通过“数与代数”领域发展学生推理能力的三条途径与教学建议

摘" 要：“数与代数”领域是发展学生推理能力的重要载体. 基于新人教版初中数学教材七年级上册“数与代数”领域的内容，对发展学生推理能力的三条途径进行分析. 三条途径分别是有理数乘法法则的推导、代数式的运算与变形、解方程的过程. 在教学时，建议教师既要兼顾归纳推理和演绎推理两种思维模式，又要注重从运算规则与学习经验两个方面强化教学，进而提升学生的代数推理能力.

关键词：人教版；初中数学教材；数与代数；推理能力；代数推理

中图分类号：G634" " " 文献标识码：A" " " 文章编号：1673-8284（2025）01-0004-04

引用格式：李健. 通过“数与代数”领域发展学生推理能力的三条途径与教学建议：基于新人教版初中数学教材七年级上册的分析［J］. 中国数学教育（初中版），2025（1）：4-6，11.

数学推理是保证数学逻辑严谨性特征的支柱. 在《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《标准》）中，推理能力是用数学的思维思考现实世界的重要表现，是初中生数学核心素养发展的重要内容.“数与代数”领域涉及大量的推理过程，其对于学生推理能力的发展具有显著作用.《标准》特别强调了代数推理的重要性，促使我们应该更深入地研究如何通过“数与代数”领域发展学生的推理能力.

关于利用“数与代数”领域发展学生推理能力这一重要议题，2024年人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“新教材”）注重整体考虑，进行了全套教材的统筹设计. 由于新教材七年级上册中共安排了5章“数与代数”领域的内容，涉及数、式、方程等知识，因此以新教材七年级上册为研究对象，探讨其帮助学生发展推理能力的途径，具有较好的典型性.

本文选取了新教材七年级上册发展学生推理能力的三条途径（有理数乘法法则的推导、代数式的运算与变形、解方程的过程）作为分析对象，并给出了发展学生推理能力的教学建议.

一、有理数乘法法则的推导

对于刚从小学升入初中的新生而言，有理数的运算是学习的重点与难点. 关于有理数的运算，由于减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，乘法是多个相同的数的加法，所以学习有理数运算的关键在于理解有理数的加法与乘法. 对于有理数加法运算的推导，通常利用负数表示相反意义的量及数轴的直观性能够使学生较好地理解；但对于有理数乘法运算的推导，尤其是对“负负得正”这种情况，一直以来都是学生理解的难点.

关于有理数乘法法则的推导，主要有两种较为常见的方式. 第一种是创设基于时间、空间两个维度变量的体现有理数乘法法则的现实情境. 这种方式通常是对物体沿直线运动时在不同时间点的位置情况进行分析. 但受限于两个变量同时变化可能给七年级学生的理解造成过大的认知负荷，所以并不利于初学者理解有理数的乘法运算.

为了让学生感受到有理数乘法法则的合理性，新教材选择了一种特殊的归纳形式进行推导. 下面以对“正数 × 负数”的推导为例进行说明.

如图1，为了使[3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×][0=0]的规律在引入负数后仍然成立，那么应有[3×][-1=][-3，3×-2=-6，3×-3=-9].

这里所谓的“特殊的归纳形式”，是指基于“正数 × 非负数”的四个式子，归纳出当式子左边的乘数逐次递减1时，对应的式子右边的积逐次递减3的规律，然后按照这种归纳出的规律，推导得到“正数 × 负数”的规律. 弗赖登塔尔认为，该方法要通过计算与推断来检验，是一种自然的方法，虽然它不是形式归纳，但蕴含着真正的数学，并将其称为“归纳外推法”. 如何理解此处的归纳外推法呢？其大意就是使用归纳的方式，根据过去和现在的发展趋势推断未来的一类方法. 具体体现为基于“正数 × 非负数”的式子归纳出的规律，并按照这种规律（或趋势）推断出“正数 × 负数”的规律.

进一步地，在通过上述方法得到一些有理数乘法的具体例子之后，新教材使用了我们常见的归纳法，即从具体的有理数乘法式子中归纳出具有普适性的有理数乘法法则，这正是从特殊到一般地推理（即归纳推理）的体现.

