发展初中生抽象能力的教学实践

摘" 要：通过组织学生在课堂中自主进行“观察—思考—表达”的教学实践，引导学生经历从现实世界的客观现象中抽象出数学问题，在数学问题的研究过程中抽象出一般结论，再阐释与检验回到现实世界，形成发展学生抽象能力的有效途径.

关键词：抽象能力；初中数学；核心素养

中图分类号：G633.6" " " 文献标识码：A" " " 文章编号：1673-8284（2025）01-0026-05

引用格式：胡素芬. 发展初中生抽象能力的教学实践［J］. 中国数学教育（初中版），2025（1）：26-30.

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）指出，课程目标的确定，立足学生核心素养发展，集中体现数学课程育人价值. 数学课程要培养的核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界. 在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力、几何直观、空间观念与创新意识. 抽象，通常是指从众多事物中抽取共同的和本质性的特征，而舍弃其非本质特征的思维过程. 作为数学三大特征之一的抽象性，既是数学研究的对象，又是数学的本质，还是数学发展依赖的基本思想，更是一种关键的思维能力.

随着初中阶段学习内容的拓宽和知识的深化，学生所学的数学知识从具体发展到抽象，从文字发展到符号，从静态发展到动态……而刚刚进入初中的学生自主获取知识的能力相对较弱，没有及时调整学习方法，逐渐失去学好数学的信心. 因此，提升学生的抽象能力，对提高学生的数学水平至关重要.

二、抽象的步骤、水平与表现

数学概念的存在形式决定了数学概念的获得形式，从而决定了数学抽象的本质. 因此，在初中数学教学中开展关于数学抽象本质的讨论对于指导数学教学是非常重要的.

抽象是从感性认识出发，通过分析和比较，抽取共同点，撇开差异性内容和联系，通过综合得出简单的、基本的规定过程. 分析、比较和综合是抽象的基础，没有分析、比较和综合就找不到事物的异同，也不能区分事物的本质属性和非本质属性. 在抽象的过程中，分析、比较和综合相互作用、相互渗透. 抽象的具体过程千差万别，但都包括分离、提纯和简略三个基本过程，具体如表1所示.

表1" 抽象的三个基本过程

[过程 步骤 分离 分离是指暂时不考虑研究对象与其他各个对象之间的各种联系. 分离本身就是一种抽象，它是抽象的第一步. 例如，研究某事物的物理现象，就撇开其化学、生物、社会等现象，只把特定的物理现象从总体现象中抽取出来 提纯 提纯是指在思维中排除那些模糊的基本过程，以及忽略非本质因素，在纯粹状态下对研究对象的性质和规律进行考查. 提纯是抽象过程中最关键的一步 简略 简略是指对提纯结果做必要的处理，即对研究结果的一种简单化表达方式，简略也是一种抽象，而且是抽象过程中一个必要的环节 ]

核心素养具有整体性、一致性和阶段性，在不同阶段有不同表现. 小学阶段侧重对经验的感悟，初中阶段侧重对概念的理解. 初中阶段的学生能感悟数学抽象对于数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣. 不同阶段中抽象能力的内涵不同，主要表现和呈现方式也不同，具体如表2所示.

三、发展抽象能力的教学策略

1. 加强单元教学设计，关注素养导向，整合知识，发展能力，形成素养

（1）把握教学内容之间的联系，促进抽象能力的整体性发展.

教学内容是落实教学目标、发展核心素养的重要载体. 为实现核心素养导向的教学目标，无论是在概念课中还是复习课中都要重视对教学内容的整体分析，进行单元教学设计，通过思维导图、知识框图或者逻辑分析图等方式帮助学生建立能体现数学学科本质、支撑未来学习的结构化数学知识体系.

加强整体视角下的单元目标设计、活动设计和作业设计，用前后连贯的设计促进知识逻辑一致地发展. 一方面，借鉴数学史的相关材料引导学生了解数学知识的产生与来源，明确数学知识的结构与关联，领悟数学知识的价值与意义，让学生逐步体会课程内容与教材内容的编写意图；另一方面，强化学生对数学本质的理解，关注概念的现实背景，引导学生从基本概念出发，建立适合自己认知的数学知识结构.

（2）注重教学内容与核心素养的关联，促进抽象能力的生长和发展.

通过具体教学内容与核心素养之间的关联及内容主线与素养发展之间的关联实现教学目标. 在教学过程中，教师不仅要关注学生数学知识的获得，而且要关注学生数学能力的提升，同时关注学生抽象能力的生长和发展.

2. 创设问题情境，关注过程引导，积累从具体到抽象的活动经验

（1）问题驱动调动学生的认知.

通过横向数学化增强数学与现实世界之间的联系，通过纵向数学化引导学生感受数学与数学内部运作的差异. 教师要选择尽可能贴近学生生活现实的、具有问题驱动特征的教学情境，有利于学生在经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程中发展抽象能力；密切关注学生在学习过程中表现出的目标达成度和思维历程，注重学生的学习体验，丰富学生的数学学习经验，促使学生形成抽象化与形式化的学习成果.

