素环上的导子的性质

吴毅清, 熊艳清

(1.怀化学院数学系,湖南怀化 418008; 2.湖南师范大学数学系,湖南长沙 410081)

素环上的导子的性质

吴毅清1, 熊艳清2

(1.怀化学院数学系,湖南怀化 418008; 2.湖南师范大学数学系,湖南长沙 410081)

讨论素环李理想上的导子的性质.设R是特征不为2的素环,U为R的满足对任意u∈U,u2∈U的Lie理想1如果R中存在非零导子d使d(u2)ΑZ或[d(u),u2]ΑZ,对任意u∈U,则UΑZ1

素环; 李理想; 导子

1 引 言

随着科学和技术的发展,环理论进展越来越精确和完善,并且环的初步结果已要实践中得到应用1交换性是环的重要性质之一,交换环的研究有助于其它性质的探讨和研究,同时交换代数本质上是研究交换环的,这就使得有关环的交换性的研究变得很重要1素环是一类应用很广泛的环,像我们常见的单环、整环、本质环等都是素环,因此素环交换性的研究成为其中极其重要的一个研究课题1

本文中的R始终表示中心为Z(R)的结合环, [x,y]表示交换子xy-yx,x·y=xy+yx.给定R的两个子集U,V,则[U,V]表示所有形如uv-vu的元素生成的加法子群,其中任意的u∈U,v∈V1则有下列重要等式:[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z,[xy, z]=x[y,z]+[x,z]y,x·(yz)=(x·y)z-y[x, z]=y(x·z)+[x,y]z和(xy)·z=x(y·z)-[x, z]y=(x·z)y+x[y,z]1

如果由aRb=(0)可以推出a=0或b=0,那么称R为素环1

称R到R的映射d为R上的一个导子,如果对任意x,y∈R,有d(x+y)=d(x)+d(y),且d(xy) =d(x)y+xd(y)1

R的加法子群U称为R的理想,如果[u,x]∈U,对任意的u∈U,x∈R1特别,若对所有u∈U,有u2∈U,则称U是平方封闭的;定义R的非空子集A的中心化子为

显然CR(A)是R的一个子环.

R的加法子群U如果满足对任意R有Lie,则U称为R的Lie理想.由这个定义可以看出,每个理想一定是Lie理想,反之,即使对于具有性质u2∈U,对任意u∈U也未必成立.

例如,设R是任意一个环,U是由R的幂等元生成的加法子群,如果e是R的幂等元,x是R的任意元,则容易得出u=e+ex-exe和v=e+xe-exe都是R的幂等元,因此[e,x]=ex-xe=u-v∈U是R的Lie理想.并且满足u2∈U.

2 引 理

引理2.1[1]设R是任意一个环,U是R的Lie理想,且满足u2∈U,对任意u∈U,则2uv∈U,对任意u,v∈U1

引理2.2[2]设R是特征不为2的素环,U⁄Z是R的Lie理想.如果存在a,b∈R,使得aUb=0,则a=0或b=0.

引理2.3[1]设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,如果[U,V]ΑZ,则UΑZ.

引理2.4[3]设R是特征不为2的素环,d是R的非零导子,若R的Lie理想U满足d(U)ΑZ,则UΑ Z.

引理2.5[2]设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,满足u2∈U,对任意u∈U,若R的非零导子d使得d2(u)=0,对任意u∈U,则UΑZ.

引理216[3]设R是特征不为2的素环,U⁄Z是R的Lie理想.则CR(U)=Z.

引理217[4]设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,则CR([U,U])=CR(U)1

引理218[3]设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,假定V={u∈U|d(u)∈U},则V是R的Lie理想,且如果VΑZ,则UΑZ1

引理219[4]设R是素环,a,ab∈Z,如果a≠0,那么b∈Z.

引理2110[5]设R是特征不为2的素环,d是R的非零导子,U是R的Lie理想,如果对任意u∈U,满足[u,d(u)]ΑZ,则UΑZ1

引理2111[4]设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,d1,d2是R的非零导子,使得d1d2(U)Α Z,则UΑZ.

引理2112[5]设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,若d是R的非零导子且a∈R使得, ad(u)ΑZ,则a=0或UΑZ1

3 素环上的Lie理想和导子的性质

定理311 设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,且满足u2∈U,对任意u∈U,若R的非零导子d使得d2(u)∈Z,对任意u∈U,则UΑZ.

证明 由已知条件,d2(u)∈Z,对任意u∈U,特别地,对于u∈V={x∈u|d(x)∈u}上式成立1

由于d(2u2)=2ud(u)+2ud(u)∈Z及d(2u2) =d(u2)+d(u2)∈Z,对任意u∈V成立.因此Z∩R≠{0}1

对任意λ∈Z∩R,在上式中用2λv代替v,得uv +vu=d(λ)∈Z.

由于d(λ)∈Z,由引理得,d(λ)=0.或者uv+ vu∈Z.

如果d(λ)=0,则在(1)中取0≠u∈Z∩U,得2ud(U)ΑZ.

由引理,d(U)ΑZ,于是得UΑZ.

如果uv+vu∈Z,取0≠u∈Z∩U,得2vu∈U.由引理得UΑZ.

定理3.2 设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,且满足u2∈U,对任意u∈U,若R的非零导子d使得[d(u),u2]∈Z,对任意u∈U,则UΑ Z.

证明 假设U⁄Z,显然[d(u),u2]∈Z成立1由假设有

如果U∩Z={0},此时[d(u),u2]=0,

可线性化为

用-u代替u得

比较上面两式,并利用R是特征不为2的素环,得

用2vu2代替v,化简得[v,u2]d(u2)=0,对任意u,v∈U.

