命题须严谨 解题应反思

摘 要：文章以2023年新高考全国Ⅱ卷的第8题为例，对参考答案进行展示、析疑，给出严谨解法，并对试题进行修正，给出多种解法，以此说明数学命题严谨及解题反思的重要性.

关键词：命题；严谨；反思；一题多解

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0103-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：林国红（1977—），男，广东省佛山人，中学高级教师，从事中学数学教育研究.

高中数学的知识面广，知识点间往往交错繁杂，给命题带来很大的风险，稍有不慎就可能出现问题.笔者以2023年新高考全国Ⅱ卷的第8题为例，探寻其错题、错解的根源，借此说明命题须严谨，并修正试题，化错为宝.

1 试题的呈现与解答

试题 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=（" ）.

A. 120" B. 85" C. -85" D. -120

试题主要考查等比数列的定义、等比数列前n项和公式的应用.试题突出数列中基本思想方法与核心内容的考查，很好地考查了考生的运算求解、推理论证等方面的能力.

参考答案 设等比数列{an}的公比为q，首项为a1.

若q=1，则S4=4a1=-5，解得a1=-54.

从而S6=6a1=-152，21S2=42a1=-1052.

故S6≠21S2，与题意不符，所以q≠1.

由S4=a1（1-q4）1-q=-5，可知q≠-1，否则S4=0.

由S6=21S2，得a1（1-q6）1-q=21×a1（1-q2）1-q.

即得1-q6=21（1-q2）.

于是可得（1-q2）（1+q2+q4）=21（1-q2）.

从而1+q2+q4=21.

所以q4+q2-20=0，解得q2=4或q2=-5（舍）.

所以S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q×（1+q4）=

（1+16）×（-5）=-85.

故选C.

2 试题及参考答案的商榷

2.1 对参考答案的质疑

在参考答案中，求得q2=4或q2=-5，为什么要舍去q2=-5呢？显然答案是默认q∈R，又因为在等比数列中，有q≠0，故q2gt;0，所以舍去q2=-5.

而数列的定义为：按照确定的顺序排列的一列数叫数列.定义并未对数列中的数进行约束，即数列的数可以为复数，例如：若i为虚数单位，则i，i2，i3，…是一个首项为i，公比为i的等比数列.

本试题并未限定q∈R，所以q2=-5（即q=±5i，i为虚数单位）是可能的，因此将q2=-5舍去是不对的.

2.2 试题的严谨解答

由参考答案，得q4+q2-20=0，解得q2=4或q2=-5.

当q2=4时，S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q×

（1+q4）=-5×（1+16）=-85.

当q2=-5时，S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q×（1+q4）=-5×（1+25）=-130.

所以，S8的值为-85或-130.

2.3 试题的修正

由于试题的选项并未提供-130这个答案，所以本试题是有瑕疵的，命题不严谨！为了不产生歧义，可将试题作如下修正.

修正试题1：记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8=（" ）.

A. -85""" B. -130

C. -85或-130D.以上答案均不对

修正试题2：记Sn为等比数列{an}的前n项和，且an∈R，若S4=-5，S6=21S2，则S8=（" ）.

A. 120" B. 85" C. -85"" D. -120

3 修正试题2的解法探究

解法1 即“参考答案”.

评注 解法1是解决等比数列前n项和有关问题的常见方法，根据等比数列的前n项和公式，利用S2，S6求出公比，再根据S4，S8的关系即可解得结果.解答过程中用到了分类讨论及整体思想，还用到了立方差公式，要求考生能综合运用所学知识，对运算能力的要求较高.

自然的想法是：除解法1外，还有其他解法吗？

下面先介绍等比数列的两个性质，再给出其他解法.

性质1 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，m∈N*，则Sm+n=Sn+qnSm.

证明 设等比数列{an}的首项为a1.

于是Sm+n=Sn+an+1+an+2+…+an+m

=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn

=Sn+qn（a1+a2+…+am）

=Sn+qnSm.

性质1得证.

评注 同理Sm+n=Sm+qmSn也成立.由性质1，可得S2m=Sm+qmSm=（1+qm）Sm，S3m=Sm+qmS2m=（1+qm+q^2m）Sm，….