二、代数式的运算与变形

《标准》在“代数式”的内容要求中，明确提出了“了解代数推理”的新要求，并给出了关于如何进行代数推理的案例66. 关于代数推理内涵的界定，不同研究者给出的界定方式并不完全一致，一些研究者甚至参考了国外研究中与代数推理（Algebraic Reasoning）相关的论述. 对此，本文不一一赘述.《〈义务教育数学课程标准（2022年版）〉解读》中明确指出，代数推理侧重数与式的运算、变形. 这也正是《标准》中体现代数推理的案例66所展现的要义.

为了体现《标准》理念下的代数推理教学，新教材七年级上册第四章“整式的加减”中设计了数学活动“自然数被3整除的规律”，如图2所示.

在该数学活动中，先明确指出了学生在小学阶段已经知晓的规律“如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除”，再以两位数的情形进行介绍，然后引导学生用类似的方法逐步研究更多数位的情形. 以两位数被3整除的推导过程为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为[a，b]，记这个数为[ab]，则[ab=10a+b=9a+a+][b=9a+a+b]. 此处对于[10a+b]的变形，就是体现了代数推理的关键. 但如何能想到将[10a]拆分为[9a]和[a]呢？其原因在于考虑到规律中指出的“自然数的所有数位上的数字之和能被3整除”，那么就有必要构造出式子[a+b]，这样就自然而然地想到了要将[10a]拆分为[9a]和[a]. 而将式子变形为[9a+a+b]后，又发现[9a]能被3整除，这时候使用“如果两个数都能被3整除，那么这两个数的和能被3整除”就能完成证明了. 最后这一步是基于乘法关于加法的分配律推导得出的，其中蕴含着数的运算规律.

总的来说，完成这个数学活动离不开对代数式的运算与变形，体现出对学生代数推理能力的较高要求.

三、解方程的过程

新教材七年级上册第五章为“一元一次方程”，涉及抽象能力、推理能力、模型观念等数学核心素养. 其中，解方程的过程是直接指向学生推理能力发展的重要载体. 解一元一次方程时，需要对等式进行一系列的变形，最终将其转化为“[x=m]”的形式，这一等式的变形过程，即代数推理的过程. 在进行等式变形的过程中，必须保证变形前后等式的解是相同的，其理论基础便是同解理论. 但考虑到初中生的经验基础与认知水平，无法在教材中引入同解理论，这就需要为每一步的等式变形确定一些可靠的依据，包括新教材中提及的基本事实、等式的性质、运算律等.

初中阶段开展代数推理教学时，需要确定一些基本的代数推理出发点. 实际上，由于多数初中代数内容可以视为小学算术内容的一般化，所以初中代数中的大多数概念都与数的性质及运算规则有关. 因此，初中阶段开展代数推理教学的一个可行的出发点就是数与式的性质、运算与关系等. 在利用解方程培养学生代数推理的过程中，等式的性质与运算律，即为适合于初中生的代数推理的出发点. 关于常见的解一元一次方程的步骤及合并同类项与去括号，属于对等式的运算律的应用；而移项与去分母（化系数为1），属于对等式的性质的应用.

相较于2012年人教版《义务教育教科书·数学》教材，新教材在介绍等式的性质与运算律的基础上，还增加了两个关于等式的基本事实（如图3），以确保解方程的理论基础更加完整. 第一个是相等关系的对称性，第二个是相等关系的传递性. 例如，在解只有等式右边含未知数的方程时，就可以根据相等关系的对称性，直接将等式两边交换位置，而不必再进行移项、系数化为1等烦琐操作；至于相等关系的传递性，其重要作用是为解方程组中的代入法提供理论支撑.

有了基本事实、等式的性质、运算律这些代数推理的出发点，也就具备了等式变形的依据. 在化归思想的作用下，以将方程转化为“[x=m]”的形式为最终目标，学生解方程的每一步（等式变形）也就有理可依、有据可循了. 在这个过程中，学生代数推理的发展也就水到渠成了.

