利用AUTO软件分析扬声器薄壳的分岔特性*

李小菊， 张志良

(浙江师范大学数理与信息工程学院，浙江金华 321004)

0 引言

作为音响设备中保真性最薄弱的器件，扬声器的性能优劣对音质的影响很大．扬声器的非线性失真分为谐波失真和分谐波失真，人耳对中频的分谐波失真更为敏感．1935年，Pedersen［1］第一次实验发现了扬声器的1/2分谐波，并分析了分谐波产生的2种途径——参数激励振动和系统含有平方非线性．Cunningham［2］将扬声器薄壳振动类比为受轴向简谐力的弹性直杆的横向振动，以解释扬声器产生分谐波失真的原因．国内，魏荣爵等［3］1986年首次实验观测到了扬声器的分谐波和混沌现象;Zhang Zhilang等［4］实验观测到了扬声器的幅度调制振动和非周期运动，其频率均在中频范围．以上研究没有采用薄壳模型分析扬声器非线性现象的产生机制，基本为实验研究．

本文采用文献［5］中闭合旋转薄壳的几何非线性模态方程，利用分岔分析软件AUTO［6］分析了扬声器非线性振动系统处于2∶1内共振情形下的分岔特性，所得分岔集与已有实验结果基本吻合．

1 非线性方程

假设扬声器薄壳的几何参数和材料参数沿周向完全均匀，在小端受到沿周向均匀分布的轴向驱动力．为研究1/2分谐波，选择受驱动力直接共振激励的轴对称模态和1个固有频率约为轴对称模态固有频率一半的非轴对称模态，即轴对称模态和非轴对称模态2∶1内共振．由文献［5］的结果可写出这2个模态的非线性振动方程

式(1)中:x和z分别表示轴对称模态和非轴对称模态的无量纲位移，无量纲因子为扬声器薄壳厚度;Ω0，Ωn和Ω分别为无量纲的轴对称模态、非轴对称模态的固有角频率和驱动角频率，无量纲因子为扬声器的特征频率ωtb，ωtb可认为是扬声器作分割振动的起始频率［7］，其值略小于轴对称模态的最低固有频率;无量纲时间τ=ωtbt，故无量纲量组合Ωτ等于有量纲量组合ωt;下标n为非轴对称模态的周向波数;无量纲驱动力幅F与驱动电压U成正比，其比例因子设为K．式(1)表明，在周向均匀假设下，仅有轴对称模态受到驱动力的直接激励，而非轴对称模态仅受轴对称模态的耦合激励．

为比较本文结果与实验结果，笔者采用文献［4］的扬声器，利用文献［5］中由有限元法定得的方程(1)的系数进行分析，结果见表1．扬声器振膜阻尼表现为结构阻尼，考虑到2个模态的振动频率均在各自的固有频率附近，取μ0=δΩ0/2，μn=δΩn/2，其中δ为扬声器纸盆材料阻尼因子，取其标准值为0．04．

表1 方程(1)的系数

本文分析轴对称模态处于共振激励，而非轴对称模态的固有频率近似为轴对称模态固有频率的一半的情形，因此引入如下外失谐因子σ0和内失谐因子σn:

方程(1)的线性解容易求得

由方程(1)中非轴对称模态的方程可以看出，上述轴对称模态的线性解对非轴对称模态相当于参数激励，且非轴对称模态在本文研究情形下处于参数激励主共振情形，因此，可以预计非轴对称模态将产生1/2分谐波振动．下文采用AUTO软件分析方程(1)的分岔．

2 分岔特性及稳定性

AUTO软件是由加拿大康考迪亚大学的Doedel等于1980年开发的分岔分析软件包，此软件采用拟弧长延拓算法跟踪非线性系统的分岔分支，并能判断解的稳定性，稳定解和非稳定解分别用实线和虚线标出．软件同时计算系统的弗洛凯乘子，并用不同的符号标注出不同的分岔点．

图1为2个模态的频率响应曲线，xm，zm分别为轴对称模态解和非轴对称模态解的幅值，实线代表稳定解，虚线代表不稳定解，TR，PD和LP分别代表内衣马克-沙克分岔点(Neimark-Sacker bifurcation)、倍周期分岔点和切分岔点．曲线上方和下方的箭头表示解曲线随频率增加和减小的路径，箭头1，2，3所指频率处的驱动力响应和时间历程见下文．图1中，有共振峰的曲线为轴对称模态的线性解，零解为非轴对称模态的线性解．图1表明:当频率由低到高增加时，在倍周期分岔点PD1，即σ0=－0．191处，2个模态的线性解变成不稳定解，非线性解变成稳定解，倍周期分岔表明1/2分谐波振动出现，并发生跳变现象;当频率变化到2个内衣马克-沙克分岔点之间，即－0．053 4＜σ0＜－0．005 1时，系统不存在稳定解，表明非周期振动出现;然后，经过σ0=0．071处的切分岔点LP2，2模态又跳变到线性解稳定区域．频率由大减小时，在倍周期分岔点PD2处，即σ0=0．036 9时，两模态进入非线性解稳定区;而后同样经历2个TR分岔点之间的无稳定解区域;当频率减小到LP1，即σ0=－0．397时，2模态又跳变到线性解稳定区．

