光声耦合方程组的近似解*

李华星， 林 机

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

光波在布拉格光栅中传播时，因其具有较大的群速度色散和非线性效应而可以形成孤立子．Eggleton等［1］和Taverner等［2］分别在实验中发现了布拉格孤子和带隙孤子，其中后者是布拉格孤子频谱在光子带隙内时的特殊情况;而在理论上，文献［3］首先提出了带隙孤子的概念;de-Sterke等［4］给出了光波在布拉格光栅中传播所遵循的耦合方程组，给出了相应的带隙孤子解，并分析了其性质．目前，布拉格光栅中带隙孤子的传播和稳定性也受到人们的广泛关注［5-6］．此外，由于布拉格光栅的色散效应，带隙孤子的速度可以远小于光速，在此基础上，学者们［7-9］深入分析了带隙孤子抑制光速的原因．

近几年来，光声相互作用引起人们广泛的关注［10-12］．考虑电致伸缩的情况下［13-16］，在布拉格光栅中光波带隙孤子可以与声波耦合，从而形成一种新的带隙孤子——光声孤立子．光声孤立子的概念最早是由Tasgal等［17］提出的，并给出了光波和声波在布拉格光栅中传播所遵循的耦合方程组，在电致伸缩对介质密度的影响下，发现孤子的速度可以减小到接近声速．可见，光声孤立子也可以抑制光传播的速度．然而，Tasgal等只是在特殊情况下给出了单光声孤立子解析解，并且用数值方法给出了孤子的裂变图像，并没有给出更多的解析解．目前对此方程的解析解研究也很少，原因是方程不可积，一般的孤子理论方法难以运用此方程，寻找一般情况解是很困难的．文献［18］运用多重尺度方法分析了玻色-爱因斯坦凝聚中的暗孤子解及其碰撞，这种方法思路简单，过程简洁，而且把复杂的耦合方程组转化成已经有解或容易求解的简单方程．因此，本文运用多重尺度方法简化在布拉格光栅中的光声耦合方程组，并得到了方程的近似解，如单孤子解、二孤子解，并分析了解的性质．

1 多重尺度约化和非线性薛定谔方程

在布拉格光栅中，光声耦合方程组有如下形式:

其中:下标表示对时间变量t和空间变量z的求导;k'0=dk/dω(ω=ω0)表示光波的群速度;κ是布拉格反射率;κ*是κ的复共轭;c代表光速;i表示虚数单位;χχ和χs分别表示交叉相位调制和自相位调制系数;A代表波导的有效区域;λ和χes分别表示由能量密度和波矢变化引起的电致伸缩系数;βs是声速;Γ为声波的粘滞系数;u=u(z，t)和v=v(z，t)表示反向传输的光波包络函数，w=w(z，t)表示声波区域介质的密度波动．

首先，运用多重尺度方法对方程组的光场量和声场量渐近展开为:

其中:u(j)，v(j)，w(j)是多尺度变量(z，t，ξ= ε(z-cst)，τ =ε2t)的函数;ε 为无穷小参量．然后，把这些未知函数代入方程式(1)～式(3)，令各阶ε的系数为零，在第1阶(j=1)时，可得到:

由式(7)和式(8)可以给出:

和线性色散关系

式(10)～式(12)中:F是多尺度变量ξ=ε(z-cst);τ=ε2t的函数;k和ω分别表示光波的波数和载波的中心频率．并且式(10)、式(11)满足式(9)．在第2阶(j=2)，有:

由此可以给出:

其代表波包的群速度．而且u(j)和v(j)(j=1，2)满足方程(15)．在第3阶(j=3)，可给出:

由式(19)、式(20)得出:

式(23)中:B，C，D，F是与方程(1)～(3)中参数有关的常数．

然后，由u(j)，v(j)和式(21)可以得到

因此，式(23)可以化简为

然后，作变换把式(26)还原成关于z，t的方程，设G=εF和作变换

由ξ和τ的定义，式(26)可化为

这就是标准的非线性薛定谔方程，是一个完全可积方程，因此，可以通过这样的近似简化，给出光声耦合方程组的近似解．

2 孤子解

式(27)的单孤子解为［19］

孤子解由如下参数表征:cs代表孤子的速度;A1决定孤子的宽度和振幅;A3与孤子的宽度有关．而且，上文给出了A1和A3的具体表达式．对于单孤子解的图像，演化比较简单，这里不予给出．当βs=0．2，且有以下参数取值时:k=0．25，k'0=κ=1，由式(18)得到光孤子的速度cs=0．27，容易看出光波的速度与声速很接近，可见光声孤立子的相互作用可以产生抑制光速的效果．

