复合算子G·T的Poincaré型加权积分不等式

李华灿，邹翠

（1．江西理工大学理学院，江西赣州341000；2.南昌陆军学院科文教研室，南昌330103）

复合算子G·T的Poincaré型加权积分不等式

李华灿1，邹翠2

（1．江西理工大学理学院，江西赣州341000；2.南昌陆军学院科文教研室，南昌330103）

利用C.Scott,T.Iwaniec与A.Lutoborski等人的有关结论得到了有界域Ω上关于Green算子G和同伦算子T的复合算子G·T的Poincaré-型不等式，进而通过令u=d*v得到作用于共轭A-调和张量的复合算子G·T的Poincaré-型不等式.在此基础上，得到加权Poincaré积分估计式.

积分不等式；复合算子；共轭A-调和张量；有界域；加权

0 引言与预备知识

Poincaré不等式是一个非常有趣且重要的课题，近年来，在此领域的研究已经取得了丰硕的创新性成果：Wing-Sum Cheung于1993年得到了有关Poincaré型积分不等式[1]，2001年证明了几类特定形式的Poincaré不等式[2]；2006年包革军教授[3]证明了关于微分形式的双权Poincaré不等式；2007年王勇[4]证明了在LS（μ）-平均域上微分形式的双权Poincaré型积分不等式，更多有关Poincaré不等式的成果,详见文献[5-7].了解Poincaré不等式的有关成果对进一步研究解析函数的性质[8]很有帮助，因此对Poincaré不等式的研究很有必要.文中研究了有界域Ω上作用于共轭A-调和张量的复合算子G·T的Poincaré-型不等式.

全文假定Ω为Rn中连通开子集，设e1=（1，0，…，0），e2=（0，1，…，0），…，en=（0，0，…，1）为Rn上标准正交单位向量组，用Λl=Λl（Rn）表示由外积eI=ei1∧ei2∧…∧eil所生成的l维线性向量空间，其下标所对应的有序l-丛I=（i1，i2…，il）,1≤i1≤i2≤…≤il≤n，l=1，2，…，n.对于α=∑αIeI∈Λ及β=∑βIeI∈Λ,称<α，β〉=∑αIβI为α与β的内积，其中对所有的有序l-丛I求和.Hodge星算子*:Λ→Λ由规则*1=e1∧e2∧…∧en和α∧*β=β∧*α=<α，β〉（*1）确定，其中α∈Λ及β∈Λ.

Ω上的l-形式ω是一个Ω上取值于Λl（Rn）的Schwartz分布，D＇（Ω，Λl）为所有的l-可微形式空间，将Ω上对所有有序l-丛I满足形式：

记为Lp（Ω，Λl），其中ω是权函数.从而Lp（Ω，Λl）成为范数如下的Banach空间：

类似地，W1，p（Ω，Λl）为所有Ω上的系数属于W1，p（Ω，R）的微分l-形式集.外导数d∶D′（Ω，Λl）→D′（Ω，Λl+1）的形式共轭算子d*∶D′（Ω，Λl+1）→D′（Ω，Λl）由定义在D′（Ω，Λl+1）上的d*=（-1）nl+1*d*给出.

称下面的非线性微分方程

为共轭A-调和方程，其中A∶Ω×Rn→Λl（Rn）对几乎所有的x∈Ω以及所有的ξ∈Λl（Rn）满足：这里α〉0，1

定义1如果u和v在有界域Ω上满足共轭A-调和方程A（x，du）=d*v且A-1存在，则称u和v是Ω上的共轭A-调和张量.

并且有如下分解式ω=d（Kyω）+Ky（dω）.利用上面给出的线性算子Ky,来定义同伦算子

对每一个坐标系，如果u的坐标函数的逆在相似意义下也有一个广义梯度，其中则说u有一个广义梯度[10]，记为：

W（Λk，Ω）一个广义梯度}

通常把一个调和k场定义为：

K（Λk，Ω）={u∈W（Λk，Ω）∶du=d*u=0，u∈Lp，其中1

下列有关调和l-场的性质出现在文献[11]中.

性质1K（Λl，Ω）C∞（Λl，Ω）.

性质2对任意的u∈L1（Λl，Ω）存在唯一一个H（u）∈K,使得：

对任意的h∈K成立.

定义2设u∈L1，用H（u）来记由性质2确定的中的K唯一元素，并称H（u）为调和投影或u的调和部分.

在给出投影算子H的定义后，Green算子的定义为：

并且G（u）是K⊥∩C∞中满足Possion方程的ΔG（u）=u-H（u）唯一元素.

为了得到Lp上Green算子的定义，需要讨论2≤p＜∞和1

的唯一元素，其中u∈K⊥∩Lp.

定义3当p≥2时，定义Green算子G为

定义4当1

由定义知G为W2，p中的有界线性算子.

1 关于复合算子G·T的Poincaré-型估计

1995年，C.Scott证明了下面的引理，它将在下面的证明中用到.

引理1[12]设u∈C∞（Λk，Ω），l=0，1，…，n.若1＜s＜∞，则存在与u无关的常数C,满足：

1993年，T.Iwaniec与A.Lutoborski给出了下面关于微分形式的嵌入不等式.

