基本不等式中几种常见题型剖析

董文娟

摘 要： 不等式在高考试题中占有非常重要的地位，与其他数学知识存在密切联系，在近几年的高考中是考查热门。如何用好基本不等式，学生需要理解并掌握三个原则：一正二定三相等，并能在解题中灵活运用，特别是“等”的检验.

关键词： 基本不等式 最值 定值 构造

近年基本不等式在求函数的最值、求参数范围的过程中频频出现，且形式灵活，是重点；指对不等式、绝对值不等式、含参不等式成为小题中的考查热点；函数导数综合题中不等式结合参数讨论是永恒的主题，包括在圆锥曲线中不等式也是无处不在.根据新课标的要求，本节重点是应用数形结合的思想方法理解基本不等式，并能从不同的角度探索基本不等式的证明过程，难点主要是让学生明白如何运用基本不等式求最值.下面结合课本中的例题及课后习题，给出以下几种常见题型的解析.

一、直接利用基本不等式求解最值

例1：已知x>0，y>0，且2x+5y=20，求lgx+lgy的最大值.

思路分析：由于lgx+lgy=lgxy，因此只需寻找xy的最大值即可.

解：∵x>0，y>0，由基本不等式可得2x+5y≥2■，

∴xy≤10，当且仅当x=y=■时取到等号.

∵lgx+lgy=lgxy≤lg10=1，∴lgx+lgy的最大值为1.

变式1：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

思路分析：由基本不等式ab≤（■）■，可知2xy≤（■）■，因此x+2y+2xy=8可构造出关于x+2y的二次不等式.

解：∵2xy≤（■）■，∴x+2y+2xy≤（x+2y）+（■）■，

即（x+2y）+（■）■≥8.又∵x>0，y>0，解得x+2y≥4，当且仅当x=2y，即x=2，y=1，∴x+2y的最小值为4.

二、构造和或积为定值，再利用不等式求解最值

例2：已知0

思路分析：由基本不等式ab≤（■）■可知，需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数.

解：∵00.

∴y=x（1-3x）=■·3x（1-3x）≤■[■]■=■，

当且仅当3x=1-3x，即x=■时，等号成立.∴x=■时，函数取得最大值■.

变式1：当x>-1时，求f（x）=x+■的最小值.

思路分析：因为x>-1可得x+1>0，变x=x+1-1时构造出x+1与■的积为常数.

解：∵x>-1，∴x+1>0.∴f（x）=x+■=x+1+■-1≥2■-1=1.

当且仅当x+1=■，即x=0时，取得等号.∴f（x）■=1.

三、利用“1”的代换构造出和的定值

例3：已知x>0，y>0，且■+■=1，求x+y的最小值.

思路分析：要求x+y的最小值，由基本不等式a+b≥2■，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，所以利用“1”的代换是本题型基本的方法.

解：∵■+■=1，∴x+y=（x+y）·（■+■）=10+■+■.

∵x>0，y>0，∴■+■≥2■=6.当且仅当■=■，即y=3x时，取等号.

又■+■=1，∴x=4，y=12.∴当x=4，y=12时，x+y取得最小值16.

变式1：设x，y是正实数，且x+y=1，求■+■的最小值.

思路分析：由于x+y=1，发现两个分式的分母相加（x+2）+（y+1）=3，因此本题可转化为例3同类型题目.

解：令m=x+2，n=y+1，则m+n=4，x=m-2，y=n-1

∴■+■=■+■=m+n-6+■+■=■+■-2.

又∵m+n=4，∴（■+■）（m+n）×■=■（5+■+■）≥■（5+2■）=■

当且仅当■=■，即m=■，n=■时，即x=■，y=■时，∴■+■的最小值为■.

变式2：设0

思路分析：由于■+■≥k恒成立，只需求■+■的最小值即可.

解：∵00，

∴■+■=（2m+1-2m）（■+■）=4+■+■.

又∵■+■≥4，当且仅当m=■时取得等号，

∴■+■的最小值为8，∴k≤8，即得k的最大值为8.

四、基本不等式的应用

例4：若x，y，z>0，证明：（x+y）（x+z）（y+z）≥8xyz.

思路分析：由基本不等式可知x+y≥2■，同理可得x+z≥2■，y+z≥2■，所得不等式可证.

解：由基本不等式可得x+y≥2■，x+z≥2■，y+z≥2■.

由不等式性质可得（x+y）（x+z）（y+z）≥8■■■，当且仅当x=y=z取得等号即得（x+y）（x+z）（y+z）≥8xyz.

变式1：若x，y，z>0，且x+y+z=1，证明：（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz.

思路分析：由题意可知x+y+z=1，可得1-x=y+z，1-y=x+z，1-z=x+y，结合例4的证明可得结论.

解：∵x+y+z=1，∴1-x=y+z，1-y=x+z，1-y=x+z，1-z=x+y，

所以（1-x）（1-y）（1-z）=（y+z）（x+z）（x+y）≥8xyz，

当且仅当x=y=z取得等号，所以得证.

变式2：若0

思路分析：观察目标式子的分子可得m+n+（1-m-n）=1，式子暗含变式1中的条件.

解：令x=m，y=n，z=1-m-n，从而有x+y+z=1.

并有m+n=1-z，1-m=1-x，1-n=1-y，

所以原式■转化为■.

由（1-x）（1-y）（1-z）≥8xyz，得到■≤■，

当且仅当m=n=1-m-n取得等号，即m=n=■时取到等号，

从而得到■的最大值为■.

由以上几个典例分析可知，对于很多函数求最值问题，我们都可以直接运用基本不等式或者构造出和或积为定值再利用基本不等式进行求解，但是必须遵循基本不等式的三个原则：一正二定三相等，否则通过函数的相关知识进行求解.

参考文献：

[1]张振华，李平.如何求基本不等式的最值[J].第二课堂（高中），2010（12）.

[2]周倦宝，黄爱民.运用基本不等式解题常见问题对策[J].第二课堂（高中版），2008（02）.

[3]张书楼.正确运用基本不等式[J].高中数学教与学，2009（11）.

[4]王新星.利用基本不等式求最值六个策略[J].新高考（高一版），2009（05）.