子带OFDMA中EM双选信道估计的收敛性能分析

陈东华

（华侨大学信息科学与工程学院，福建厦门361021）

子带OFDMA中EM双选信道估计的收敛性能分析

陈东华

（华侨大学信息科学与工程学院，福建厦门361021）

算法实时性是通信系统可实用化的关键，为了揭示子带正交频分多址(OFDMA)系统中期望最大化(EM)双选信道估计的实时性，研究了子带OFDMA系统中EM算法的收敛性能.通过系统仿真方法分别给出了单天线系统和多天线系统EM迭代信道估计的收敛曲线，研究结果表明，两种迭代信道估计都有较快的收敛速度，而且多天线系统比单天线系统收敛更快，前者仅需3次迭代即可收敛，而后者在10次迭代内也可保证收敛.理论分析显示，迭代过程中参数更新数目的不同是导致两种算法收敛性能不同的原因所在.

正交频分多址；收敛速度；信道估计

0 引言

正交频分复用（OFDM）利用子载波间正交性提高了频谱利用效率，是一种频谱有效的传输技术[1]，经过多年的研究，学术界和产业界已经把OFDM作为多种移动通信标准的物理层传输方案[2]，如无线局域网标准IEEE802.11a和下一代移动通信（4G）都采用了该技术[3].同时，OFDM特有的频分复用方式使得该技术很容易实现多址接入，子带正交频分多址(OFDMA)即是一种常用的多址接入方式.

通信系统中为了相干解调，接收机通常采用导频进行信道估计.子带OFDMA系统的导频信道估计方法中，通常把导频信号分散在时间频率的二维网格上，并通过时间和频率方向的线性插值得到数据子载波上的信道频域响应.然而在高速移动环境中，传输信号将同时遭受时间和频率选择性衰落（双选择性衰落）[4].随着移动台移动速度的加快，这种情况下的信道变化将不再满足线性规律，导致线性插值的导频信道估计性能的严重恶化，为了解决这一问题，文献[5]提出了采用频域线性模型和时域基扩展模型(BEM)混合插值(HLBI)的子带OFDMA导频信道估计方法，该方法在时间方向上利用基扩展模型插值代替常规线性插值，从而改善了信道时变导致的OFDMA系统性能恶化，但是该方法在频率格上依然采用常规方法，即线性内插，当信道频率选择性较为严重时，文献[5]方法的性能改进受到信道频率选择性的制约.

为了克服文献[5]方法的缺点，文献[6]对信道响应在频率方向的变化不做任何假定，而对接收信号做形式变换并在此基础上定义信道的频域BEM模型，进而提出了两种基于期望最大化（EM）算法的子带OFDMA信道估计新方法，从而避免了文献[5]信道估计方法的缺点.文献[6]对信道估计的均方误差和误码率性能进行了详细分析，但并未考虑算法的收敛问题.EM迭代算法的收敛性能是系统可实时性的关键，文中在介绍文献[6]两种EM信道估计的基础上仿真研究了算法的收敛性能，并结合理论分析探讨了产生两种算法收敛性能不同的内在机理.

1 信道估计模型

1.1 单发射天线EM信道估计

采用过采样复指数BEM[7-8]对N个连续传输块上的时变信道进行建模，第l条路径的时变信道脉冲响应(CIR)的可写为：

其中rq，l定义为第l个抽头的第q个BEM基系数，L、2Q+1和P分别定义为最大路径延时、基扩展个数及采样倍数.定义M为OFDMA传输块的长度（子载波数），进一步定义K为子带中包含的子载波数，对式（1）进行M点快速傅里叶变换（FFT）得到所考虑子带上的信道频域响应(CFR)：

