巧用杠杆原理妙证“分点线三角形面积定理”

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(阳新县高级中学 湖北阳新 435200)

巧用杠杆原理妙证“分点线三角形面积定理”

●邹生书

(阳新县高级中学 湖北阳新 435200)

分点线三角形面积定理设△ABC的面积为S，点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的分点，AE和CD,BF和AE,CD和BF分别相交于点P,Q,R.若AD∶DB=λ1,BE∶EC=λ2,CF∶FA=λ3，则分点线三角形△PQR的面积为

图1

文献[1]证明了这个定理，笔者另辟蹊径运用质点系重心的有关知识来证明这个定理.接下来先介绍物理学中重心的有关知识.

一个物体的各部分都要受到重力的作用，从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用于一点，这一点叫做物体的重心.关于质点系重心有如下结论：

若点G是质量分别为m,n的2个质点A,B的重心，则点G在线段AB上，并且满足杠杆原理，即mAG=nGB.

若质点系有n个质点Ai(xi)(i=1,2,…,n)，xi表示质点Ai的质量.把这n个质点任意分成2组：一组m个质点，不妨设为A1(x1),A2(x2),…,Am(xm)；另一组n-m个质点，设为Am+1(xm+1),Am+2(xm+2),…,An(xn).若第一组m个质点的重心为G1(x1+x2+…+xn),第二组n-m个质点的重心为G2(xm+1+xm+2+…+xn)，这n个质点的重心为G，那么点G在线段G1G2上，且满足杠杆原理，即(x1+x2+…+xm)G1G=(xm+1+xm+2+…+xn)GG2.

下面用上述质点系重心的有关知识来证明该定理.

同理可得

在△ABC中，点D,E,F分别是边AB,BC,CA上的分点，AE和CD,BF和AE,CD和BF分别相交于点P,Q,R.若AD∶DB=BE∶EC=CF∶FA=2，则△PQR与△ABC的面积之比为______(答案为1∶7).

[1] 张远荣.分点线三角形面积定理[J].数学通讯，2007(23)：29-30.

[2] 颜美玲.“分点线三角形面积定理”的另证[J].中学教研(数学)，2011(4)：13-14.