引理2[13]分形式，其中1＜s＜∞且l=0，1，…，n，则有

结合引理1与引理2，便可得到如下的关于Green算子G和同伦算子T的复合算子G·T的Poincaré不等式.

Poincaré-型估计式(1)可以等价地描述为：

证明：由引理1及引理2可得

故而由ω=d（Tω）+T（dω）知

在定理1中令u=d*v，便可得到以下作用于共轭A-调和张量的复合算子G·T的Poincaré-型不等式：

推论1设u和v是有界域Ω上共轭A-调和张量，则存在不依赖于u和v的常数C,满足：

2 Ar（Ω）-权Poincaré-型估计

文中将用到下面关于d*v的逆Ho¨lder不等式.

引理3设u和v是Ω上共轭A-调和张量，0

这里σQ_ Ω.

引理4[14]设u和v是Ω上共轭A-调和张量，则存在不依赖于u和v的常数C1,C2,满足：

由引理4很容易得出以下推论：

推论2设u和v是Ω上共轭A-调和方程的解，则存在不依赖于u和v的常数C1,C2,满足：

这里D_Ω，α〉0，ω为任意权函数.

下面给出著名的Muckenhoupt权的定义.

这里球体Q_Ω，r〉1.

在文中的证明中将用到Ar（Ω）-权的下列性质：

引理5[15]如果ω（x）∈Ar（Ω），则存在不依赖于ω的常数C，满足：

其中球体Q_Ω，β〉1.

定理2设u和v是Ω上共轭A-调和张量，则存在不依赖于u和v的常数C,满足：

其中ω（x）∈Ar（Ω），σ〉1且σQ_Ω，r〉1，0<α≤1，1+α（r-1）

证明：首先，假设0<α≤1,令s=q/（1-α）,由广义Ho¨lder不等式可得：

选取t=q/（α（r-1）+1），则t

因为t

综合式（6）～式（8），便有：

由于ω（x）∈Ar（Ω）,于是有：

把式（10）代入式（9）中可得：

由推论2及式（11）可知：

故当0＜α≤1时，定理2结论成立.

下证当α=1时，定理2结论也成立.

由引理5知，存在β〉1和C7〉0使得：

令t=q/r则t＜q，综合引理3及式（3）,便有：

由广义Ho¨lder不等式可得：

综合式（15）与式（16）可知：

由于ω（x）∈Ar（Ω）,于是有：

把式（17）代入式（14），并使用式（18），便有：

结合推论2与式（19），可得：

[1]Wing-Sum Cheung.Some new Poincaré-type inequalities[J].Bulletin of The Australian Mathematical Society，2001，63（2）:321-327.

[2]B G Pachpatte.On Poincaré-type integral inequalities[J].Journal of The Mathematical and Application,1986,114(1):857.

[3]Bao G J.Two-weighted Poincaré-Type integral inequalities[J].Proceedings of the Conference on Differential&Difference Equations and Applications,2006:141-148.

[4]Wang Yong.Two-weight Poincaré-Type for differential forms in LS（μ）-averaging domains[J].Applied Mathematics Letters,2007（11）:1161-1166.

[6]Ding S S，Xing Y M，Bao G J.Ar（Ω）-weight inequalities for A-harmonic tensors and related operators[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006(1):219-232.

[7]G R Nicklason.A general class of centers for the Poincaré problem[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2009（1）:75-80.

[8]李晓昭.某类解析函数的一些性质[J].江西理工大学学报,2009，30(1):53-55.

[9]Craig A.Nolder.Hardy-littlewood theorems for A-harmonic tensors[J].Illinois Journal of Mathmatics,1999(4):613-631.

[10]Shusen Ding.Some examples of conjugate p-harmonic differential forms[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1998（1）:251-270.

[11]Morry,Charles B.Mutiple integrals in the calculus of variayions[M].Berlin Heidelberg New York:Spring-Verlag,1966.

[12]Chad Scott.Lp-theory of differential forms on manifolds[J].Transactions of American Mathmatical Socieety,1995(6):2075-2096.

[13]Tadeusz Iwaniec,Adam Lutoborski.Integal estimates for null lagrangians[J].Arch Rational Mech.Anal.1993(1):25-79.

[14]Shusen Ding.Local and global norm comparison theorems for solutions to the nonhomogeneous A-harmonic equation[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007(2):1274-1293.

[15]J Heinonen,T Kilpelainen,O Martio.Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations[J].Oxford,1993.

The weighted Poincaré integral inequalities for the composite operator of G and T

LI Hua-can1，ZOU Cui2

（1.Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China;2.Department of Science and Culture,Nanchang Army College,Nanchang 330103,China）

Based on the work of C.Scott,T.Iwaniec and A.Lutoborski etc.,the Poincaré inequalities for the composite operator of G and T on the bounded domain are obtained.Then the Poincaré inequalities for the composition of G and T acted on the conjugate A-harmonic tensors by selecting u=d*v are achieved.The weighted Poincaré integral inequalities are gained.

integral inequality；composite operator；conjugate A-harmonic tensors；the bounded domain；weighting

O175.2

A

2012-08-28

江西省教育厅基金项目(GJJ12356)

李华灿（1985-），男，助教，主要从事调和分析等方面的研究，E-mail:hua03010217@126.com.

2095-3046（2012）05-0097-04