巧借深层拓展研究 发展学生综合能力

[摘" 要] 数学知识是丰富多彩、错综复杂的，学生在学习时难免会出现一些一知半解的情况. 基于此，教师要认真地分析学生和教材，掌握学生之所疑、所惑，帮助学生排疑解难，以此提高学习效果和学习品质. 文章基于学生对“SSA”情形的理解不够深入而开展深度拓展研究，旨在引导学生明晰用“SSA”判定两个三角形全等的条件，促进学生认知结构的完善和学习能力的提升.

[关键词] 重点教学;深度拓展研究;认知结构

作者简介：张杨（1999—），本科学历，中学二级教师，从事初中数学教学工作.

在应试教育的重压之下，部分教师为追求成绩，过分注重“讲授”，忽略了给予学生足够的时间去思考与交流，这在一定程度上限制了学生学习能力的发展与提高. 为了改变这一现状，教师应当深入钻研教材，了解学生，并有效利用课堂生成资源，对教学中的重点、难点以及学生的疑惑点进行深入剖析和研究，以逐步优化学生的认知结构，提升他们的学习能力.

通过对“探索三角形全等的条件”的学习，学生已经初步理解并掌握了判定两个一般三角形全等的方法. 不过，学生对“SSA”的理解尚显浅显. 鉴于此，教师有必要对“SSA”进行更为深入细致的研究，以满足学生的求知需求. 基于这一考量，笔者在教学实践中精心策划了一堂拓展研究课，旨在通过引导学生参与实践、思考、分析及交流等一系列活动，帮助他们获得对相关知识的深刻理解，并有效促进学生数学思维的发展，同时提升其分析与解决问题的能力. 现将此教学设计呈现给大家，以供参考.

教学目标

（1）借助图形让学生直观感知满足“SSA”条件的两个三角形的不同情形;

（2）引导学生从不同角度出发，探索用“SSA”判定两个三角形全等的条件;

（3）引导学生深刻体验分类思想与转化思想在解决实际问题中的作用和价值.

教学设计与分析

环节1：动手操作，引出猜想

数学概念、结论、定理等内容都是在大量的具体实例中总结概括而来的，因此它们具有高度的抽象性和概括性. 为了让学生更好地理解这些有高度抽象性和概括性的知识，教师不妨鼓励学生亲自动手操作，将抽象的知识具体化、直观化，从而有效提升学生的课堂参与度和学习积极性. 此外，动手操作不仅能帮助学生积累宝贵的实践经验，还能进一步优化他们的认知结构，促进他们全面发展.

问题1" 通过前面内容的学习我们知道，若想用“SAS”来判定两个三角形全等，其中的角必须是两等边的夹角. 若不是，则两个三角形不一定全等. 对于“不一定”你是如何理解的？在什么情形下，满足“SSA”条件的两个三角形是全等的，什么情况下是不全等的？如果这个对应角是直角，那么这两个三角形是否全等呢？（学生互动交流）

设计意图" 通过前面的学习，学生已经理解了“HL”判定方法，并知晓它是“SSA”的一个特例. 这样从特例出发，引导学生对一般情况进行合理猜想，进而引出另外两种情形——锐角三角形与钝角三角形. 这一过程旨在培养学生的分类意识.

问题2" 请作△ABC，满足∠B=40°，AB=4 cm，AC=3 cm. 完成后，请进行组内对比，看看你们作出来的三角形是否全等. （独立操作+互动交流）

问题3" 请作△ABC，满足∠B=120°，AB=2 cm，AC=4 cm. 对比一下，看看你们又有什么发现. （独立操作+互动交流）

设计意图" 通过具体操作和对比交流让学生发现，当∠B是锐角时，可以画出不全等的三角形，而当∠B是钝角时，所画的三角形都是全等的. 其实，针对问题2的探讨，除了引导学生通过操作与观察发现不全等的情形，还应指导学生“比一比”“折一折”，让学生深入理解不全等图形的反例，从而构建准确的认知框架.

问题4" 思考一下，对于满足“SSA”条件的两个三角形，它们会是怎样的情形呢？（互动交流+总结提炼）

设计意图" 让学生结合已有经验及实验操作过程，猜想“当∠B和∠B′是直角或者钝角时，△ABC≌△A′B′C′;当∠B是锐角时，△ABC和△A′B′C′不一定全等”.