由于式（2）表达的是信道的频域响应，对比式（1），我们将gk，q定义为频域等效BEM系数：

定义X（n，k）为第n个传输块上第k个子载波数据，由文献[6]，频域接收信号可写为Y（n，k）=H（n，k）X（n，k）+W（n，k），其中W（n，k）是对应子载波上的频域叠加噪声，W（n，k）服从高斯分布且均值为零、方差为σ2.定义接收矢量Yk=[Y（0，k），…，Y（N-1，k）]T，则接收矢量可表达为Yk=D（Xk）Hk+Wk，其中Xk，Hk的定义形式同Yk，D（·）为对角阵操作符.利用式（2），可将Hk表示成Hk=Qgk，其中gk=[gk，0，…，gk，2Q]T，Q是N×（2Q+1）的基矩阵，其第（m，n）个元素为exp（j2π（m-1）（-Q+n-1））/NP）.把Hk=Qgk代入Yk，可把接收矢量Yk进一步表达成如下形式：

其中Qq定义为Q矩阵的第q列列矢量.为了利用期望最大化算法估计信道参数，定义Yk为“缺损”数据矢量，定义Yk，q=D（Xk）Qqgk,q+Wk，q（q=0,1,…,2Q）为“完备”数据矢量，式中分量Wk，q（q=0,1,…,2Q）定义为矢量Wk的任意分解成分.由定义的缺损数据和完备数据，在式（4）的基础上可以构造信道参数的EM估计算法.

1.2 多发射天线EM信道估计

KL-BEM是基于时变信道的二阶统计量的基扩展模型，其不同基函数之间互相正交[9-10]，可以利用KL-BEM的正交性质来降低计算复杂度.假设多发射天线系统装备NT个天线，接收系统装备单个接收天线，则第t个发射天线与接收天线之间的第l条路径时变信道脉冲响应可表示为：

式中G和rq，t，l分别表示基函数个数和第q个基系数，fq，t，l（n）是n时刻的相应基函数.对于独立同分布的时频双选择性信道，任意收发天线对之间的L条路径都具有相同的基函数，因而为了简化表示，基函数fq，t，l（n）的下标t和l均可以忽略.忽略基函数的下标并对式（5）进行M点离散傅里叶变换可得相应的信道频域响应为：

同1.1节，gk，q，t定义为频域基函数系数：

和1.1节的推导过程相同，可以得到N个传输块的第k个子载波上的接收矢量为：

式中Xk，t定义为第t个发射天线的发射数据矢量，gk，t=[gk，0，t，…，gk，G-1，t]T定义为频域等效基函数系数矢量，F是N×G的基函数矩阵，其第（m，n）个元素为fn-1（m-1）.定义Yk为“缺损”数据，对应的“完备”数据定义为Yk，t=D（Xk，t）Fgk，t＋Wk，t，其中Wk，t为噪声矢量Wk的NT个任意分解分量之一.由定义的缺损数据和完备数据，根据式（8）不难构造多天线情况下的EM迭代信道估计算法.

2 收敛性能仿真分析

收敛速度是EM迭代算法可实时性的关键，借助于系统仿真方法对两种EM迭代信道估计的收敛性能进行研究.单发射天线系统的仿真参数设定如下：符号长度M=128，子带长度K=18，信道路径数L=4；OFDMA传输块数N=61，信道变化快慢用时变信道引起的多普勒频率对块长的归一化[11]来表征，仿真中归一化多普勒频率fd取为0.025，此时基扩展的基函数个数取7，导频等间隔插入且间隔为10，系统初始化方法采用判决辅助跟踪方式.

为了直观显示系统的收敛情况，我们仿真了信道均方误差(MSE)性能随着迭代次数变化的关系曲线，见图1.由图1不难发现，在两种信噪比(SNR)条件下，信道MSE均随着迭代次数的增加而逐渐减小，而且随着迭代次数的增加MSE的减小量也逐渐减小，例如当迭代次数从0次(相当于无迭代)变化到10次时，15 dB与25 dB两种信噪比条件下的信道均方误差分别从0.22和0.21递减至1×10-2与2.85×10-3，而当迭代次数从10次变化至20次时，两种条件下的信道均方误差分别从1×10-2和2.85×10-3仅递减至9×10-3和1.8×10-3，因而对实际系统应用而言，最大迭代次数只需取到10次.

