基于可视化实验探究的初中数学创课设计

2025-02-03胡玺舜佘文娟

中国数学教育(初中版) 2025年1期

摘" 要：数学实验创课是学生积累数学活动经验、感悟数学思想方法的重要途径，对提高学生数学核心素养具有积极作用. 进行数学实验和探究的过程需要与学生学习的知识建立联系，让学生在解决问题的过程中感悟数学的广泛应用. 对于“π的估计”一课，利用可视化动态数学软件GeoGebra设计实验过程，体现一种生成随机数的计算方法，体现了随机观念和估计思想. 通过让学生经历自己动手实验、计算机模拟实验、验证结论的过程，使学生感悟数学思想，发展数学核心素养.

关键词：核心素养；GeoGebra软件；实验创课；蒙特卡罗方法

中图分类号：G633.6" " " 文献标识码：A" " " 文章编号：1673-8284（2025）01-0040-05

引用格式：胡玺舜，佘文娟. 基于可视化实验探究的初中数学创课设计：以“π的估计”为例［J］. 中国数学教育（初中版），2025（1）：40-44.

数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）指出，数学核心素养的构成包括三个方面，即会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. 学科核心素养的培养，需要通过学科教学和学生的综合实践活动来具体实施. 数学活动课就是其中一项重要的教学活动. 在大数据时代，人工智能快速发展的大背景下，需要运用数学教育技术设计有创意的数学活动课，而数学实验就成为了数学创课的载体和动力引擎. 在实施数学实验的过程中，学生能够手脑并用、“做思”共生，真正参与数学实验活动，实现数学活动经验的积累，以及数学核心素养的发展.

一、数学实验创课的内涵

数学实验是指学生在数学学习过程中产生的操作性、印象性或符号性（虚拟）实验. 在初中阶段，数学实验可以理解为按照数学思维发展的脉络，通过创设问题情境，设计系列活动，引导学生积极主动参与活动，进行批判性思考，在数学思维活动的引导下验证猜想或分析得出正确结论，从而使学生亲历数学知识的建构过程、发展数学核心素养的一种数学探究活动.

所谓创课，广义上是指以培养学生的创新素养为导向的各类课程. 狭义的创课则是指电子创意类课程. 基于数学实验的创课可以理解为针对特定的数学学习内容，运用现代教育技术，借助实验工具（如纸片、剪刀、计算器、计算机软件等）创设数学实验，引导学生经历观察、猜想、推理及论证等数学基本活动，以探索、理解、验证数学知识，解决数学问题为主要目的的数学课程. 数学实验创课要立足学科知识，借助实验工具，引导学生探索数学知识，解决数学问题，发展数学核心素养.

二、“π的估计”创课设计案例

1. 课例背景

用频率估计概率是人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第二十五章第三节的知识. 本节课的主要内容包括用频率估计概率的方法及其合理性的验证和探究. 在学生学习了这部分内容后，有一个实验与探究——π的估计. 该部分内容是利用随机模拟的方法对π进行估计，同时给出了几何概型的定义，与前面学习的古典概型定义相对应. 实验探究的重点是让学生理解蒙特卡罗（Monte Carlo）方法的内涵，渗透估计思想. 但由于学生对于几何概型的定义尚不明确，同时亲自实验可能得到的数据不够理想，存在一定的困难. 因此，需要教师借助计算机模拟投点的过程，得到π的估计值.

2. 创课设计思路

在数学实验创课的设计过程中，教师要充分重视学生的主体性，引导学生带着思考参与活动，积累数学活动经验，发展数学核心素养. 对“π的估计”这一课例，沿显性和隐性两条主线设计，如图1所示.

在显性层面，学生根据教师创设的问题情境，先观察实验探究，激发兴趣，引发思考；进而提出问题，设计方案，动手操作实验，尝试解决问题；再从操作过程中提炼蒙特卡罗方法原理，利用计算机软件模拟实验，进一步深化学生的认知；最后，对一系列活动和实验进行总结和反思，提炼整节课的核心内容. 在隐性层面，数学实验创课的设计要注重学生数学活动经验的积累及核心素养的发展，在各个环节中积累“观察”的经验，通过观察实验，初步体会实验原理；进而积累“做”的经验，学会根据原理进行实际操作，解决实际问题；最后，积累“抽象”的经验，真正内化知识，发展数学核心素养.