这样从学生的已有经验出发，让学生通过操作和交流发现，满足“SSA”条件的两个三角形可能是锐角三角形，可能是直角三角形，也可能是钝角三角形，渗透了分类讨论思想. 通过经历从特殊到一般的转化过程，促进学生的思维能力的发展.

环节2：深入研究，证明猜想

众所周知，数学是一门严谨的学科，每个结论的推导均需历经科学而缜密的验证过程. 在环节1中，学生借助直观观察和互动交流提出了自己的猜想. 猜想虽然具有一定的科学性和合理性，但是它也具有一定的主观性. 因此，教学中教师有必要指导学生去证明，以此让学生更全面、更系统地理解知识，逐步建立完善的认知结构.

问题5" 如图1所示，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′gt;90°，AB=A′B′，AC=A′C′，求证：△ABC≌△A′B′C′.

设计意图" 在环节1中，通过动手操作及互动交流，学生猜想当∠B为钝角时，△ABC≌△A′B′C′. 教师提出问题5旨在让学生验证猜想，形成结论. 同时，通过问题5的解决，为接下来探究∠Blt;90°的情况做好铺垫.

问题6" 若将问题5中的“∠B=∠B′gt;90°”改为“∠B=∠B′lt;90°”，且ABlt;AC，则△ABC和△A′B′C′还全等吗？

问题7" 若将问题6中的“ABlt;AC”改为“ABgt;AC”，其他条件不变，则△ABC和△A′B′C′是否全等呢？

设计意图" 探索∠Blt;90°的情形是本节课研究的重点，教师引导学生通过变式探究进一步认识满足“SSA”条件的两个三角形会出现怎样的情形，渗透了分类讨论思想.

问题8" 结合上述操作过程和证明过程说一说，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B=∠B′，AB=A′B′，AC=A′C′，在什么情况下，△ABC和△A′B′C′全等？在什么情况下，△ABC和△A′B′C′不全等？

设计意图" 对上述操作过程和证明过程进行梳理，确定满足“SSA”条件的两个三角形全等的判定依据，通过有效的归纳总结，促进知识的内化.

对上述问题的探究应“以生为本”，即先让学生独立思考，然后引导其讨论交流，以此达成增强学生的“四基”，并拓宽学生的认知视野的目标.

对于问题5，如图2，分别过点A和A′作垂线，交CB和C′B′延长线于点D，D′. 易证△ABD≌△A′B′D′，故AD=A′D′. 又AC=A′C′，根据“HL”定理易得△ACD≌△A′C′D′，故∠C=∠C′. 根据“AAS”可得△ABC≌△A′B′C′. 这样充分运用已有知识，完成了环节1中的猜想“∠B和∠B′是钝角时，△ABC≌△A′B′C′”的证明.

问题6和问题7同样源于环节1中的猜想“当∠B和∠B′为锐角时，△ABC和△A′B′C′不一定全等”. 那么，在什么情况下，△ABC和△A′B′C′是全等的呢？在什么情况下，△ABC和△A′B′C′不全等呢？为了让学生理解这些问题，教师引导学生从已知条件中的两组相等边入手，进行更深入的拓展与分析：当ABlt;AC或ABgt;AC时，△ABC和△A′B′C′是否全等？在分析过程中，教师可引导学生从特殊情况出发，将点C看作以A为圆心，AB为半径的圆与∠B的一边的交点，当AB=AC时，点C是唯一的，所以△ABC和△A′B′C′全等（如图3）. 在此基础上，将△ABC和△A′B′C′是否全等的问题转化为圆A与射线BC有几个公共点的问题. 通过作图可知，当ABlt;AC时，圆A与射线BC仅有一个公共点，故△ABC≌△A′B′C′（如图4）. 继续作图探究，如图5，当AC=AB·sinB时，圆A与射线BC仅有一个公共点，故△ABC≌△A′B′C′;当AClt;AB·sinB时，圆A与射线BC没有公共点，故三角形不存在;当AB·sinBlt;AClt;AB时，圆A与射线BC有两个公共点，说明有两个不重合的三角形满足“SSA”条件，故△ABC和△A′B′C′不一定全等. 由此，在教师的启发和引导下，学生通过作图、交流和归纳，最终得到结论：当满足AC≥AB或AC=AB·sinB时，△ABC和△A′B′C′全等.

