动态P-积分及其性质

黄江燕，邹玮刚

（江西理工大学理学院，江西赣州341000）

动态P-积分及其性质

黄江燕，邹玮刚

（江西理工大学理学院，江西赣州341000）

内P-集合，外P-集合XF是经典集合X动态生成的两个普通集，由内P-集合与外P-集合构成的集合对（，XF）就是P-集合.在P-集合的基础上，得到函数对（x），pF（x））与该函数对的性质.进而给出P-积分的概念与结构，P-积分是由内P-积的集合对，P-积分具有动态特性.文中给出了动态P-集合序定理与P-积分双中值定理，并指出P-积分是牛顿积分的动态表现形式，牛顿积分是P-积分的特例.P-积分有序定理和P-积分双中值定理.事实证明，牛顿积分中值定理是P-积分双中值定理的特例.

动态特性；P-集合；P-积分

0 引言

普通集合具有精确性，边界清楚性，静态性三大特征.P-集合不是普通集合，它具有动态特性，有限普通集合X在元素迁移族的作用下，集合内减少了元素，生成内P-集合；X在元素迁移族F作用下，集合内增加了元素，生成外P-集合XF；由内P-集合与外P-集合XF构成的集合对（XF，XF）就是P-集合，它是史开泉教授于2008年提出的动态集合.

文中采用平行拓展的方法研究史教授提出的动态集合，文献[1-8]给出了集合的特征函数生成模型，从而得到P-集合的特征函数.根据静态函数生成定积分的方法，文献[9]定义了内P-积分与外P-积分.同样可以构造动态函数P-集合的动态积分.动态积分具有哪些与静态定积分相似或不同的性质正是下面所要给出的内容.其中P-积分与牛顿积分又有什么样的关系也是文中的研究重点.文中所揭示的动态P-积分及其性质在信息系统、控制系统等方面具有一定的参考价值.

1 P-集合与它的结构

X-称作X的元素删除集合，的属性集合αF满足αF=把β变成f（β）=α′∈α；V是非空属性论域，U是非空元素论域.

给定有限普通集合X＝{x1，x2，…，xm}U，α={α1，α2，…，αk}V是X的属性集合，称XF是X生成的外P-集合(outerl packet sets)，简称XF是外P-集合[1-3]，而且

X+称作X的F-元素补充集合，而uX，f（u）=x′∈X，f∈F}，如果XF的属性集合的特征见文献[4-10].

2 P-集合生成的函数

定义1设有限普通集合X＝{x1，x2，…，xm}xi∈X（i＝1，2，…，m）相对于特征Y＝{y1，y2，…，yn}具有特征值向量，

这里：xi（k）∈R+，i＝1，2，…，m；k＝1，2，…，n.由到X的合成特征值：y=（y1（X），y2（X），…，yn（X））.对m个离散的数据点：（1，y1（X）），（2，y2（X），…，（n,yn（X）），利用拉格朗日插值公式：

得到函数：

称该函数是普通集合X生成的函数.

定义3XF是外P-集合，根据定义1的方法由XF生成的函数：是外P-集合XF生成的函数.

引理1[2]（（XF，XF）与X的关系定理）若（，XF）是普通集合X生成的P-集合，则XXF.

定理1给定X＝{x1，x2，…，xm}U，是X生成的内P-集合，p（x）是X生成的函数，（x）是内P-集合生成的函数，则有下列不等式成立：

定理2给定X＝{x1，x2，…，xm}U，p（x）是X生成的函数，XF是X生成的外P-集合，pF（x）是外P-集合生成的函数，则有下列不等式成立：

证明：XF是X生成的外P-集合，则有card（X）≤card（XF），由引理1及定义1集合的生成函数方法，可得p（x）≤pF（x）.

3 积分及其特性

约定：下面所讨论的函数在区间[a，b]上都连续.

定义5[10]的内P-积分(internal packet integral).

定义6[10]的外P-积分(outer packet integral).

由定理4与定义9可得到结论，证明略.

定理6若Xi是生的集合，Xj是生合，同

由定理4与定义8、定义9可得到结论，证明略.

所以在相同的区间[a，b]内分别积分不会改变不等式的关系，定理得证.

证明类似于定理7.证明略.

4 P-积分与牛顿积分的关系

因此，P-积分双中值定理与牛顿积分中值定理存在这样的关系：P-积分是牛顿积分的动态表现形式，牛顿积分是P-积分的特例.

5 讨论

P-集合的特征是“动态性”，把P-集合作为一个工具，应用到更多的实际问题研究中，P-集合能给予理论支持.P-集合已经成为研究动态信息系统的一个新的数学模型与新的数学方法[11-14].信息科学、系统科学的学者常常是自觉或不自觉地使用着这种动态特性，并解决了许多实际问题.然而对于P-集合的很多平行和深化理论等待着总结和发展.文中所研究的动态P-积分及其性质只是其中的一部分.相信不久的将来，动态集合理论的相关研究一定会被许许多多的学者完善，并且能够逐步地更直接更有效地应用在更多的实际问题当中.因为动态是绝对的，静态只是相对的，暂时的.我们需要用动态的观念去发展去研究.

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[2]史开泉.P-集合[J].山东大学学报:理学版，2008，43(11):77-84.

[3]史开泉，张丽.内P-集合与数据外-恢复[J].山东大学学报:理学版，2009，44(4):8-14.

[4]Shi K Q.S-rough sets and its applications in diagnosis-recognition for disease[J].IEEE Proceedings of the First International Conference on Machine Learning and Cybernetics，2002，1(1):50-54.

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[6]Shi K Q.Two direction S-rough sets[J].International Journal of Fuzzy Mathematics，2005，13(2):335-349.

[7]史开泉，姚炳学.函数S-粗集与规律辨别[J].中国科学E:信息科学，2008，38(4):553-564.

[8]史开泉，赵建立.函数S-粗集与隐藏规律安全-认证[J].中国科学E:信息科学，2008，38(8):1234-1243.

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[11]黄江燕，鄢化彪，张朝权.基于空间性质的三维装箱问题的算法及分析[J].江西理工大学学报，2007，28(3):54-57.

[12]黄江燕，于秀清，方文青.粗积分的动态特性[J].山东大学学报:理学版，2009，44(11):93-96.

[13]于秀清，史开泉.函数单向S-粗集生成的F-粗积分[J]．山东大学学报:理学版，2008，43(2):29-34.

[14]于秀清，史开泉.函数单向S-粗集对偶生成的-粗积分[J].聊城大学学报:自然科学版，2007，20(4):15-19.

Dynamic P-integral and its properties

HUANG Jiang-yan，ZOU Wei-gang

（Faculty of Science,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China）

Internal packet setsand outer packet setsare two packet sets generated by cantor，sets X.Internal packet setsand outer packet sets XFconstruct packet sets,on which a function（x），pF（x））and the character of it are obtained.In order to develop the special nature of the dynamic function,the definition and construction of P-integral are given in the paper.P-integral is composed by internal packet integral and outer packet integral.Some basic properties of the dynamic integration are also discussed.A dynamicP-sets order theorem and integral double mean value theorem are presented,which point out that the integral is the dynamic performance form of the Newton integral,Newton integral is a special case of the P-integral.It is proved that Newton mean value theorem of integral is the special case ofP-Integral double integral mean value theorem.

dynamic characteristics;packet sets;P-integral

O159

A

2012-06-02

江西省自然科学基金项目（2009GQS0047）

黄江燕（1980-），女，讲师，主要从事粗系统理论与应用等方面的研究，E-mail:hjyjxust@126.com.

2095-3046（2012）05-0078-04