为实现上述目标，本节课选择GeoGebra软件作为贯穿始终的实验工具. GeoGebra软件是近十年在国内兴起的新一代动态几何软件，具备强大的数学研究和教学展示功能，其画面简洁、操作便捷. GeoGebra软件的界面有多个操作区，在几何和代数同步变化的演示上具有突出优势，可以同时呈现数与形的对应变化. 不仅如此，GeoGebra软件还有统计和概率操作区，融合Excel的部分功能，可以很方便地统计学生的实验数据. 在GeoGebra软件的支持下，显性和隐性这两条主线得到相互促进，从而使学生在数学实验创课的学习过程中达成积累活动经验、发展核心素养的目标.

3. 创课设计教学环节

（1）创设情境，导入实验.

情境：π是数学中一个具有独特魅力的数. 历史上有多位数学家采用不同的方法在探寻π值的路上做出了许多贡献，如迭代法、夹逼法等. 其中有一个非常有意思的试验叫作“蒲丰投针”，是利用概率知识估计出π的值. 法国数学家蒲丰（Buffon）提出的“投针”问题是指在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为l[l≤a]的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任意一条线相交的概率. 这一概率通过证明是与π有关的. 因此，许多数学家开始了大量的“投针”试验. 现在，我们有了计算机，不再需要人力重复“投针”了，计算机就可以完成这样的工作. 下面我们在GeoGebra软件中进行“投针”试验，同时估计π的值（如图2）.

师生活动：教师在创设了“蒲丰投针”的情境后，利用GeoGebra软件模拟这项试验，试验次数可以由学生指定. 在“投针”过程中，让学生体会估计的π值发生的变化.

师：同学们，这项试验中蕴含了大量概率论知识. 虽然我们现在掌握的知识有限，不能理解其中的原理，但是我们可以由此获得启发，设计新的试验，尝试自己动手估计π的值.

【设计意图】利用“蒲丰投针”试验创设情境，目的在于激发学生的学习兴趣，通过GeoGebra软件的可视化效果，让学生体会“投针”过程的随机性和大量重复的过程，初步体会蒙特卡罗方法蕴含的随机模拟思想. 由此引发学生思考：为什么通过这样的随机投针试验计算概率后，竟然能够估计出π的值？在导入后续环节试验目的的同时，让学生带着问题和思考深入学习.

（2）问题驱动，操作试验.

问题1：同学们，刚刚的“投针”试验和前面我们做过的掷硬币试验有哪些相同点和不同点？

问题2：你能总结一下“投针”试验的特点吗？

问题3：该如何计算“投针”试验中的概率呢？

【设计意图】上述3个问题旨在引导学生从“等可能事件”和“试验结果是否有限”两个角度分析“投针”试验，从而引发学生的认知冲突.“投针”试验和掷硬币试验同样都是等可能事件，但投一根针在平面内位置的可能性是无限的，这与古典概型的定义矛盾. 教师要引导学生思考该如何计算概率，为后续学习几何概型作铺垫.

问题4：同学们，在我们的生活中也有与“投针”问题相似的情况，如掷飞镖游戏. 图3是一个七等分圆盘，如果随意向其投掷一枚飞镖，飞镖落在圆盘中任何一个点上，同样是等可能事件. 但圆盘上包含无数个点，说明试验结果是无限的. 你能说出飞镖落在红色区域的概率有多大吗？

追问：你是怎样得到结果的？

【设计意图】从“投针”试验到类比生活中常见的掷飞镖游戏，可以调动学生头脑中已经形成的认知结构，自然地给出几何概型的定义：一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D中的每一点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中的一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为[PA=M的面积D的面积].

问题5：同学们已经掌握了几何概型的定义，那么能否利用已知的面积公式，仿照“投针”试验，设计一个新的试验，尝试估计π的值呢？

问题6：图4是一个正方形及其内切圆，随机地向正方形内投米. 若只投一粒米，则落在内切圆内的概率是多少？上述概率与圆周率π的关系是什么？

【设计意图】上述问题旨在引导学生利用已知图形的面积公式之间的联系，构造出计算π值的概率算式. 在教学过程中，可以根据学生的实际情况，引导学生设计试验.

操作试验：随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上，统计并计算落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n的比[mn]，并得到π的估计值.

根据几何概型可知，计算出的频率[mn]表示的是[π4]，从而可以将米粒数的统计结果与π的估计值相对应.

师生活动：教师将全班学生分成10组，让学生分别进行试验，并将各组的统计结果汇总到GeoGebra软件的表格区中，绘制出折线图，如图5所示. 可以发现，各组得到的频率不尽相同，有些组的差异稍大.

