2024年高考数学北京卷第19题的解法探析

摘 要：解析几何是高考中的热点问题，主要考查学生圆锥曲线的基本知识、基本运算能力及探究能力.以2024年高考北京卷为例，对解析几何解答题的常规解法进行了一题多解的探讨.

关键词：联立法；设点法；从特殊到一般；参数方程

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0094-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：刘磊（1984.10—），男，河北省文安人，本科，中学一级教师，从事中学数学教学研究；

岳京川（1973.4—），男，四川省安岳人，本科，中学高级教师，从事中学数学教学研究.

2024年高考数学北京卷第19题综合性强，题目设置简洁，解题入口宽，解法灵活多样，不同解法之间运算量差异明显，能够较好地区分不同层次的学生.有效考查了数形结合思想、转化与化归，以及运算求解能力，是一道考查解析几何的好题.

1 真题呈现

题目 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过（0，t）（tgt;2）的直线l与椭圆E交于A，B两点，点C的坐标为（0，1），连接AC交椭圆E于点D.

（1）求椭圆E的方程和离心率；

（2）若直线BD的斜率为0，求t的值.

2 解法探究

2.1 第（1）问解析

解析 由题意得a2=b2+c2，b=c，b2+c2=4，解得

a=2，b=2，c=2.

所以椭圆E的方程为x24+y22=1，离心率e=22.

2.2 第（2）问解析

官方解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+t.

由y=kx+t，x2+2y2=4， 得x2+2（kx+t）2=4.

整理，得（1+2k2）x2+4ktx+2（t2-2）=0.

所以△=16k2t2-8（1+2k2）（t2-2）gt;0，

x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t2-41+2k2.

所以y1+y2=k（x1+x2）+2t=2t1+2k2，

y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=t2-4k21+2k2.

又直线AC的斜率为y1-1x1，方程为y=y1-1x1x+1.

由y=y1-1x1x+1，x2+2y2=4， 得

［1+2（y1-1）2x21］x2+4y1-4x1·x-2=0.

所以x1xD=-21+2（y1-1）2/x21=x212y1-3.

所以xD=x12y1-3，yD=3y1-42y1-3.

因为直线BD的斜率为0，所以

y2-yD=y2-3y1-42y1-3=2y1y2-3（y1+y2）+42y1-3=0.

所以2y1y2-3（y1+y2）-4=0.

所以2·t2-4k21+2k2-3·2t1+2k2+4=0.

所以2t2-8k2-6t+4+8k2=0.

整理，得t2-3t+2=0.解得t=1（舍）或t=2.

所以t=2.

角度1 常规曲直联立.

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=kx+t.

由y=kx+t，x2+2y2=4，得x2+2（kx+t）2=4.

整理，得（1+2k2）x2+4ktx+2（t2-2）=0.

所以△=16k2t2-8（1+2k2）（t2-2）gt;0，

x1+x2=-4kt1+2k2，x1x2=2t2-41+2k2.

解法1 因为直线BD的斜率为0，所以点D的坐标为（-x2，y2）.因为A，C，D三点共线，所以

kAC=kDC.所以y1-1x1=y2-1-x2.

所以kx1+t-1x1+kx2+t-1x2=0.

所以2kx1x2+（t-1）（x1+x2）=0.

所以2k·2t2-41+2k2+（t-1）·-4kt1+2k2=0.

所以kt-2t=0.

因为k不恒为0，所以t=2.

解法2 连接BC.因为直线BD的斜率为0，所以点B与点D关于y轴对称.

所以直线AC和直线BC斜率互为相反数，即kAC+kBC=0.

所以y1-1x1+y2-1x2=0.

所以kx1+t-1x1+kx2+t-1x2=0.

所以2kx1x2+（t-1）（x1+x2）=0.

所以2k·2t2-41+2k2+（t-1）·-4kt1+2k2=0.

所以kt-2t=0.

因为k不恒为0，所以t=2.

解法3 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线BD的斜率为0，所以点D的坐标为（-x2，y2）.设直线l的方程为y=k1x+t.