图1 单天线情况下的收敛曲线

多发射天线系统的仿真参数设定为：系统采用Alamouti编码来获得发射分集增益[12]，BEM窗口长度N=102，归一化多普勒频率同单天线系统相同，BEM基函数个数取为8，相当于在子带的两侧等间隔插入22个导频子载波，并且均匀分散在11个空时码字的位置上，算法初始化同样采用判决辅助跟踪方式.

采用与单天线系统相同的分析思路，我们给出了两种信噪比条件下信道均方误差性能随着迭代次数变化的关系曲线，见图2.同单发射天线系统相同，信道均方误差随着迭代次数的增加而逐渐递减，例如，当迭代次数从0次增加到3次时，两种信噪比情况下的信道均方误差分别从0.20与0.19递减至3.6×10-3与7.6×10-4，而当继续提高迭代次数时，信道均方误差基本不再变化.因而发射分集情况下的收敛速度更快，最大迭代次数只要取到3次便可收敛.

图2 多天线情况下的收敛曲线

为了进一步证实上面的分析，我们重新给出理想信道和EM迭代信道估计下的系统误码率（BER）随信噪比（SNR）变化的性能曲线，如图3,4所示.由系统误码率曲线可见，无论是在单天线系统还是在多天线系统，EM信道估计条件下的误码率都十分接近理想信道下的误码率性能，例如，在所考虑的SNR范围（0～20 dB）内，相对于理想信道条件下的误码率性能，单天线信道估计误码性能仅有大约3 dB的信噪比损失，而多天线信道估计的误码性能损失保持在2 dB信噪比范围以内.

图3 单天线情况下的误比特率性能

图4 多天线情况下的误比特率性能

3 收敛性能理论分析

影响EM算法收敛性能的因素较多，如初始值的精度以及迭代方式的不同都会影响算法收敛性能.如前所述，为了提高初始化精度，两种EM信道估计均由时频格两侧的导频开始，采用判决辅助跟踪方式初始化算法，因此初始值对两种算法的影响是完全相同的.除了初值精度，迭代方式本身是影响算法的收敛快慢的重要因素.EM算法由期望（Expectation）和最大化（Maximization）两步组成，其中最大化是对所有未知变量或矢量同时进行的[13]，这相当于在未知变量或矢量组成的多维空间中进行多维搜索，未知变量/矢量的个数越多，搜索速度越慢，因此EM算法的收敛速度与同时更新的变量或矢量的维数成反比关系.具体到所考虑的两种EM迭代信道估计，其参数迭代更新过程分别为：

1）单天线系统

期望：

最大：

其中i表示迭代顺序号，βq非负并且满

2）多天线系统

期望：

同样，βt非负并且满足

最大：

由式（11）和式（14）可见，单天线系统中每次迭代的更新参数为gk，t（q=0，…，2Q），多天线系统中每次迭代的对象是矢量gk，t（t=1，…，NT），即单天线系统是对2Q+1个变量gk，t（q=0，…，2Q）同时进行最大化，而多天线系统中则对NT个矢量gk，t（t=1，…，NT）同时进行最大化.为了系统的物理可实现性，多天线系统的天线数通常为2～4；另一方面，为了信道建模的精度，BEM观察窗时段对应的基个数应充分大，因此有2Q+1≥NT，具体到文中参数，2Q+1=7，而NT=2，所以单天线迭代算法的收敛速度要慢于多天线迭代算法.同时，仿真结果显示了两种迭代算法都具有较快的收敛速度，前者经过大约10次迭代即能收敛，而后者只需3次迭代便可收敛.

通过第二节仿真分析，我们证实了子带OFDMA系统中采用EM信道估计的可实时性，从而证明了该算法的实用性；而本节对两种算法参数迭代更新的理论分析显示，多天线系统每次迭代更新的参数矢量少于单天线系统，这一现象解释了产生两种算法收敛速率不同的机理.

