关于自然数倒数和的一个结论

● ●

(宁波大学数学系 浙江宁波 315211) (富阳市第二中学 浙江富阳 311400)

关于自然数倒数和的一个结论

●陈计●许康华

(宁波大学数学系 浙江宁波 315211) (富阳市第二中学 浙江富阳 311400)

定理存在无穷多个自然数n,使得bn<[1,2,3,…,n]成立.

为此,先证明以下引理.

引理对任意的自然数n,如果存在素数p≥3,满足(p-1)pk≤n

证明因为

根据Wolstenholme定理[1,2],当p>3时,有

定理的证明由于满足(p-1)pk≤n

结合上述讨论，笔者提出如下猜想：

猜想1存在无穷多个自然数n,使得bn=[1,2,3,…,n]成立.

单墫教授在文献[3]中用初等方法给出了关于[1,2,3,…,n]的上下界: [1,2,3,…,n]<4n;当n≥7时,[1,2,3,…,n]>2n.

[1] 华罗庚.数论导引[M].北京：科学出版社，1979.

[2] Hardy G H,Wright E M.An Introduction to the Theory of Numbers[M].Oxford Clarendon Press,1979.

[3] 单墫.趣味数论[M].北京:中国青年出版社,1987.