新课程背景下深度教学的尝试

新课程提出：通过高中数学课程的学习，不仅要让学生获得基本知识、基本技能，还要让学生获得进一步学习的基本思想和基本活动经验.基于这一要求，数学教学不能仅满足教给学生一些现成的结论，更多的是让学生感悟蕴含其中的数学思想方法，重视揭示数学的本质，培养学生数学核心素养.在具体实施过程中，教师不能简单地只讲授知识，而是要通过精心的设计引导学生经历发现、探索、交流、概括等学习过程，重视揭示数学本质，发散学生数学思维，切实提高学生综合能力和综合素养［1］.

显然，浅尝辄止的浅层教学模式并不适合学生的长远发展，高中数学课堂教学呼唤深度教学.所谓深度教学，就是触及学科本质和学生心灵的一种深层教学方式，其有利于学生数学能力的提升和高阶思维的发展.那么，在高中数学教学中，如何开展深度教学呢？笔者结合教学实践浅谈几点自己的粗浅认识，若有不足，请指正！

1 深入学科本质，体会深度学习

在传统的数学概念、公式、定理等基础知识教学中，部分教师认为这些内容都是既成事实，只要学生会背、能用即可，因此教学中常常是以训练代替知识探究.要知道，数学概念、定理等具有高度的抽象性，简单化的“教”很难让学生理解知识的内涵和外延，这样学生对相关知识的理解可能是一知半解的，灵活应用自然无从谈起.因此，在数学教学中，教师应重视引导学生经历知识的生成过程，通过因势利导揭示数学学科本质，提升学生数学水平［2］.

案例1 “正弦定理”问题情境设计

问题1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，所以有sin A=ac，sin B=bc，sin C=sin 90°=1，为了统一形式，sin C可以用a，b，c表示吗？如果可以，如何表示？

问题2 将sin C转化后，你能发现什么结论？asin A=bsin B=csin C.

问题3 若△ABC是一般三角形，该结论是否成立呢？

（利用几何画板进行探究.通过拖动点A的位置，将△ABC分别变为锐角三角形和钝角三角形，借助几何画板的强大计算功能，可以判断以上结论依然成立.）

问题4 利用几何画板得出了asin A=bsin B=csin C，而用特殊值验证有一定的局限性，该结论如何证明呢？

这样在环环相扣的问题的引领下，学生的思维变得更加有序化.在教师的启发和指导下，学生通过由特殊到一般的探究，逐渐发现蕴含其中的一般规律，从而归纳总结出正弦定理.

教学中，若想让学生深刻理解知识，掌握知识的本质，单凭讲授是难以达成的.教学中应结合教学实际创设有效的问题，让学生在问题的引领下主动获得知识，以此实现深度学习，有效提高学生自主探究能力，发展数学抽象、逻辑推理、归纳概括等能力和素养.

2 触及学生心灵，引发深度学习

周知，好的教育不是教师单方面的输出，而是师生的双向互动.在教学中，若教育不能触及学生心灵，不能激发学生的学习兴趣，也就很难让学生全身心地投入到数学学习中，这样深度教学也就很难开展.基于此，为了让学生全身心地投入到数学教学中，教师要将学习的主动权还给学生，充分尊重和相信学生，为学生营造一个平等、自由的学习环境，在相互质疑、相互欣赏中引发深度学习，促进智慧的提升.

案例2 在△ABC中，AE⊥BC，BD⊥AC，CF⊥AB，E，D，F分别为垂足，H是△ABC的垂心，3HA+4HB+5HC=0，则cos∠AHB=________.

问题给出后，先让学生独立求解，教师巡视.很多学生因为没有找到解题突破口而陷入迷茫.教学中，为了帮助学生找到解题的突破口，激发学生的探究欲，教师鼓励学生合作探究，让学生通过相互启发、相互补充，共同探索有效突破口.学生通过积极互动，得到了如下2种解法.

解法1：如图1，以点E为原点，BC，EA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系.令EC=1，则E（0，0），C（1，0），B（m，0），A（0，n），H（0，p）.由此利用坐标法转化为代数运算，根据已知条件求得m=-54，n=5，p=54，最终求得tan∠BHE=5，所以cos∠BHE=66.

故cos∠AHB=-66.

解法2：直接利用向量数量积公式转换，求得HB·HA=HE·HA=-|HE|·|HA|，同理得HC·HA=-|HE|·|HA|，从而3HA2-4|HE|·|HA|-5|HE|·|HA|=0，故HA=3HE.同理HB=2HD.又cos∠AHD=HDHA，cos∠BHE=HEHB，所以cos∠AHD·cos∠BHE=HDHA·HEHB=16.故cos∠BHE=66，则cos∠AHB=-66.