4 结束语

子带OFDMA中的EM信道估计有效提高了时频双选择性信道估计的性能，但在信道估计中每一次EM迭代都需要重新计算信道响应，这会增加系统的计算复杂度并进而影响系统的实时性，迭代次数越多则系统实时性越差，因此EM算法的收敛速度是系统可实时实现的关键.文中通过系统仿真手段和理论分析方法分别研究了单天线和多天线系统中EM信道估计的收敛性能，在介绍了这两种EM迭代信道估计的基础上给出了算法的收敛性能曲线.仿真结果显示这两种迭代信道估计都有较快的收敛速度，研究结果证实了子带OFDMA中EM信道估计的可实时性，同时通过理论分析方法阐释了影响EM迭代信道估计收敛快慢的内在因素.

[1]梁小朋，邓茜，周勇锋，等.基于训练序列的定时同步算法研究[J].江西理工大学学报，2011，32(5):46-48.

[2]朱颜锐，田斌，安金坤，等.一种快速OFDM调制信号识别算法[J].西安电子科技大学学报，2012，39(1):17-22.

[3]吴军，钟东波.OFDM基带系统接收器中高性能Viterbi译码器的FPGA实现[J].江西理工大学学报，2011，32(3):61-64.

[4]Gupta P，Mehra D K.A novel technique for channel estimation and equalization for high mobility OFDM systems[J].Wireless Pers Commun,2009,49(4):613-631.

[5]Ma Y,Tafazolli R.Channel estimation for OFDMA uplink:a hybrid of linear and BEM interpolation approach[J].IEEE Trans Signal Process,2007,55(4):1568-1573.

[6]Chen D H,Qiu H B.Doubly selective channel estimation for subband OFDMA using basis expansion models[J].Sci China Inf Sci,2011,54(10):2113-2123.

[7]刘英男，蒋伟，姚春光.基于分数倍基扩展模型的双选信道估计方法[J].北京大学学报：自然科学版，2008，44(1):87-92.

[8]Hou W,Ye W,Feng S,et al.Iterative channel estimation and successiveICIcancellationforOFDMsystemsoverdoubly selective channels[J].Wireless Pers Commun,2009,55:289-303.

[9]Qin W,Peng Q C.Joint channel and phase noise estimation in OFDM using KL expansion[J].International Journal of Electronics and Communications,2008,62(10):777-781.

[10]TeoKAD,OhnoS.OptimalMMSEfiniteparametermodelfordoublyselective channels[C].Proc.of the IEEE Global Telecommunications Conference,2005:3503-3507.

[11]Fang K,Rugini L,Leus G.Low-complexity block turbo equalization for OFDM systems in time-varying channels[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2008,56(11):5555-5556.

[12]王雷冬,仇洪冰.Alamouti空时码在短波信道下的性能分析[J].桂林电子科技大学学报,2011，31(5):361-364.

[13]Pun M-O,Morelli M,Kuo C-C J.Iterative detection and frequency synchronization for OFDMA uplink transmissions[J].IEEE Trans Wireless Commun,2007,6(2):629-639.

Convergence analysis of EM-based doubly selective channel estimation methods for subband OFDMA

CHEN Dong-hua

(College of Information Science and Engineering,Huaqiao University,Xiamen 361021,China)

Real-time computation of an algorithm in communications system is the key for the system to be applicable.In order to reveal whether the channel estimations based on expectation maximization(EM)algorithm in subband OFDMA systems can be on line realized or not,the convergence performance of the EM-based doubly selective channel estimation methods for subband OFDMA is investigated in the article.First,the convergence curves of the two iterative estimators,respectively,for the single transmit antenna system and the multiple transmit antennas system are stated.Results obtained from the convergence curves show that both estimators converge fast,and moreover,the latter does faster with only 3 iterations than the former with a little bigger number of about 10 iterations.Theoretical analysis indicates that the differences in the updated parameter number in iterations account for the two estimators＇differences in convergence speed.

orthogonal frequency division multiple access;convergence speed;channel estimation

TN911.5

A

2012-07-09

中央高校基本科研业务费专项资金资助(11QZR02)；福建省自然科学基金项目资助(2012J05119)；广西无线宽带通信与信号处理重点实验室2011年度主任基金项目(21104)

陈东华（1977-），男，讲师，主要从事无线通信等方面的研究，E-mail：dhchen0@163.com.

2095-3046（2012）03-0069-05