用平动惯性力求解力学问题的讨论*

2011-01-24许新胜张雪

物理通报 2011年4期

许新胜张雪

(安徽师范大学物理与电子信息学院安徽芜湖 241000)

牛顿第二定律是经典力学的核心，仅成立于惯性系[1].我们知道，对于地面上的宏观低速运动，在一定精度范围内，地球以及地球上相对于地球静止或做匀速直线运动的参照系都可看成惯性系，而相对于地球有加速度的参照系是非惯性系.对于一些复杂的运动，如果相对于地面的绝对运动比较复杂，物理图像不太清楚，这时可以考虑在非惯性系中处理问题.但是，在非惯性系中处理力学问题就要牵涉到惯性力.

1 平动非惯性力的应用注意事项

设非惯性系的牵连加速度为a牵，物体相对非惯性系的加速度为a相，则物体相对惯性系中的绝对加速度为

a绝=a相+a牵

(1)

如果物体质量为m，受到的合外力为F，则由牛顿第二定律可知

F=ma=m(a相+a牵)

(2)

(2)式改写成

F+(-ma相)=ma牵

(3)

令F惯=-ma相

(4)

则有F+F惯=ma牵

(5)

(5)式即平动非惯性系中的“牛顿第二定律”[2].其中，F惯大小为物体的质量与非惯性系加速度a相的乘积，方向与非惯性系平动加速度a相相反.非惯性系中的牛顿第二定律表明，物体的质量与相对非惯性系的加速度的乘积等于物体受所有外力(包括惯性力)的合力.

应用惯性力，需要注意以下几点：

(1)惯性力是一种假想的力，没有施力物体，也没有反作用力；

(2)惯性力与其他实际作用的力，如重力、拉力、弹力等，地位相同；

(3)惯性力能做功、有冲量，在非惯性系中引入惯性力后，动能定理、动量定理依然成立.

下面举几个在非惯性系中引入惯性力来求解力学问题的具体实例.

2 平动非惯性力的应用举例

【例1】如图1所示，在光滑水平桌面上放有一质量为M的光滑斜面体A，其光滑斜面上端放一质量为m的小物块B(可视为质点)，斜面倾角为θ.试求小物块B从A顶端下滑到底端过程中两者之间的相互作用力.

图1

解析：斜面体A不固定，使得小物块B在沿斜面下滑的过程中还会跟随斜面体A向左运动，小物块B相对地面的运动比较复杂，物理图像不太清晰.下面以斜面体A为参照系来考察小物块B的运动从而求解.由于斜面体A有向左的加速度，故求解过程中需要引入惯性力.

设A与B之间的相互作用力为N，A相对地面的加速度为a相，则在斜面体参照系中，B还受惯性力F惯作用,如图2所示.即

F惯=-ma相

(6)

对A，由水平方向的牛顿第二定律可得

Nsinθ=Ma相

(7)

对B，在斜面体A参照系中，沿垂直于斜面的方向小物块受力平衡，有

N+F惯sinθ=mgcosθ

(8)

由(6)、(7)、(8)式可解得

图2

【例2】如图3所示，质量为M的金属板置于光滑地面上，板中央有一光滑转动轴O，轴上连着一根长为L的轻杆，杆的上端固定有一质量为m的小球，且m

图3

解析：系统水平方向不受外力，初始状态系统水平动量为零，又由于杆不可伸长，末状态球与金属板两者水平速度相同，设共同的水平速度为v1，由动量守恒定律可知

(M+m)v1=0

(9)

即

v1=0

设小球竖直速度为v2，由于地面支持力及杆中内力不做功，由机械能守恒定律可得

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(10)

对于杆转过90°时的末态，m相对M的运动可看作转动，转动速度为v2，此时杆中有张力设为T，如图4所示，M加速度不为零，以M为参照系，球还受到水平向左的惯性力作用.于是有

(11)

又由牛顿第二定律可得

(12)

由(10)、(11)、(12)式解得