关于弱λ-Koszul模极小分次投射分解的一个注记*

乐陶军， 陈淼森

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

Koszul代数是Priddy［1］在1970年提出的．此后，在一大批数学工作者的努力下，Koszul代数得到了多方面经典的推广．例如 d-Koszul代数(模)［2］，弱 d-Koszul代数(模)［3］，(弱)λ-koszul代数(模)［4］等．文献［4］已证明了任意弱λ-Koszul模都可以由λ-Koszul模来逼近．设A是λ-Koszul代数，M是有限生成的 A-模，又设 Sd0，Sd1，…，Sdp是 M 的极小齐次生成元集，记 Ui:=〈Sd0，Sd1，…，Sdi〉．易见，M 有自然的分次子模滤

则M是弱λ-Koszul模当且仅当商模Ui/Ui－1(0≤i≤p)都是λ-Koszul模，其中U－1=0．

本文对λ-Koszul模和弱λ-Koszul模作进一步讨论．设M为弱λ-koszul模，令Pi*→Ui/Ui－1→0和P*→M→0分别是对应的极小分次投射分解．以极小马蹄型引理为主要研究工具，讨论了Pi*和P*的关系，得到了如下主要结果:

定理1 令M是弱λ-Koszul模，F M是M的自然的分次子模滤，Pi*→Ui/Ui－1→0和P*→M→0(i=1，2，…，p)分别是对应的极小投射分解，则对n≥0，有

其中，Pn和Pin分别是极小分次投射分解P*和Pi*的第n项．

为方便起见，本文约定:k表示一个任意的域;N和Z分别表示自然数集和整数集;非负标准分次k的i≥0，Ai是有限维的k-空间．J表示分次代数A的分次Jacobson根;Gr(A)和gr(A)分别表示分次A-模范畴和有限生成分次A-模范畴．

1 (弱)λ-Koszul模的定义

令λ:N→N是个周期函数，记它的最小正周期为|λ|．假设λ(1)≥2，且λ在区间［1，|λ|］上严格单调增．设δλ:N→N是另一函数，且具有以下性质:

定义1［4］令M∈gr(A)，若存在一个极小分次投射分解

使得Pn(n≥0)都由δλ(n)次生成，则称M是λ-Koszul模．其中:［·］是平移函子;s是一个固定的整数．特别地，若平凡模A0是 λ-Koszul模，则称分次代

令‖A‖:=|λ|=T，通常称‖A‖为A的跳跃度．显然，当|λ|=1时，λ-Koszul代数就是d-Koszul代数，也就是说，d-Koszul代数是λ-Koszul代数的一个特例．

定义2［4］令A是λ-Koszul代数，且‖A‖=T≥1，M∈gr(A)．若存在一个关于M的极小分次投射分解

使得对 i，k≥0，有

1)当 i≡2n(mod 2T)，n∈［0，T －1］时，ker fi⊆JPi且 Jkker fi=Jk+1Pi∩ker fi，

2)当 i≡2n －1(mod 2T)，n∈［1，T］时，ker fi⊆Jλ(n)Pi且 Jkker fi=Jλ(n)+kPi∩ker fi，则称M是弱λ-Koszul模．

2 定理1的证明

首先给出几个引理．

引理1［5］令0→K→M→N→0是有限生成A-模正合列，则以下结论等价:

1)JkK=K∩JkM(k≥0);

2)A/Jk⊗AK→A/Jk⊗AM 是单同态(k≥0);

3)0→JkK→JkM→JkN→0是正合的(k≥0);

4)0→JkK/Jk+1K→JkM/Jk+1M→JkN/Jk+1N→0是正合的(k≥0);

5)0→JkK/JmK→JkM/JmM→JkN/JmN→0是正合的(m＞k)．

引理2［4］令A是分次代数，0→K→M→N→0是有限生成A-模正合列，则JK=K∩JM当且仅当有行列正合交换图1．

图1 行列正合交换图1

其中:P0，L0，Q0是 K，M，N 的分次投射盖;Ω1(K)，Ω1(M)，Ω1(N)分别是 K，M，N 的合冲．

证明 充分性 首先由引理1得正合列

注意到对任意有限生成A-模M，A⊗A0M/JM→M→0为投射盖．现令P0:=A⊗A0K/JK，L0:=A⊗A0M/JM，Q0:=A⊗A0N/JN．由A0半单得0→P0→L0→Q0→0正合且可裂，因此得交换图1．

必要性 若图1成立，则得正合列0→P0→L0→Q0→0．注意到在同构意义下投射盖是唯一的，设P0:=A⊗A0K/JK，L0:=A⊗A0M/JM，Q0:=A⊗A0N/JN，则

从而得正合列0→K/JK→M/JM⇀N/JN→0．由于A0是半单的，故有JK=K∩JM．

图2 行列正合交换图2

证明 由引理3得JK=K∩JM，从而得与引理2相同的行列交换图1．由引理2的证明得0→P0→L0→Q0→0 是可裂的，因此，L0≅P0⊕Q0．

注意到 Ω1(K)⊆JP0，Ω1(M)⊆JL0，Ω1(N)⊆JQ0，从而有行列正合交换图3．

图3 行列正合交换图3

将函子A/J⊗A作用于图3，又因M，N都是弱λ-Koszul模，故可得交换图4．

图4 行列正合交换图4

根据引理3的1)知K是λ-Koszul模，从而又由引理3的2)得JΩ1(K)=Ω1(K)∩J2P0，再由引理1知α0是单同态，所以由3 ×3 引理［7］得 β0也是单同态，因此 J Ω1(K)=Ω1(K)∩JΩ1(M)．

继续应用引理2，可得行列正合交换图5．

图5 行列正合交换图5

同样，0→P1→L1→Q1→0 是可裂的，从而有 L1≅P1⊕Q1．因 Ω2(K)⊆ Jλ(1)P1，Ω2(M)⊆Jλ(1)L1，Ω2(N)⊆Jλ(1)Q1，故有行列正合交换图 6．

图6 行列正合交换图6

其中:P1，L1，Q1分别是 Ω1(K)，Ω1(M)，Ω1(N)的分次投射盖;Ω2(K)，Ω2(M)，Ω2(N)分别是 K，M，N 的二次合冲．

将函子A/J⊗A作用于图6，注意到K是λ-Koszul模，且M，N是弱λ-Koszul模，从而有交换图7．

图7 行列正合交换图7

因 K 是 λ-Koszul模，故 JΩ2(K)=Ω2(K)∩Jλ(1)+1P1，再由引理1得 α1是单同态，所以由3 ×3 引理［7］知β1也是单同态，因此，JΩ2(K)=Ω2(K)∩JΩ2(M)．

重复以上操作，即可证得引理4．

最后得定理1的证明．

证明 首先对于短正合列0→U1→M→M/U1→0，根据引理4，可得行列正合交换图8．

图8 行列正合交换图8

其中，P1*，P*，L1*分别是U1，M，M/U1的极小分次投射分解．易得0→P1*→P*→L1*→0是可裂的，从而 P*≅P1*⊕L1*．记 W=M/U1，则〈Wd2〉=U2/U1=K2．再对短正合列0→K2→W→W/K2→0 进行讨论．根据引理4，可得行列正合交换图9．

同样，L1*≅P2*⊕L2*．其中，P2*，L1*，L2*分别是 K2，W，W/K2的极小分次投射分解．

重复以上过程，可得行列正合交换图10．

图9 行列正合交换图9

图10 行列正合交换图10

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