异方差回归模型的经验似然拟合优度检验

唐明田，王允艳

(江西理工大学理学院，江西赣州341000)

异方差回归模型的经验似然拟合优度检验

唐明田，王允艳

(江西理工大学理学院，江西赣州341000)

由于条件方差函数常常被用来建模和解释统计数据的多变性，文中考虑了异方差回归模型中的条件方差函数，构造了一个非参数检验程序来检验条件方差函数是否为参数形式.因为经验似然方法具有两个非常吸引人的性质，一个是该方法的学生化能力使得其能够自动考虑非参数拟合的变化，另一个是由该方法得到的检验统计量的渐近分布与未知参数无关，避免了二次嵌入估计，因此在检验过程中文中使用经验似然检验技术来构造拟合优度检验的程序，得到了经验似然检验统计量的渐近零分布.

条件异方差函数；经验似然；拟合优度；Nadaraya-Watson估计量

1 条件异方差回归模型及假设检验

设{（Yi，Xi）}为严平稳过程,令m（x）=E（Y=x）和σ2（x）=Var（Y=x）分别为条件均值函数和条件方差函数.文中考虑如下的非参数异方差回归模型：

文中将利用经验似然方法来建立检验程序,经验似然方法是一种计算机密集型的非参数方法,与自助法(bootstrap)相比,经验似然方法有类似于自助法的抽样特性,但是相比之下也有其自身的优越性,如所构造的置信区间的形状由数据自行决定、域保持性、变换不变性等.正因为拥有这些优点,经验似然方法自提出后已被应用到统计的诸多领域.文献[9]给出了该方法的详细的全面的介绍.经验似然已被证明和参数似然具有某些相同的性质,例如,Wilks＇定理和Bartlett的可修正性原则,详细介绍读者可参考文献[10].正是因为经验似然方法的诸多优点,使得其在很多领域都得到了广泛的应用并且被不断改进.

文中的目的是检验条件方差函数σ2（x）是否是参数形式,即考虑如下的原假设:

和备择假设:

其中,θ∈Θ为未知参数,Cn为当n→∞时趋向于零的非负序列,Δn（x）为有界函数序列.令f（x）为X的密度函数,对某个β〉0，I={x∈R（x）≥β}为紧集.为了不失一般性,文中假设I=[0，1].

2 经验似然检验统计量

文中的检验统计量建立在如下的条件方差函数σ2（x）的非参数估计量上:

其中,Kh（·）=K（·/h）/h，K（·）为核函数,h 为带宽,并且

其中,Wh1（·）=W（·/h1）/h1，W（·）为核函数，h1为带宽.以下设ˆ为θ在原假设下的相合估计量,并令：

为条件方差函数σ2（x）的参数估计量（x）的核平滑形式.

通过引入Lagrange乘子,得最优权重为：

因为相应于σ2（x）的非参数估计量的最大经验似然在ωi（x）=n-1处达到,因此（x）的对数经验似然比为:

为了将经验似然比统计量推广成为拟合优度的一个全局的度量,文中考虑如下的能够全局度量拟合优度的经验似然基础上的统计量:

3 假设条件与主要结果

文中的理论结果建立在如下的条件之上.

A1：核函数K（·）和W（·）是正的、连续、可微、对称的密度函数,具有紧支撑[-1，1],并且K（·）是Lipschitz连续的,

A2：当n→∞时，h→0，h1→0，nh→∞，nh1→∞，并且h=O（n-1/5）.

A3：函数f（·），m（·）和σ2（·）在区间I上具有连续的二阶导数,且f（·）和σ2（·）在区间I上有界.

A5：Δn（x）关于x和n是一致有界的,并且原假设H0和备择假设H1之间的差异的阶数Cn=n-1/2h-1/4.

A6：令ηi=ri-σ2（Xi），对某个a0〉0,假设有且对某个k〉1有<∞.另外，

中Ωi-1为由生成的σ-域.

A7：给定Y的X的条件密度，fX|Y<∞.对任意l〉1,给定（Y1，Yl）的（X1，Xl）联合条件密度是有界的,并且对t〉s〉1,（X1，Y1，Xs，Ys，Xt，Yt，）是连续有界的.

A8：过程{Xi，Yi}是严平稳和α混合的，并且对某个α〉0和ρ∈（0，1）,混合系数满足α（k）≤aρk.

推论1假设条件A1～A8成立,则当n→∞时,有

4 引理与证明

上述式（2）～式（4）的证明与文献[12]中引理1的证明类似,此处略.

定理1的证明：设γ（x）为定义在[0，1]上的随机过程，δn为一序列,文中用γ（x）=p（δn）和γ（x）=（δn）分别表示=op（δn）.

所以由引理1可得

推论1的证明:由定理1的证明可得.

5 结论

文中考虑了异方差回归模型中条件方差函数的经验似然基础上的拟合优度检验问题,在构造经验似然统计量时,条件异方差函数σ2（x）的非参数估计量使用的是Nadaraya-Watson估计量,即局部常数估计量.但众所周知,Nadaraya-Watson估计量会产生较大的边界偏差,而具有如下形式的局部线性估计量能解决边界偏差较大问题:

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An empirical likelihood goodness-of-test for heteroscedastic regression models

TANG Ming-tian,WANG Yun-yan

（Faculty of Science,Jiangxi Univeisity of Sciences and Technology,Ganzhou 341000,China）

Since conditional heteroscedasticity is often used in modelling and understanding the variability of statistical data,the conditional variance function in heteroscedastic regression models is taken into consideration,and a nonparametric test is constructed in the article to test the conditional variance function variance function being a known parametric form indexed by a vector of unknown parameters.The empirical likelihood technique is used to construct test procedure for a goodness-of-fit of a heteroscedastic regression model because the empirical likelihood method has two attractive features.One is its automatic consideration of the variation associated with the nonparametric fit due to the empirical likelihood＇s ability.The other one is that the asymptotic distributions of the test statistic are free of unknown parameters which avoid secondary plug-in estimation.The asymptotic null distribution of the proposed test statistic is established.

conditional variance function;empirical likelihood;goodness-of-fit test;Nadaraya-Watson estimator

O211.4

A

2012-06-28

江西省教育厅青年科学基金(GJJ12356)

唐明田（1981-），男，讲师，主要从事非参数统计推断等方面的研究，E-mail：mtt_csu@126.com.

2095-3046（2012）05-0074-04