quadratic inverse eigenvalue problem constrained by double eigenvalues

YAN Shen-hai

(College of Mathematics and Computer Science,Gannan Normal University,Ganzhou 341000,China)

The paper studies two kinds of the quadratic inverse eigenvalue problem constrained by double eigenvalues,namely,solving the simultaneous equationgetting the values of the unknown elements in the specially symmetry matrix M or K.The existence and the detailed expressions of the solutions are presented.The numerical experiments demonstrate that the algorithms are effective.

quadratic eigenvalue problem;quadratic inverse eigenvalue problem;quadratic matrix equation

O302

A

2012-07-10

江西省教育厅科技项目(GJJ10585)

严深海（1972-），男，讲师，主要从事算法设计与应用、图像处理等方面的研究，E-mail:gnsyysh@126.com.

2095-3046（2012）05-0088-05