用2wv代替v,化简得[w,u2]d(u2)=0.

由引理,[w,u2]=0或者d(u2)=0,对任意u, w∈U.

若[w,u2]=0,则由引理得u2∈CR(U)=Z,因此d(u2)∈Z1

若d(u2)=0,则d(u2)∈Z.

于是由定理311得UΑZ,这与假设矛盾.

如果U∩Z≠{0},同样可得

在上式中用2wv代替v,可得d(w)[v,u2]∈Z.

由引理得d(w)=0或者[v,u2]=01

若d(w)=0,则在(2)中取0≠v∈U∩Z,得v[d(u),u]∈Z,由引理得[d(u),u]∈Z.于是由引理得UΑZ,这与假设矛盾.

若[v,u2]=0,则由引理得u2∈CR(U)=Z,因此d(u2)∈Z1于是由定理311得UΑZ,这与假设矛盾.定理得证.

定理313 设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,且满足u2∈U,对任意u∈U,若R存在导子d使得d(u)·d(v)=u·v,对任意u,v∈U,则UΑZ.

证明 (1)若d=0,则u·v=0,对任意u,v∈U1用2vw代替v,得u·(2vw)=0,即2((u·v)wv[u,w])=0,对任意u,v,w∈U1但u·v=0且特征不为2,所以v[u,w])=0,对任意u,v,w∈U.

再用[v,r]代替v,有

[v,r][u,w]=0,对任意u,v,w∈U和r∈R.

用rs代替r得[v,r]R[u,w]=0,对任意u,v,w∈U和r∈R.R是素环使得[v,r]=0或者[u,w]= 0.

现设U1={u∈U|[u,r]=0,/r∈R},U2={u∈U|[u,w]=0,/w∈U},则U1,U2均为U的加法子群且U=U1∪U2.但一个群不能是两个真子群的并,故U=U1或者U=U2.

若U=U1,得[u,r]=0,对任意u∈U,r∈R,显然UΑZ.

若U=U2,则[u,w]=0,对任意u,w∈U,用[u,r]代替w,得

[u,[u,r]]=0,对任意u∈U和r∈R1(3)

用rs代替r得

[u,[u,r]]s+r[u,[u,s]]+2[u,r][u,s]= 0,对任意u∈U和r,s∈R.

由(3)和特征不为2,上式可化为

[u,r][u,s]=0,对任意u∈U和r,s∈R.

用rs代替s有[u,r]R[u,r]=0.因R是素环, [u,r]=0,对任意u∈U和r∈R.即UΑZ.

(2)若d≠0,则d(u)·d(v)=u·v,对任意u, v∈U.

用2vw代替v得

d(u)·d((2v)w+2vd(w))=u·(2vw),对任意u,v,w∈U.因特征不为2,上式可化简为

(d(u)·d(v))w-d(v)[d(u),w]+(d(u)· v)d(w)-v[d(u),d(w)]=(u·v)w-v[u,w],

利用d(u)·d(v)=u·v,有

(d(u)·v)d(w)-d(v)[d(u),w]-v[d(u), d(w)]+v[u,w]=0,对任意u,v,w∈U1

用2vu1代替v得

[d(u),v]u1d(w)-d(v)u1[d(u),w]=0,对任意u,u1,v,w∈U1

取u∈V,则d(u)∈U,可用d(u)代替w得

[d(u),v]u1d2(u)=0,对任意u1,v∈U,u∈V1

从而[d(u),v]Ud2(u)=0,对任意v∈U,u∈V.

假设U?Z,由引理得V¿Z1由引理得[d(u), v]=0或者d2(u)=0.

若[d(u),v]=0,对任意v∈U,u∈V,则由引理得d(V)ΑCR(U)=Z,由引理有d=0,与假设矛盾1故d2(u)=0,对任意u∈V,由引理得d=0,矛盾1故UΑZ.

同理可证

定理314 设R是特征不为2的素环,U是R的Lie理想,且满足u2∈U,对任意u∈U,若R存在导子d使得d(u)·d(v)+u·v=0,对任意u,v∈U,则UΑZ.

[1]Herstein I N.on the Lie structure of an associative ring[J].J Algebra.1970,14:561-571.

[2]Bergen J.Herstein I N,kerr J W.Lie iderls and derivations of prime rings[J].J Algebra.1981,71:259-267.

[3]Huang Yunbao.On derivations of prime rings[J].1994,4.

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[5]J1H1Mayne,Centralizing mapping ofprimerings[J]. Canadian Math.Bull.1984,27.

Abstract:In this paper,we discuss the propertyof iderls in prime ring with derivations.LetRbe a prime ringof CharR≠2 and letUbe a Lie iderl ofR,that is satisfiedu2∈Ufor allu∈U.if there exists a nonzero derivation d inRsuch that d(u2)ΑZor[d(u),u2]ΑZor allu∈U,thenUΑZ.

Key words:prime ring; Lie iderl; derivation

The Property in Pprime Ring with Derivations

WU Y i-qing1, XIONG Yan-qing2

(1.Dept.of Math1,Huaihua University,Huaihua,Hunan 418008;
2.Dept of Math.,Hunan Normal University,Changsha,Hunan 410081)

O153

A

1671-9743(2011)02-0016-03

2011-02-21

湖南省教育厅项目(04C470).

吴毅清(1964-),男,湖南长沙人,怀化学院副教授,主要研究代数;

熊艳清(1983-),女,湖南邵阳人,湖南师范大学硕士研究生,主要研究矩阵论.