在“变”中求“不变”的创生课堂

新课程标准颁布以来，教师在纷纷实践“核心素养落地课堂”的课程理念，建构开放的、生成的、充满灵动的教学课堂，使得数学课堂常常会邂逅一些美丽的“意外”，即课堂上不可多得的生成资源。人教版数学五年级下册长方体和正方体这一单元的教学中，求不规则物体的体积应用广泛，内容抽象，不易理解，学生面对各种变式题频频出错，成为一个挥之不去的“痛点”。教学中，我借助学生已有的学习经验，让学生全程参与活动，并充分利用生成资源进行有效的学习。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出“方法一致性与内容结构化”的新理念，那么，求不规则物体的体积及相关的变式题是否具有内在方法上的一致性？如何实现解题方法的结构化？

一、回溯——思路在何处

本节内容在北师大版教材中的课题名称是“有趣的测量”，即测量石块的体积，把石块完全浸没到一个有水的长方体容器中，呈现水面上升水未溢出和水面上升水已溢出两种情况。人教版教材采用“排水法”测量土豆的体积（水未溢出），以思考的形式展开教学，教法上更“放”了一些。

例：如下图，珊瑚石的体积是多少立方厘米？

【片段赏析】

师：同学们，从上图中，你能获得哪些数学信息？

生：一个长方体玻璃容器，底面是一个边长为8厘米的正方形，一块珊瑚石完全浸没水中之后，水面高度由6厘米上升到7厘米。问题是求珊瑚石的体积。

师：珊瑚石，不易变形，怎样求出它的体积呢？

生1：上图所示就是一道实验测量题，容器中装有水的体积是8×8×6=384（立方厘米），放入的珊瑚石完全浸没水中之后，水面升高且水未溢出，相当于体积增多了，这时水和石头所占的体积是8×8×7=448（立方厘米），用水和石头的总体积减去原来水的体积，就是珊瑚石的体积。即：V石=V总（水+石）-V水。

师：请思考——珊瑚石放入水中之后，水面上升了，为什么？（学生静默，思考）

生2：因为珊瑚石完全浸没于水中之后，占据了水的空间，把水挤压上升了，水面和原来相比上升了1厘米，相当于在原来的基础上增加了一个长8厘米、宽8厘米、高1厘米的隐形长方体，这个隐形长方体的体积其实就是珊瑚石的体积。

学生不由自主地把掌声送给了2号同学，第三个学生不甘示弱。

生3：那是因为石头是固体，水是液体，石头放入水中占据了水的空间，刚才的实验是水未溢出，如果水溢出了，石头的体积就成了水面上升的体积加溢出来的水的体积。这种转化的方法叫作排水法。

此时掌声雷动。

V石=V增加的水=底面积×h增，即：V石=长×宽×h增。

师：对比两种做法，你更喜欢哪种，喜欢的理由又是什么呢？

学生思考。

生4：我更喜欢第二种，因为计算简便。

生5：我不怕计算麻烦，我喜欢第一种，因为容易理解，一目了然。

师：两种做法都很好，给予肯定。数学在追求严谨的同时，也追求简捷，在实际应用中第二种做法因为简便更受青睐。

思路即是：在水未溢出的情况下，增加的体积=不变的长×不变的宽×高增加的长度。

今天，我们就沿着这条思路，接着探究这道数学题可以衍生出哪些题？又是怎样解决的呢？

二、创生——基于内在一致性

小学数学教学中，“创生”活动是一种重要的学习方式，本活动以小组合作，先“扶”后“放”的形式展开，活动中学生组内自主交流，互相启发，教师选择具有代表性的“创生”资源，让学生交流分享，充分展示自我。

活动内容：

一个长方体，长8厘米、宽6厘米、高4厘米，如果（ "）（ ）2厘米，则体积变化了多少立方厘米？

活动要求：

1.四人小组合作，自主填空。

2.第一个（ ）填“长”或“宽”或“高”，第二个（ ）填“增加”或“减少”。

3.根据所填的空，画图分析，并计算出变化的体积。

4.学有余力的同学，从此题展开变式，自创自编，灵活拓展。

小组开始探究活动，10分钟后分享活动成果：

成果1：

【评析】小组1仿照例题的结构微调，把例题中高增加改编成了宽增加，解题思路是：增加的体积=宽增加的长度×不变的长×不变的高。

成果2：

【评析】小组2的同学很会变通，构造了一个长、宽、高都是5米的特殊长方体（即正方体），“沿着长从3米处切开”，意为“长减少2厘米”。解题思路是：减少的体积=长减少的长度×不变的宽×不变的高。

成果3：

【评析】小组3对题目的改编大大出乎了老师的预料，这是他们小组一个特别机灵的孩子带着组员想出来的做法，语言精练，富有情境。题目中长方体模型一共变了两次，第一次是长增加了2厘米，第二次是在第一次增加后得到的新长方体的基础上，又把宽增加了2厘米，在原题的基础上实现了思维的进阶。

本小题题目冗长，其实不难，结合图形及每一步中的小标题，两种方法都容易理解，关键是第二次增加必须建立在第一次得到的新长方体基础上增加，在这里必须为这个小组点赞！

【片段赏析】

师：谢谢同学们分享的成果，每次都让我有了“惊喜”和“意外”，现在请认真观察展现的三个“成果”，找出什么变了？什么没变？

同学们开始窃窃私语，小声说开了。

生逐一说自己的发现，最后师生总结，如下表。

师：我们走在解题的“大路”上，思路越来越宽阔了，现在进入“学以致用”。

三、再造——寻求思路结构化

“用数学”是学好数学的主旋律，通过刚才同学们的分享、分析、总结，发现“增加或减少的体积=变量增加或减少的长度×不变量1×不变量2”，是求不规则物体的体积与相关变式题在解题思路上存在的一致性，那是否还有一种可能就是引导学生走进生活，用数学的眼光去捕捉信息，用数学的思维去实现“再创造”，基于方法的一致性，形成内容结构化。于是，我布置了课后实践作业，让同学走进生活，寻求此类问题在生活中的实际应用，用数学语言整理成题。

同学们广泛联系生活，提交的作业真可谓是“百花齐放”，左边及下面是摘选张宇墨同学的优秀作业：

教学中，变与不变是对立统一的辩证关系，数学题万变不离其“本质”，数学教学就是在学生的已知与未知之间，在认知、情感与元认知之间，精心设计“变”的素材、“变”的情境、“变”的方式，并在各种变化中找出存在的内在一致性与解题思路的结构化。否则，做题就是一种低阶的模仿，知识都是相互割裂和碎片化的。因此，数学课堂要立足于单元、学段、领域内容的整体结构，抓住“原生”与“再生”，反复比较，积极探索，洞悉各种题型背后的内在逻辑与一致性。做到“变中知不变，变中思不变，变中识不变”，让创生课堂成为我们的专业常态，在感悟数学万变不离其“本质”的同时，提升数学核心素养。

【注：本文系保山市教育科研“十四五”规划第二批立项课题“三名”工作室专项课题“核心素养下的小学数学创生课堂教学案例研究”（课题批准号为：145SM2307）研究成果】