问题解决后，教师让学生对比分析，归纳总结，充分体会解决策略问题的两大常见策略.一是利用坐标求解，这里合理建系是解题的关键；二是利用数量积的向量运算公式来求解，利用数量积的几何意义，使得问题迎刃而解.教学中，教师要鼓励学生合作探究，充分发挥个体差异的优势，让学生在互动交流中有所启发、有所思考.这样往往可以触动学生的心弦，激发学生的学习兴趣，激发学生潜能，让学生逐渐走上乐学、会学之路［3］.

3 聚焦学习过程，促成深度学习

学生数学素养的培养、数学能力的提升是一个长期的过程，是在学习过程中逐渐养成的.因此，在数学教学中，教师不要盲目追求速度，应该适当地放缓脚步，结合教学实际设计有效的问题，让学生在问题的探索中获得知识的同时，获得可持续的学习能力，让深度学习真正地发生.深度教学的本质不是“给予”，而是“探寻”.教学中，教师要尊重差异，善于为不同层级的学生搭建不同的梯子，以此激起学生兴趣、情感和思维的深度参与，促成深度学习.

案例3 三次函数的切线与图象的交点问题

教学中，教师以“二次函数在某点处的切线与二次函数的图象只有一个交点”为起点，让学生思考三次函数在某点处的切线与三次函数的图象有几个交点，引导学生利用类比探究的方式解决问题，感悟数学知识的内在联系，学会用发展的眼光看待问题.

问题给出后，教师提供时间让学生独立探究.从教学反馈来看，很多学生选择利用图象法进行猜想、验证.学生通过画图发现，当二次函数变为三次函数后，交点由“1个”变成了“2个”.基于这一发现，教师提问：是否存在只有1个交点的情形呢？学生借助特例进行验证，发现函数y=x3在原点处的切线与y=x3的图象只有一个交点，由此引出新问题：为什么三次函数在某点处的切线与三次函数的图象有一个交点或两个交点？新问题提出后，学生积极交流，提出用代数法进行验证，由此将问题化为：三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与它在点（m，f（m））处的切线的交点个数问题.学生积极思考，主动交流，给出了如下推理过程：

三次函数的图象在点（m，f（m））处的切线方程为y=f′（m）（x-m）+f（m）.根据已有经验，求交点个数可转化为求方程组的解的个数问题，所以将直线方程和三次函数联立，转化得到f（x）=f′（m）（x-m）+f（m）.显然，m是该方程的一个解，因此方程可以整理为ax2+（am+b）x-2am2-bm=0，即（x-m）＼5x+2m+ba=0，由此可得方程的另外两个根为m，-2m-ba.至此可以发现，直线与三次函数的图象相切时，切点横坐标为是m，-2m-ba，而当m=-b3a时，两点重合.这样利用代数法解释了三次函数在某点处的切线与三次函数的图象为什么会有1个交点或2个交点的情形.

在此基础上，教师还可以引导学生思考“二次函数在某点处的切线与三次函数的切线有何异同”，由此有效沟通新旧知识的内在联系，优化个体知识结构.当然，为了更好地发展学生的数学思维，培养学生的创新意识，对于该问题还可以继续纵深推进，即让学生思考若将“三次函数”转化为“四次函数”“五次函数”“n次函数”的情形，切线方程与其对应的函数图象有几个交点，由此通过纵向延伸进一步强化对相关知识、方法的理解，培养学生逻辑推理素养.这样，顺着知识生长脉络引导学生主动发现、提出问题，有利于激发学生潜能，提高学生自主探究能力.

在日常教学中，教师要重视引导学生进行类比，在相同与不同的探究中认清问题的本质，找到解决问题的方法，让学生学会用发展和联系的思想方法看待问题，推动学生的思维向高阶进阶.

总之，深度教学契合新课程提出的新要求，适合学生的发展需求，是一种必然教学趋势.为了让深度教学真正地发生，教师要认真研究教学内容和学生实际学情，精心设计教学活动，重视开展自主合作探究活动，以此让学生获得知识的同时，促进学生能力和素养的全面提升.

参考文献：

［1］江莹辉.探究性教学在高中数学教学中的应用［J］.学周刊，2022（21）：145-147.

［2］邵曦.基于深度学习的高中数学课堂教学探究［J］.基础教育研究，2019（20）：62-63，65.

［3］吴勇峰.深度教学视角下高中数学学习策略探究［J］.文理导航：教育研究与实践，2021（8）：148.

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