（2）多元变式锻炼学生的思维.

通过分层次、有步骤地变化核心知识的问题情境改变学生的思维角度，使核心知识的非本质属性不断迁移，以揭示其本质属性，从而通过明确本质、变化外延的方式提高数学课堂教学的有效性.

3. 采取多种形式，关注学法指导，养成抽象思考问题的习惯

（1）积累丰富的数学活动经验.

采用多种方法帮助学生积累数学活动经验，是数学教师应放在首位的教学任务. 因此，为有效促进学生在积累数学活动经验的过程中提高抽象能力，教师可以通过设计教学活动的“做”与“思”过程，使学生在动手、动嘴、动脑等活动中科学积累数学活动经验. 此外，建立在丰富数字资源（各地录制的空中课堂、名师面对面的视频和文本，以及各级教育教学保供资源）基础上的线上线下融合教学成为研究热点．教师可以根据课外对于学生具体学习情况的分析备课，课上采用多种教学素材（音频、视频、文本、图片等）进行教学活动、在线测试和情况反馈，引导学生进行知识重构，以新授知识和已有认知的冲突作为学生学习能力的生长点，使学生通过学思兼顾、知行兼备积累直接活动经验和间接活动经验，不断抽象、归纳和理解知识，通过将数学知识应用于实践，巩固和深化抽象获得的知识.

（2）开展主题式学习、项目式学习.

教师可以融合数学与科学、技术、经济、地理等学科领域的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察、思考、分析和解决问题，积累数学学习经验. 结合学生的学习能力和学业要求，通过实施多学科和跨课时的主题式项目式学习，在其他领域与数学领域的多次往返中发展学生的抽象能力，让学生体会数学的价值，感悟数学与其他领域知识的关联，丰富学生的学习体验.

四、基于抽象能力发展的教学过程呈现

接下来，以阶段复习课“它有多高”为例，说明如何整合不同章节的知识进行复习课的教学设计与实施，发展学生的抽象能力.

1. 观察——从现实世界进入数学世界

（1）观察教材.

在教学中，教师既要尊重教材、用好教材，又不能囿于教材、照搬教材上的内容，应该在精准分析学情的基础上深入研读教材和精心重构教材. 多姿多彩、引人入胜的章头图能帮助学生了解本章学习的内容、地位和作用，唤起并激励学生学习的兴趣，还能够激发学生应用数学知识解决实际问题的意识.

例如，沪教版《九年义务教育课本·数学》九年级第一学期（试用本）（以下统称“沪教版教材”）第二十四章“相似三角形”的章头图呈现了古希腊哲学家泰勒斯用测量影子的方法巧妙计算出金字塔高度的场景. 这张图片既再现了科学和物理中的测量场景，又可以对第二十五章“锐角的三角比”和高中立体几何的学习起铺垫作用.

除了重视教材中章头图的价值外，还需要适当地观察目录. 教师可以利用目录引导学生厘清相关内容的关系，从而对相关知识进行结构化融合.

例如，如图1和图2，沪教版教材第二十五章通过与相似三角形应用相关的测量分析逐渐展示锐角的三角比的形成过程. 引导学生观察目录，既能够和第二十四章的章头图前后呼应，又能够重视这两章之间的内在联系.

（2）观察图形.

通过图片呈现学生熟悉的生活情境（如表3），引导学生从现实情境的场景中抽象出几何图形，综合运用数学的知识和方法分析并解决问题，在分析问题的过程中概括一般结论，结合自己的学习经验形成数学方法和策略.

（3）观察题目.

认真审题是研究问题的首要环节. 非连续性文本的阅读有别于语文的快速阅读和英语的泛读，需要字斟句酌地读，仔细揣摩每个字词所代表的外显信息和隐藏信息. 对于教材中的例题和习题，学生除了通过圈划和标记等方式对文本进行独立精读，还需要结合图形深度解读.

2. 思考——信息加工承接数据处理

（1）梳理数学知识.

本节复习课由如下题目引入，在通过多种解法研究问题之后再进行章头图和目录的对比.

题目" 如图3，小亮想知道垂直于地面的电线杆AB的高度，他站在该电线杆的影子BC上调整自己的位置，使得他直立时头顶D的影子恰好落在点C处，此时小亮与电线杆的距离BE为12米，小亮的影子长CE为4米，已知小亮的身高DE为1.7米. 求电线杆AB的高度.

解决这个问题时，可以选用不同的数学知识作为列方程的依据，引导学生将不同解法中的关键步骤和蕴含的数学原理进行描述和复习. 通过一题多解发展学生的发散思维，通过多解归一发展学生的聚合思维，通过比较、分类和概括发展学生不同层次的抽象能力. 如图4，通过以点带面地梳理和复习九年级第一学期前两章的教学章节与具体知识点，再次发展学生的抽象能力.

