施加电场的单量子阱中束缚态的能级*
2011-12-17文军
文 军
(渭南师范学院物理与电子工程系，陕西渭南 714000)
0 引言
在半导体物理研究的基础上，1969年Esaki和Tsu［1］提出了超晶格量子阱(superlattice quantumwell)的概念．他们设想用2种晶格常数相近的半导体材料A和B交替地生长周期性结构的多层薄膜，且薄膜层厚度的周期小于电子的平均自由程，这种由人工设计的交替生长的多层薄膜称为超晶格．超晶格中，电子沿多层膜生长方向在大尺度范围出现了新的量子化运动现象称为超晶格量子阱．超晶格量子阱现象的发现和概念的提出以及材料生长技术工艺的创新，开辟了人工设计与制作晶体结构的新途径，改变了半导体器件的设计思想．由此设计制作的一代新型半导体器件，其线度接近了电子或其他粒子量子化运动的微观尺度，具有用常规器件所不具备的优异特性，显示出许多全新的物理图像，使半导体光电材料的设计和制造从“杂质工程”发展到“能带工程”．
超晶格能带形成的根本原因是周期性量子阱相互作用的结果．不同的半导体材料具有不同的能带结构，当它们组成超晶格时，在2种晶体材料的交界处就出现了能带失调现象．2种不同能带结构材料的禁带、导带、价带的交错，当电子处于材料A的价带或导带中时，在材料的生长方向上，材料B的能隙(禁带)就形成了一个势垒．2个相邻势垒之间是材料A的势阱，2个相邻势阱之间是材料B的势垒，具体见图1．这种“势垒-势阱”结构是超晶格能带结构的本质特性，由于超晶格能带结构的复杂性，人们采用理想化模型，如抛物型势阱、三角势阱、双三角势阱、正切平方势阱等，分别讨论和模拟计算了超晶格量子阱的能级结构、透射率、折射率等问题，得到能够近似说明超晶格量子阱的光电特性的结果［2-9］．文献［8］讨论了电场作用下半抛物量子阱中束缚态的能级结构，发现随着电场强度的增大，束缚态的能量几乎线性地下降，相邻能级间隔则减小．文献［9］指出量子阱中的能级在电场作用下发生了移动．本文采用理想方势阱模型，在有效质量近似下，研究了施加电场作用的超晶格中单量子阱束缚态的能级结构和电子态密度，得到了单量子阱体系的本征能量与本征函数的表达式，表明处于电场中的超晶格量子阱能级向低能方向移动，施加电场不影响超晶格量子阱子能带的电子态密度．
1 未加电场超晶格量子阱能级
图1 超晶格的结构
超晶格量子阱中的载流子在二维空间中自由运动，在量子阱生长方向上的运动受到限制．采用有效质量近似，将晶格周期势对电子的作用归并到电子质量中去［10］，导带底附近的电子(或价带顶的空穴)满足单粒子阱薛定谔方程
式(1)中:m*是电子(空穴)的有效质量;U(z)是超晶格生长方向(z方向)的有效势．电子(空穴)在x-y平面内自由运动，在z方向受到有效势U(z)的束缚．电子(空穴)在x-y平面内的运动模拟为理想界面，则电子(空穴)波函数Ψ(r)为
Ψ(r)代入式(1)，得到电子(空穴)在x-y平面和z方向运动满足的薛定谔方程:
电子的运动在x-y平面内为平面波，电子的总能量连续，在波矢空间的等能量曲线是一个圆．
由于掺杂不同(掺杂超晶格)或组分不同(组分超晶格)，超晶格能带边畸变，形成抛物形或直角形量子阱．只要超晶格量子阱的势垒层足够厚，量子阱之间的相互作用可以忽略，就可以把超晶格视为单量子阱的周期重复，超晶格的整体行为可视为单个量子阱的线性叠加，而多量子阱的问题就退化为单量子阱的问题．组成超晶格量子阱的2种材料的禁带宽度不同，材料B的禁带大于材料A的禁带，在两材料交界处能带突变，称为带阶(band offset)，材料A两侧导带带阶的势垒高度就是量子阱的阱深．例如典型的AlxGa1－xAs(材料 B)-GaAs(材料 A)-AlxGa1－xAs(材料 B)量子阱的导带带阶为300 mV左右［11］．对于单量子阱，由于势阱两边的势垒远高于阱中电子的能量E，电子将完全被束约在阱中，量子阱理想化为无限深势阱［12］．组分超晶格的有效势U(z)取抛物形势阱模型，掺杂超晶格有效势U(z)取无限深势阱模型．这里以掺杂超晶格模型为例讨论，有效势U(z)取无限深势阱．