图1 驱动电压3 V时的频率响应曲线

图2 σ0=－0．22时的驱动力响应曲线

图3 σ0=－0．13时的驱动力响应曲线

图1 中，箭头1，2和3所表示的几个典型频率下的驱动力响应见图2～图4．同样，xm，zm分别为轴对称模态和非轴对称模态的幅值，实线代表稳定解，虚线代表不稳定解，LP和PD分别为切分岔点和倍周期分岔点．由式(3)可以看出，轴对称模态线性解的幅值与驱动力成正比关系．因此，图2～图4中轴对称模态解的直线部分对应线性解，非直线部分对应着非线性解;对非轴对称模态，零解为线性解，非零解对应其非线性解．图2中，当驱动电压增大和减小时将分别在分岔点PD和LP点发生跳变现象．图3中无跳变现象，系统经倍周期分岔点(F=0．023)，进入非线性解稳定区域，此后直接激励的轴对称模态的幅值基本不变，出现饱和现象，能量传递给了非轴对称模态，非轴对称模态的幅值渐渐远大于轴对称模态的幅值．图4中开始情形类似于图3，但到分岔点TR处后，系统进入无稳定解区作非周期振动．

图4 σ0=－0．05时的驱动力响应曲线

3 时间历程

对图1中箭头1，2和3所表示的频率下求系统的时间历程，结果分别示于图5、图6和图7．图5的频率位于多值解区，计算中初始值设为零，因此图中结果为线性解．图5表明，此时轴对称模态作稳定的周期振动，非轴对称模态没有被激发．图6为倍周期分岔后2个模态的时间历程，清楚表明了轴对称模态和非轴对称模态的周期成2倍关系，扬声器出现1/2分谐波．图7为系统进入TR分岔后的时间历程，此时振幅随时间变化，2个模态作幅度调制振动．

图5 σ0=－0．22，驱动电压为3 V时，轴对称模态和非轴对称模态的时间历程

图6 σ0=－0．13，驱动电压3 V时，轴对称模态和非轴对称模态的时间历程

图7 σ0=－0．05，驱动电压3 V时，轴对称模态和非轴对称模态的时间历程

4 分岔集和实验比较

AUTO软件具有计算分岔集的功能．分别从图1中的分岔点LP，PD，TR出发计算得到系统σ0-F的平面上的各相应分岔点的分岔集，如图8中的L1，L2和L3分别为:切分岔集、倍周期分岔集和内衣马克-沙克分岔集．这3条曲线将σ0-F平面分成3个区域:区域Ⅰ中，线性解不稳定，非线性解稳定且唯一;区域Ⅰ'中含有稳定的线性解、稳定的非线性解和不稳定的非线性解，该区因而为跳变和滞后区;区域Ⅱ中不存在稳定的周期解．文献［4］中实验测得结果见图9，其中Ⅰ区，单值稳定非线性解区;Ⅱ区，无稳定周期解区;Ⅰ'区，多值解区(跳变滞后区)．本文数值模拟结果与其基本吻合，只是实验中没有发现明显的右侧跳变滞后区域，在数值分析结果中，此区域也出现了明显的左右不对称现象，右侧跳变滞后区域明显小于左侧．另外，实验中发现II区中出现了I区窗口，数值分析中当驱动电压达到8 V时，II区成为一个闭合的圈，这也和实验结果相对应，只是此时的电压已经超出了扬声器正常工作时的驱动电压．

图8 σ0-F平面的分岔集

图9 文献［4］中实测的解的区域

5 结论

本文结果和已有实验结果吻合，表明采用的理论模型是正确的，即扬声器中频的非线性来自扬声器薄壳的几何非线性，扬声器的分谐波源自轴对称模态和非轴对称模态的耦合作用．同时表明分岔分析软件AUTO是非线性分析的有力工具．

［1］Pedersen P O．Sub harmonics in forced oscillations in dissipative systems part I［J］．Journal of Acoustical Society of American，1935，6(4):227-238．

［2］Cunningham W J．The growth of subharmonic oscillations［J］．Journal of Acoustical Society of American，1951，23(4):418-422．

［3］Wei Rongjue，Tao Qingtian，Ni Wansun．Bifurcation and chaos of direct radiation loudspeaker［J］．Chinese Phys Lett，1986，3(10):469-472．

［4］Zhang Zhiliang，Tao Qingtian．Experimental study of non-linear vibrations in a loudspeaker cone［J］．J Sound and Vibration，2001，248(1):1-8．

［5］孟庆照，李小菊，张志良．闭合旋转薄壳的非线性模态方程［J］．浙江师范大学学报:自然科学版，2010，33(1):63-69．

［6］Doedel E J，Champneys A R，Dercole F，et al．Auto-07P:Continuation and Bifurcation Software for Ordinary Differential Equations(with Homcont)，User'Guide［EB/OL］．［2008-11-20］．http://indy．cs．concordia．ca/auto．

［7］张志良．扬声器锥壳的全频段振动通解［J］．声学学报，2010，35(5):554-561．