【设计意图】模拟试验结果可以看出，这种随机性与学生前面学习的用频率估计概率的知识有关，是学生已经掌握的知识. 由此教师引发学生思考：投的米粒数越多，得到的估计值就更加稳定地接近于π的值，从而采用计算机模拟的方法进行验证.

（3）提炼原理，模拟实验.

在学生经历了撒米试验后，教师可以提出这一随机模拟计算方法的核心称为蒙特卡罗方法. 这种思想的产生正是源于“蒲丰投针”试验. 这一试验开创了几何概型的先河. 这也是最早用随机数处理确定性数学的例证. 蒙特卡罗法，又称计算机模拟方法，是一种基于计算机产生随机数的计算方法. 它的核心思想是不确定的计算，即一种近似估计，体现了对数据的一种估计思想，在军事、经济、工程等众多领域中都有它的身影. 进而利用GeoGebra软件模拟大量重复的撒米过程（如图6），得到更加精确的π的估计值.

【设计意图】此环节旨在让学生体会利用计算机模拟试验可以规避人为操作的误差，节省时间，同时让学生感悟蒙特卡罗方法的合理性.

（4）总结反思，提升素养.

教师可以设计如下的实验反思单.

① 通过本节课的学习，我有哪些收获？遇到了什么样的困难？是如何解决的？

② 通过本节课的试验，我知道了哪些关于概率的知识？

③ 应用这些知识，我可以解释或解决生活中的哪些问题？

④ 通过试验，我掌握了哪种数学思想方法？可以将它推广到实际生活中吗？

【设计意图】该环节旨在引导学生关注自己通过数学实验收获了什么. 这里的收获不仅是知识层面的，还有如何用数学思维分析问题、解决问题，展现学生个性化的总结成果.

三、数学实验创课的实施建议

初中数学实验创课中，教师要合理地利用数学教育技术设计教学过程，为学生提供有效的实验和探究方法，呈现直观的研究结果，从而在活动经验的积累中发展学生的数学核心素养. 教师在教学过程中需要做好如下几个方面.

1. 重视学生的数学活动经验的获得

初中数学课程逐步实现教学目标从“双基”“两能”到“四基”“四能”的转变. 其中，“四基”是在“双基”的基础上增加了基本思想和基本活动经验，而“四能”是在“双能”的基础上增加了能发现问题和提出问题的能力. 这是课程改革与时俱进的必然要求，是发展核心素养在教学中的落脚点. 因此，教师在进行数学实验创课的设计时要重视学生的数学活动经验的获得过程.

教师在设计数学实验创课的各个环节时，要尽量选择贴近学生生活实际的情境，让学生能够对问题的背景有所了解，同时可以让学生自己动手操作，在“做中学”，从而促使学生逐渐掌握数学思想方法和研究方法，在此过程中发展学生的数学核心素养. 例如，平面图形的镶嵌可以先由水立方的实际背景引入，再由学生自主动手对不同边数的平面图形进行镶嵌，在数学活动中对结论进行归纳.

以本节课为例，在进行π的估计时，让学生亲自用大米进行试验，感受投的点数不同对估算结果的影响，再利用计算机进行模拟试验，估计π的值. 在此过程中，学生亲自感受到数据的随机性，形成估计思想，发展数据观念.

2. 重视学生在活动课上的成果点评

在利用数学实验方法解决问题的教学过程中，学生思想上没有了束缚，可以自由发挥他们的想象力，往往能得出很多不同的方法，在实验活动中不断尝试，让思维方法更深化、方案更优化，体会解决问题的方法的多样化. 教师则应注重对学生经过思考得出的问题及解决问题的方法进行客观、鼓励性点评，引导学生对自己整节课的表现和收获进行总结. 在反思中，帮助学生得出整节课蕴含的数学思想方法，以及本节课在哪些方面发展和提升数学核心素养. 本节课中，在学生用米粒进行模拟投点时，教师对学生试验探究的过程进行点评分析，指明学生的试验过程的不足之处，结合试验的理论依据对本节课落实培养数学核心素养进行总结和提升.

3. 重视数学实验工具的设计

数学实验创课的开展要合理融合信息技术. 由于大多数数学实验创课与实际生活密切相关，并非理想化情境，因而不具有抽象性. 在课堂上，教师很难仅用语言表达就能达到预期效果，需要借助计算机软件辅助教学. 例如，本节课在探究圆周率π的过程中，先利用GeoGebra软件生成随机投点的过程，再利用已有的几何概型计算公式得到相应结论，比教师单用枯燥的语言描述更加生动、形象.

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