性质2 已知等比数列{an}的公比为q（q≠-1），前n项和为Sn，k∈N*，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S（n-1）k，…为等比数列.

证明 （1）当q=1时，则a1=a2=…=an=….

于是当n≥2时，有Snk-S（n-1）k=nka1-（n-1）ka1=ka1，S（n+1）k-Snk=（n+1）ka1-nka1=ka1.

所以S（n+1）k-SnkSnk-S（n-1）k=1=q.

（2）当q≠1，且n≥2时，有

Snk-S（n-1）k=a1（1-q^nk）1-q-a1［1-q^（n-1）k］1-q

=a1q^（n-1）k（1-qk）1-q，

S（n+1）k-Snk=a1［1-q^（n+1）k］1-q-a1（1-q^nk）1-q

=a1q^nk（1-qk）1-q.

故S（n+1）k-SnkSnk-S（n-1）k=a1q^nk（1-qk）/（1-q）a1q^（n-1）k（1-qk）/（1-q）=qk.

综合（1）与（2），性质2得证.

评注 性质2是新教材的例题（人教A版高中数学选择性必修第二册第37页的例9），需要注意的是：这个性质必须是q≠-1才成立.由此可见，高考题与教材例习题有着很好的衔接，这也符合高考的命题思想：加强教考衔接，发挥教材的引导作用.

解法2 设等比数列{an}的公比为q，首项为a1.

由性质1，结合S4=-5，可得S4=S2×2=S2（1+q2）=-5，可得S2≠0.

因为S6=21S2，由性质1，可得

S6=S3×2=S2（1+q2+q4）=21S2.

于是可得1+q2+q4=21.

即q4+q2-20=0，

解得q2=4或q2=-5（舍去）.

再由性质1，得S8=S2×4=（1+q4）S4=（1+16）×（-5）=-85.

故选C.

解法3 设等比数列{an}的公比为q，首项为a1.

由S4=a1（1-q4）1-q=-5，可知q≠-1，否则S4=0.

由性质2，可知S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比数列，

故有（-5-S2）2=S2（21S2+5）.

整理，得4S22-S2-5=0，

解得S2=-1或S2=54.

当S2=-1时，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6即为-1，-4，-16，S8+21，此时其公比为-4-1=4，所以S8+21=-16×4=-64，即S8=-85.

当S2=54时，S4=a1（1-q4）1-q=a1（1-q2）1-q×（1+q2）=S2×（1+q2）gt;0，与S4=-5矛盾，舍去.

故选C.

评注 对比解法1，解法2与解法3巧妙应用了等比数列的性质解题，简化了推理和运算过程，具有直观、简洁的特点.

4 结束语

高考试题是精心之作，每年的高考题在命题角度、题型、难度等方面都进行了充分考虑，是知识、能力和思想方法的载体，具有典型性、示范性和权威性^［1］.所以，高考命题是一项严肃且严谨的工作，试题的命制应遵守科学性原则，其表述必须是科学严谨的，必须杜绝科学性、技术性错误.常见的命题错误多见于条件的设置，尤其是条件之间的不兼容（不合理），甚至条件与公理、定理、定义相矛盾.这就要求命题者要多角度思考问题，尝试一题多解，从而有效地避免题设条件的对立，确保数学命题的严谨性和科学性^［2］.

解题要反思，不要迷信参考答案，对于发现的错题（错解）也不要轻易放弃，如果能充分挖掘错题（错解）的教育功能，对于调动学生的学习积极性，培养他们思维的严密性和批判性，都将起到很好的作用.对于解答中出现的不同结果，要学会区别和联系，明辨是非和方向，深入剖析错题（错解）的根源，引导学生从多角度进行深度思考问题.此外，还应该对错题（错解）进行修正，重新开发利用，使其变废为宝.

参考文献：

［1］林国红.莫为浮云遮望眼拨开迷雾见真颜：对2019年高考浙江卷第21题的探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（15）：14-16.

[2] 林国红.缜密思维严谨答题：以一道判断三角形形状的问题为例[J].数理化解题研究，2023（01）：50-52.

［责任编辑：李 璟］