二元不等式恒成立问题的破解策略

摘 要：文章从一道经典的二元不等式恒成立问题出发，从权方和不等式、双变量换元、比值换元和基本不等式等角度给出试题的三种解法，然后给出相应的变式题，提出解决二元不等式恒成立问题的破解策略.

关键词：二元不等式；基本不等式；权方和不等式；恒成立问题

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）31-0066-03

收稿日期：2024-08-05

作者简介：梁春霞（1987.1—），女，广东省东莞人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

在不等式恒成立问题中，求参数的取值范围是高考的高频考点，如何突破这一类题型呢？本文以二元不等式的恒成立问题为例，先从多种角度给出例题的剖析，并提供解决此类问题的方法与策略，再给出相应的变式题供读者练习与参考^[1].

1 例题剖析

题目 设实数x，y满足xgt;32，ygt;3，不等式k（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2恒成立，则实数k的最大值为.

解法1 权方和不等式

由xgt;32，ygt;3，得

2x-3gt;0，y-3gt;0.

因为k（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2，

所以k≤8x3+y3-12x2-3y2（2x-3）（y-3）

=4x2（2x-3）+y2（y-3）（2x-3）（y-3）

=4x2y-3+y22x-3.

记L=4x2y-3+y22x-3，

由权方和不等式，得L≥（2x+y）22x+y-6.

令t=2x+y-6（tgt;0），则

（2x+y）22x+y-6=（t+6）2t=t+36t+12≥24.

所以4x2y-3+y22x-3≥24，当且仅当x=3，y=6时等号成立，所以k≤24.故选B.

解法2 双变量换元+待定系数配凑

由xgt;32，ygt;3，得2x-3gt;0，y-3gt;0.

因为k（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2，

所以k≤8x3+y3-12x2-3y2（2x-3）（y-3）

=4x2（2x-3）+y2（y-3）（2x-3）（y-3）

=4x2y-3+y22x-3.

记L=4x2y-3+y22x-3，

设m=2x-3gt;0，n=y-3gt;0，则

L=（m+3）2n+（n+3）2m

=（m+3）2n+4n+（n+3）2m+4m-4（m+n）

≥4（m+3）+4（n+3）-4（m+n）=24，

当且仅当m=n=3，即x=3，y=6时等号成立，所以k≤24.故选B.

点评 待定系数配凑的过程如下：

L=（m+3）2n+（n+3）2m

=（m+3）2n+tn+（n+3）2m+tm-t（m+n）

≥2t（m+3）+2t（n+3）-t（m+n），

令2t=t可知t=4.

解法3 比值换元+均值不等式

由xgt;32，ygt;3，得2x-3gt;0，y-3gt;0.

因为k（2x-3）（y-3）≤8x3+y3-12x2-3y2，

所以k≤8x3+y3-12x2-3y2（2x-3）（y-3）

=4x2（2x-3）+y2（y-3）（2x-3）（y-3）

=4x2y-3+y22x-3.

记L=4x2y-3+y22x-3，

设m=2x-3gt;0，n=y-3gt;0，m=kn，kgt;0，则

L=（n+3）2m+（m+3）2n

=（k2+1k）n+（1+1k）9n+6（k+1k）

≥2×3（k2+1k2）·（k+1k）+6（k+1k）

≥2×34+6×2=24，

当且仅当m=n=3，即x=3，y=6时等号成立，所以k≤24，故选B.

本题是一道不等式恒成立求参数取值范围问题.此类问题

往往与函数、数列等内容结合，形式灵活、思维性强、知识交汇点多.常见的策略有：

①全分离参数，转化为最值问题；

②半分离参数，利用图形找出参数临界情形；

③不分离参数，分类讨论.

本题根据题中不等式中的参数个数选择全分离参数，将问题转化为求二元函数最值问题.求解二元函数最值大多是通过不等式求解，对于结构复杂的形式可以通过换元简化形式，有助于明确结构选择合适的不等式求最值.