四、教学建议

对新教材七年级上册有理数乘法法则的推导、代数式的运算与变形、解方程的过程的分析，有助于我们了解如何通过“数与代数”领域发展学生的推理能力，并且其中蕴含的经验在整个初中阶段都是适用的. 具体而言，提出如下教学建议.

1. 兼顾归纳推理和演绎推理两种思维模式

推理具有不同类型，归纳推理与演绎推理是其中适用性最广的两类. 通过本文提出的发展学生推理能力的三条途径可知，有理数乘法法则的推导属于归纳推理，代数式的运算与变形、解方程的过程则涉及演绎推理. 由此可知，在“数与代数”领域，教学时需要兼顾演绎推理和归纳推理两种思维模式.

归纳推理主要是在具体情境下，通过观察和分析研究对象，提取共性特征，得出一般性规律或结论的思维方式；演绎推理则是帮助人们从已知条件出发，通过逻辑推导得出新的结论，这一过程强调逻辑的严密性. 归纳推理强调从特殊到一般，演绎推理强调从一般到特殊. 它们在学生学习“数与代数”领域知识的过程中都具有重要作用，应该兼顾两者. 当然，兼顾归纳推理和演绎推理，并非一定在不同知识的学习中分别使用两种推理，还可以将两种推理有机结合起来. 以数学活动“自然数被3整除的规律”的教学为例，就可以先引导学生回顾小学阶段如何通过归纳推理得到该规律，再利用演绎推理对其进行严格化证明，从而使学生完整地经历“通过归纳推理得出猜想—通过演绎推理证明猜想”的认识事物的重要途径. 这种在“数与代数”领域综合使用归纳推理和演绎推理的教学模式，能够同时发挥两种思维模式的优势，为提升学生两种推理能力的发展提供了良好契机.

2. 通过强化运算规则和学习经验的教学发展代数推理

代数推理是本轮数学课程改革的重点与难点. 为了更好地落实这一目标，要注重从运算规则与学习经验两个方面强化教学.

首先，要通过加强运算规则的教学，帮助学生筑牢代数推理的数学基础. 运算规则不仅可以简化数学运算的过程，而且能够帮助学生形成逻辑思维能力. 通过详尽讲解运算规则（如交换律、结合律、分配律、等式的性质等），并通过在各种具体问题（如证明自然数被3整除的规律、解方程）的求解过程中展示其应用，向学生强调运算规则的重要地位与作用，将有助于学生更好地理解与应用代数规则，从而为其代数推理能力的形成提供有效的数学基础.

其次，要多利用举例子的方式，为学生提供充足的代数推理经验，降低学生对代数推理理解的难度. 由于代数推理往往表现为形式化的符号变形，具有较高的抽象性，因此学生不易理解代数推理的过程与意义. 此时，要抓住学生对事物的认知规律，考虑由此及彼的方式，通过举例子帮助学生更好地理解代数推理的合理性，降低学生学习的难度. 例如，新教材中的数学活动“自然数被3整除的规律”，就先为学生提供了两位数的研究模式，学生的首要任务是理解并模仿两位数的研究模式，从而在完成更多数位的研究时，便可以“依葫芦画瓢”，这就降低了学生在这一活动中的代数推理难度. 又如，在进行解方程的教学时，要尤为关注教材中例题的教学，其典型性与代表性将帮助学生有效提高代数推理能力.

参考文献：

［1］李龙才. 在数系扩充过程中发展抽象能力与运算能力：2024年人教版《义务教育教科书·数学》第二章“有理数的运算”解读［J］. 中学数学教学参考（中旬），2024（9）：7-11.

［2］FREUDENTHAL H. Mathematics as an Educational Task［M］. Dordrecht：D.Reidel Publishing Company，1973.

［3］中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［4］史宁中，曹一鸣.《义务教育数学课程标准（2022年版）》解读［M］. 北京：北京师范大学出版社，2022.

［5］鲍建生，章建跃. 数学核心素养在初中阶段的主要表现之五：推理能力［J］. 中国数学教育（初中版），2022（10）：3-11.

作者简介：李健（1988— ），男，编辑，主要从事数学课程与教学论研究.