同样地，可得出光声耦合方程组的二孤子碰撞的解［20］为:

其中:

图1给出了光声耦合方程组的二孤子碰撞的图像，具体参数取值如下:

可以看出，二孤子稳定地传播，碰撞后其形状和速度不发生变化．

3 结论

运用多重尺度方法研究了光声耦合方程组，将其约化为标准的非线性薛定谔方程．利用非线性薛定谔方程的解，得到了原方程组的单孤子解、二孤子解，并且借助计算机描述了孤子解的图像．根据孤子速度的表达式，看到光声孤立子也可以抑制光传播的速度．人们普遍认为，由于在频率等参数上有很大差别，光声相互作用是非常微弱的，然而，由以上分析可以清楚地看到光波和声波的相互作用．但是，如果想更深入地理解光声作用的内在机制，必须更好地理解电致伸缩效应所起的作用．

［1］Eggletn B J，Slusher R E，Sterke C M．Bragg Grating Solitons［J］．Phys Rev Lett，1996，76:1627-1630．

［2］Taverner D，Broderick N G R，Richardson D J．Nonlinear self-switching and multiple gap-soliton formation in a fiber Bragg grating［J］．Opt Lett，1998，23(5):328-330．

［3］Chen Wei，Mills D L．Gap soliton and the nonlinear optical response of superlattices［J］．Phys Rev Lett，1987，58(2):160-163．

［4］de-Sterke C M，Sipe J E．Gap Solitons［M］．Amsterdam:Elsevier，1994:203．

［5］Kazantseva E V，Maimistov E V．Polaritonic gap-soliton propagation through a wide defect in a resonantly absorbing Bragg grating［J］．Phys Rev A，2009，79(3):033812．

［6］Kalithasan B，Porsezian K，Senthilnathan K，et al．Generation of self-induced-transparency gap solitons by modulational instability in uniformly doped fiber Bragg gratings［J］．Phys Rev A，2010，81(5):053802．

［7］Winful H G，Raman V P．Gap solitons［J］．Phys Rev Lett，2000，84(16):3586-3589．

［8］William C K M，Malomed B A，Chu P L．Formation of a standing-light pulse through collision of gap solitons［J］．Phys Rev E，2003，68(2):026609．

［9］Mok J T，Sterke C M，Littler I C M，et al．Dispersionless slow light using gap solitons［J］．Nature Phys，2006(2):775-780．

［10］Zhao C，Ju L，Fan Y，et al．Observation of three-mode parametric interactions in long optical cavities［J］．Phys Rev A，2008，78(2):023807．

［11］Fermann M E，Silva V D，Smith D A，et al．Shaping of ultrashort optical pulses by using an integrated acousto-optic tunable filter［J］．Opt Lett，1993，18(18):1505-1507．

［12］Verluise F，Laude V．Amplitude and phase control of ultrashort pulses by use of an acousto-optic programmable dispersive filter:pulse compression and shaping［J］．Opt Lett，2000，25(8):575-577．

［13］Buckland E，Boyd R W．Measurement of the frequency response of the electrostrictive nonlinearity in optical fibers［J］．Opt Lett，1997，22(10):676-678．

［14］Buckland E，Boyd R W．Electrostrictive contribution to the intensity-dependent refractive index of optical fibers［J］．Opt Lett，1996，21(15):1117-1119．

［15］Agrawal G P．Nonlinear Fiber Optics［M］．贾东方，余震虹，谈斌，等，译．北京:电子工业出版社，2002:32．

［16］Hardman P J，Townsend P D，Poustie A J，et al．Experimental investigation of resonant enhancement of the acoustic interaction of optical pulses in an optical fiber［J］．Opt Lett，1996，21(6):393-395．

［17］Tasgal R S，Band Y B．Optoacoustic solitons in Bragg gratings［J］．Phys Rev Lett，1998(24):243902．

［18］Huang Guoxiang，Velarde M G．Dark solitons and their head-on collisions in Bose-Einstein condensates［J］．Phys Rev A，2001，64:013617．

［19］He Xugang，Zhao Dun，Li Lin，et al．Engineering integrable nonautonomous nonlinear Schrödinger equations［J］．Phys Rev E，2009，79:056610．

［20］Li Huamei，Li Yishen，Lin Ji．Abundant exact solutions for a strong dispersion-managed system equation［J］．Chin Phys B，2009，18:3657．