[测影长

求高度][第二十四章

“相似三角形”][平行线分线段成比

例定理][相似三角形的判定定理和性质定理] [第二十五章

“锐角的三角比”][锐角的正切的定义] [问题][章节][知识点][图4" 不同解法对应的知识点]

（2）建构几何图形.

初中阶段几何图形的研究一般是按照“定义—性质—判定—应用”的顺序开展的，九年级学生已经基本掌握了该研究步骤. 基于把相对复杂的综合情境抽象出数学问题，对得到的数学结论进行比较，在此基础上进一步抽象出新的结论——辅助线的作用和常见添法.

本节课中，通过对练习题的四种添加辅助线的方法进行比较（如图5），引导学生感悟辅助线的作用：一是将分散的几何元素集中在一起；二是把不规则图形转化为规则图形，把复杂图形（四边形）转化为简单图形（三角形）.

（3）发展数学能力.

数学知识的魅力在于应用. 在研究现实问题的过程中，通过将新问题、新情境与已学知识相联系，把实际问题抽象成数学模型加以解决，不仅可以发展学生的抽象能力，而且有利于学生形成模型观念和应用意识. 通过问题讲解和例题探究，巩固学生对知识的认知，提升学生的推理能力和运算能力；通过相互交流帮助学生形成模型观念，提升其综合应用能力，发展数学核心素养.

3. 表达——从数学世界重返现实世界

通过学生发言、教师板书，学生独立思考、教师投影展示，学生相互交流和评价，学生自我评价等一系列教学活动，引导学生观察和思考，恰当、合理地选择文字语言、符号语言和图形语言表达自己的观点、推理的理由和结论的阐释，深层次发展学生的抽象能力.

五、教学思考

在教学实践过程中，教师要关注学生的抽象能力，根据教学内容，结合学生的学习情况，把知识和能力打造成提高学生抽象能力的合力.

1. 关注抽象能力的教育教学价值

有的教师常常会省去经验性抽象的过程，而是从情境中直接理论性抽象成数学对象（或直接进行“去情境化概念”的教学）. 这样的教学过程既不利于学生对知识的掌握及应用，也不利于激发学生学习的积极性和创新意识.“抽象教学”理论强调经验性抽象的过程（即从情境中通过相似性识别得出相关的经验性概念，并形式化成数学概念的过程）. 因此，重视数学概念的教学是提升学生抽象能力的有效途径.

教师要关注核心素养、基本思想与教学内容特点的对应关系，研究以这些对应关系为课堂教学的出发点和落脚点，如图6所示. 在整体视角下，教师要对教学目标、学习活动、课后作业等进行单元设计，将学生置身于真实情境中，积极探索抽象能力的教育价值和教学价值.

[数学眼光] [抽象] [数学的一般性][数学思维] [推理] [数学内部] [逻辑的严密性][数学语言][模型] [应用的广泛性] [数学外部][数学外部][图6" 核心素养、基本思想与数学特点的对应关系]

2. 深析指向学科育人的抽象能力

《标准》指出：“数学教育承载着落实根本任务、实施素质教育的功能．”数学学科育人，要从数学观念、数学精神和数学品德三个方面挖掘德育素材进行数学育人. 其中，建立在抽象能力基础上的实事求是和理性求真的理性思考是弘扬数学精神的重要组成部分，批判质疑和重视实证的数学品德也离不开抽象能力.

聚焦学生学习，提升课堂品质，促进课堂转型是探析数学学科德育的必由之路. 从学生的成长来看，结合已有学习经验把对现实世界的具体认识进行抽象，这是抽象的认识过程；在不断更新的情境中将具体化的知识与原有知识进行联系，这是抽象的内化过程；通过数学思维研究问题、解决问题后将结果运用于实践，这是抽象的应用过程. 从数学的发展来看，数学概念、定理、公式等知识的深入理解和积累，以及伴随其产生的思想、思维方法都离不开抽象. 抽象在数学与物理、化学、计算机等其他学科的紧密关系中也有重要作用. 从教学的改进来看，教师应该引导学生感受和体会抽象的数学特征，研究和挖掘抽象的教育特征和教学特征，以抽象作为结合点将数学、教育、教学、教师和学生紧密联系起来. 如图7，改变课堂教学，要从“无人”到“有人”再到“育人”，在整体视角下分步实施教学，从而实现学科育人目标.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］张胜利，孔凡哲. 数学抽象在数学教学中的应用［J］. 教育探索，2012（1）：68-69.

［3］史宁中. 数学的抽象［J］. 东北师大学报（哲学社会科学版），2008（5）：169-181.

［4］王成营. 数学符号意义及其获得能力培养的研究［D］. 武汉：华中师范大学，2012.

［5］唐秦. 关于“数学抽象”的国外研究综述［J］. 中学数学月刊，2016（11）：54-57.

作者简介：胡素芬（1975— ），女，中学高级教师，主要从事中学数学教学案例研究和数学学科德育研究.