环节3：借助练习，促进内化

无论何种课型，练习都是必不可少的，它是优化学生认知结构、提高学生解题能力的重要途径. 通过上述环节的深入研究，学生对两个三角形何时全等、何时不全等有了清晰的认识. 此时，教师可以给出一些练习，让学生在应用中促进知识的内化.

问题9" 如图6，点P为∠AOB平分线上的一点，点C和点D分别在OA和OB边上，且满足PC=PD，图中是否存在与∠PCA相等的角？若存在，请指出，并证明你的结论.

设计意图" 本题旨在探讨如何将满足“SSA”条件但不全等的两个三角形，通过作垂线转化为满足“HL”条件而全等的两个三角形. 这一过程深刻体现了转化思想.

在学习过程中，学生常会遇到涉及“SSA”条件的问题，唯有通过深入透彻的理解，方能在解题时有效规避“模棱两可”的困惑与“一错再错”的窘境.

教学思考

1. 重视开展深度教学

在新课改的浪潮中，数学课堂教学目标已悄然从“双基”改为“四基”.这一转变要求教师不再局限于传统的讲授模式，而是深入挖掘教材资源，开展富有深度的教学活动，旨在引导学生深入探究，理解问题的本质，进而提升学生的学习品质，落实数学核心素养.

在教学中，教师应从学生的实际情况出发，精心设计问题，让学生在问题的引领下进行深入分析、积极思考与有效解决，以此帮助学生积累丰富的活动经验，拓展学生的数学思维. 另外，在教学中，教师要鼓励学生多交流、多讨论，从而通过多视角的分析，提高学生的抽象概括能力和语言表达能力，促进学生数学学习能力的提升.

2. 重视培养批判性思维

在教学中，教师应积极创设契机，促使学生独立思考与主动交流，鼓励学生以发展的眼光看待问题，通过细致观察、深入反思、严谨推理以及积极交流，深刻理解知识的内涵，从而有效培养学生的批判性思维. 要知道，学习既是一个传承的过程，更是一个创新的过程，因此，学生不能拘泥于现有的知识框架，而应形成一种质疑精神，以怀疑的眼光看待问题. 这样的态度能够激发学生的创新思维，提升他们的创新能力.

例如，本节课教学引导学生深入探究满足“SSA”条件的两个三角形的特性，并研究它们在何种情况下是全等的，在何种情况下不是全等的. 这种教学方式摒弃了传统的机械式讲授，鼓励学生通过亲身体验来揭开其中的奥秘，从而消除心中的疑惑. 因此，在教学中，教师要打破“以师为主”的教学模式，让学生少一些依赖，多一些思考，多开展批判性评价，以此推动学生已有知识的系统化与完善化，激发学生的创造力.

3. 重视渗透数学思想方法

在教学中，教师不仅要关注知识与技能的传授，还要重视数学思想方法的渗透. 例如，本节课教学从学生熟悉的“HL”定理入手，引导学生理解该定理是“SSA”的特殊情形，进而激发学生对一般情形的联想与探索，鼓励学生深刻体会并实践特殊与一般、分类讨论等数学思想方法. 在操作和验证完成后，预留时间让学生自主进行归纳和总结，不仅使学生的学习内容更加条理清晰，同时也有效培养了学生的抽象概括能力和语言表达能力. 因此，在教学中，教师应多提供机会给学生去提炼数学思想方法，以此感悟数学思想方法的精髓.

4. 重视发挥学生的主体性

众所周知，学生是课堂教学的主体，学生积极参与的课堂才是有价值的. 因此，在教学中，教师要摆脱应试教育的束缚，创造机会让学生积极参与课堂活动，发挥学生的主体性作用，以此提高教学有效性. 例如，本节课教学基于学生的已有经验，巧妙构思问题，引导学生通过“亲身实践、互动探讨、总结提炼”等过程，在解决问题的实战中深刻领悟“SSA”的真正含义. 同时，历经上述过程，帮助学生积累丰富的活动经验，促进学生数学学习能力的提升.

总之，在教学中，教师要深入地研究教材和学生，敢于打破常规，为学生营造一个和谐自主的学习氛围，重视激发学生的主体性，让学生在亲身经历中去操作、去发现、去探索、去归纳，从而提升教师的教学水平和学生的学习品质.