由y=k1x+t，x2+2y2=4， 得x2+2（k1x+t）2=4.

整理，得（1+2k21）x2+4k1tx+2（t2-2）=0.

所以△=16k21t2-8（1+2k21）（t2-2）gt;0，x1x2=2t2-41+2k21.

设直线AD的方程为y=k2x+1，

同理可得-x1x2=-21+2k22.

所以2t2-41+2k21=21+2k22.

所以t2（1+2k22）=3+4k22+2k21.

由y=k1x+t，y=k2x+1， 得A（1-tk1-k2，k1-k2tk1-k2）.

因为点A在椭圆E上，

所以（1-tk1-k2）2+2（k1-k2tk1-k2）2=4.

所以（1+2k22）t2-2（1+2k1k2）t+1-2k21+8k1k2-4k22=0.

所以3+4k22+2k21-2（1+2k1k2）t+1-2k21+8k1k2-4k22=0.

整理，得2（t-2）（1+2k1k2）=0.

因为1+2k1k2不恒为0，所以t=2.

角度2 设点法（坐标法）.

解法4 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x21+2y21=4，x22+2y22=4.

因为直线BD的斜率为0，所以点D的坐标为（-x2，y2）.

所以直线AB的方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，令x=0，

得yP=x2y1-x1y2x2-x1，即t=x2y1-x1y2x2-x1.①

同理直线AD的方程为y-y1y2-y1=x-x1-x2-x1，令x=0，

得yC=x2y1+x1y2x2+x1，即1=x2y1+x1y2x2+x1.②

①×②，得

t=x22y21-x21y22x22-x21=x22（2-x21/2）-x21（2-x22/2）x22-x21=2.

角度3 参数方程法.

解法5 设A（2cosα，2sinα）（cosα≠0），B（x2，y2），

所以直线l的斜率k=2sinα-t2cosα，

方程为y=kx+t.

由y=kx+t，x2+2y2=4， 得x2+2（kx+t）2=4.

整理，得（1+2k2）x2+4ktx+2（t2-2）=0.

所以△=16k2t2-8（1+2k2）（t2-2）gt;0，

2cosα·x2=2（t2-2）1+2k2

=2（t2-2）1+2（2sinα-t）2/（2cos2α）

=2（t2-2）·2cos2α2-22sinα·t+t2.

所以x2=2（t2-2）·cosα2-22sinα·t+t2.

因为直线BD的斜率为0，

所以点D的坐标为（-x2，y2）.

同理可得-x2=-2cosα3-22sinα.

故2cosα3-22sinα=2（t2-2）·cosα2-22sinα·t+t2.

故（3-22sinα）（t2-2）-（2+t2-22tsinα）=0.

所以（t-2）［（1-2sinα）t+（2-2sinα）］=0.

即（1-2sinα）t2+2sinα·t-4+22sinα=0.

因为（1-2sinα）t+（2-2sinα）不恒为0，

所以t=2.

解法6 设A（2cosα，2sinα），B（2cosβ，

2sinβ）.

因为直线BD的斜率为0，

所以点D的坐标为（-2cosβ，2sinβ）.

所以直线AB的方程为

y-2sinα2sinβ-2sinα=x-2cosα2cosβ-2cosα.

令x=0，得t=2（sinαcosβ-cosαsinβ）cosβ-cosα.

同理直线AD的方程为

y-2sinα2sinβ-2sinα=x-2cosα-2cosβ-2cosα.

令x=0，得1=2（sinαcosβ+cosαsinβ）cosβ+cosα.

所以t=2（sin2αcos2β-cos2αsin2β）cos2β-cos2α=2.

3 结束语

《普通高中数学课程标准（2017年版）》在教学建议中提到：教师要加强学习方法指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，理清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联.教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养^[1].作为一线高中数学教师，应深入研究高考试题，挖掘问题的本质与内涵，让高考试题真正发挥其育人的功能.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［责任编辑：李 璟］