2 变式训练

变式1 已知正数x，y满足4x+9y=1，若42x2+x+9y2+y≥m恒成立，则m的最大值为.

解析 由权方和不等式，得

42x2+x+9y2+y=424（2x2+x）+929（y2+y）

=42/x28+4/x+92/y29+9/y

≥（4/x+9/y）24/x+9/y+17=118，

当且仅当4/x8+4/x=9/y9+9/y时取等号.

由4x+9y=1，4/x8+4/x=9/y9+9/y，解得x=172，y=17.

即当x=172，y=17时，42x2+x+9y2+y的最小值为118.所以m≤118.

即m的最大值为118.

变式2 设正实数x，y满足xgt;23，ygt;2，不等式9x2y-2+y23x-2≥m恒成立，求m的最大值.

解析 因为xgt;23，ygt;2，

所以3x-2gt;0，y-2gt;0.

令a=3x-2，b=y-2，则

agt;0，bgt;0，x=a3+23，y=b+2.

所以

9x2y-2+y23x-2=9（a/3+2/3）2b+（b+2）2a

=a2b+4ab+4b+b2a+4ba+4a

=a2b+b2a+4ab+4ba+4b+4a

≥2a2b·b2a+24ab·4ba+24b·4a

=2ab+8+8ab

≥22ab×8ab+8=16，

当且仅当a2b=b2a，且4ab=4ba，且4b=4a，且

2ab=8ab，即a=b=2，

即x=43，y=4时等号成立.

又不等式9x2y-2+y23x-2≥m恒成立，所以m≤16.即m的最大值为16.

变式3 已知正实数x，y满足x+y=3k（x≠y），若不等式x2+y2gt;ck2恒成立，求实数c的最大值.

解析 因为x+y=3kgt;2xy，所以xylt;9k24.

若不等式x2+y2gt;ck2恒成立，只需ck2lt;（x2+y2）min.

而x2+y2=（x+y）2-2xygt;9k2-2×

94k2=9k22，所以只需ck2≤92k2即可，即c≤92.

所以实数c的最大值为92.

变式4 对任意实数xgt;1，ygt;12，不等式x2a2（2y-1）+4y2a2（x-1）≥1恒成立，则实数a的最大值.

解析 不等式x2a2（2y-1）+4y2a2（x-1）≥1恒成立，可转化为a2≤x22y-1+4y2x-1恒成立，其中xgt;1，ygt;12.

令t=x22y-1+4y2x-1

=（x-1）2+2（x-1）+12y-1+（2y-1）2+2（2y-1）+1x-1

≥2（x-1）2+2（x-1）+12y-1·（2y-1）2+2（2y-1）+1x-1

=2［（x-1）+1x-1+2］［（2y-1）+12y-1+2］

≥2（2+2）（2+2）

=8，

第二次使用基本不等式，等号成立的条件是

x-1=1x-1，且2y-1=12y-1，

得x=2且y=1，此时有

（x-1）2+2（x-1）+12y-1

=（2y-1）2+2（2y-1）+1x-1.

这说明两次基本不等式能同时取得等号，所以x22y-1+4y2x-1的最小值为8，即a2≤8，则

-22≤a≤22，所以实数a的最大值为22.

3 结束语

对于二元不等式恒成立问题中求参数的取值范围，常规的处理策略是分离参数（包括半分离参数和全分离参数），然后通过双变量换元、比值换元、待定系数法、配凑法等对不等式进行转化，最后利用基本不等式、柯西不等式或者权方和不等式来求最值.

这类试题对代数的变形和不等式的应用要求较高，需要读者具备一定的理解能力和应用不等式解题的能力^[2].

参考文献：

［1］周聪寅.一道“恒成立问题”模拟题的解法探析[J].数学学习与研究，2022（11）：125-127.

[2] 李鸿昌，徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广[J].数学通报，2023，62（8）：50-52.

［责任编辑：李 璟］