解式(4)得到电子(空穴)在单量子阱中的波函数和能级
式(7)～式(8)中，Lz为势阱宽度，超晶格量子阱生长方向能级不连续．
2 电场作用下超晶格量子阱的能级
沿量子阱生长方向施加电场F，量子阱的势能表示为
电子(空穴)在x-y平面内仍为自由运动，沿超晶格生长方向的薛定谔方程为
在文献［8］的讨论中，施加的电场为107V/cm量级;文献［9］研究了电场作用下耦合量子阱和超晶格中的电子态，电场强度大于105V/cm时为强电场作用;文献［12］认为量子阱中激子在强于105V/cm的外电场作用下不会被电离，量子阱依然具有强的限制作用．以此为判据，当外加电场强度小于105V/cm时，外电场视为弱电场，否则为强电场．
2．1 弱电场作用
弱电场中，eFz视为微扰，无微扰时的波函数和能级由式(7)、式(8)表示．弱电场微扰作用下，能量和波函数一级修正为:
式(12)中，
将式(7)代入式(11)，求能量一级修正
式(7)代入式(12)，求得波函数一级修正
由此得
超晶格量子阱的所有能级都具有相同的一级修正量值，在弱电场F作用下，能级线性地向低势能方向移动．
2．2 强电场作用
超晶格量子阱生长方向施加较强的电场F，电势eFz已不能视为微扰，沿超晶格生长方向的薛定谔方程仍为式(10)，在动量表象中，式(10)的第1式表示为
式(18)中，φ(p)是动量表象中的波函数．式(18)的解为
式(19)中，A是归一化常数．通过表象变换，将式(19)变到坐标表象，有
式(20)中，右边是以γ为变量的Airy函数，C是归一化常数，其中:
图2是Airy函数的图像，由图2可以看出，当γ＜0时，A(－γ)呈衰减振荡．当 γ0= － 2．338，γ1= － 4．087，γ2= － 5．520，γ3=－6．787，γ4= － 7．944，…等值时，Airy 函数的值为零［13］．波函数的边界条件是Φ(γ)|z=0=0，即
由式(22)得到电子的本征能量为
式(26)中，γn是Airy函数的零点．由于施加较强的电场，相邻量子阱间的相互作用可看成微扰，随外加电场增大，量子阱能级非线性地向低能方向移动．
3 超晶格中电子态密度
图2 Airy函数
超晶格中电子在x-y平面内自由运动，在k空间的等能量曲线是一个圆，计及电子的自旋，在x-y平面内单位面积上允许存在的态密度是常数，即
电子的总能量为
式(28)中，Ezn是由式(16)或式(26)决定的量子阱生长方向的量子化能量．量子化能量构成了一系列子能带(微带)，各个子能带中电子的态密度相同．第n个子能带的电子数为
式(29)中，f(E)是电子的费米分布．将式(27)代入式(29)，得
式(30)中:EF是费米能:k是玻尔兹曼常数．对于所有子能带，超晶格量子阱中电子数为
电荷分布为
式(33)中，Φn(z)是和量子化能级对应的波函数．
4 结论
实际的超晶格量子阱是周期性有限深势阱．为了使讨论问题简单，采用了单量子阱近似和有效质量近似，把直角形量子阱视为无限深势阱，求得施加电场作用的超晶格量子阱的本征能量与本征函数．在弱电场作用下，超晶格量子阱的所有能级都具有相同的一级修正量值，电子能级向势能低的方向移动．在强电场作用下，相邻量子阱间的相互作用能可看成微扰，超晶格量子阱的量子化能级非线性地向低能方向移动．文献［8-9］表明超晶格量子阱的能级在外电场作用下能级向低能方向移动，这和本文讨论的结果基本一致，表明施加电场作用对超晶格量子阱能级的影响，使超晶格能级发生移动，进而影响超晶格量子化能级子能带(微带)大小，而不影响超晶格子能带的电子态密度，电场在量子化能级基础上产生了附加能量．
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