重心坐标在平面几何中的几个经典应用

摘 要：重心坐标不同于直角坐标，它有三个分量，不仅每个分量有自己的几何意义，而且坐标还是齐次坐标，这给解决平面几何问题带来了很大的便利.在解决平面几何中的三点共线问题、三线共点问题、平行线问题、面积问题时，重心坐标要比直角坐标简单得多.通过重心坐标，可以将平面几何问题转化为代数问题，而且这种方法可操作性极强，给平面几何问题的解决提供了一种既新颖又高效的解题方法.

关键词：平面几何；重心坐标；三点共线；三线共点

中图分类号：G632"" 文献标识码：A"" 文章编号：1008-0333（2024）34-0007-07

收稿日期：2024-09-05

作者简介：

张君（1978.10—），男，四川省宣汉人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究;

李鸿昌（1991.10—），男，贵州省凯里人，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：2023年度四川省教育科研项目重点课题——拔尖创新人才早期培养视域下普通高中“强基课程”建设研究（编号：SCJG23A051）

对于平面几何问题的解决，除了纯几何法外，解析法也是一种可行的方法.解析法是建立坐标系，通过坐标来实现问题的解决.我们最常用的坐标系是直角坐标系和极坐标系，但是，这两个常用的坐标系对某些平面几何问题并不是最适用的.一般来说，对于特定的问题，最好选择与之适应的特殊坐标.

对于平面几何中的面积问题、三点共线问题、三线共点问题、平行问题，使用重心坐标（也叫面积坐标）来处理，比使用直角坐标或极坐标要简洁很多.

平面几何试题所涉及的知识和方法较多，要想顺利解决平面几何问题，经常需要做一些辅助线，试题灵活，难度较大，尤其是竞赛中的平面几何试题.本文的主要目的是为了给平面几何问题的解决提供另外一种行之有效的解析方法——重心坐标.使用重心坐标，只需掌握好重心坐标的一些必备性质，然后按部就班地计算即可，可操作性强.这样，通过重心坐标，就把几何问题转化成了代数问题来处理，问题自然变得更简单了.

1 重心坐标的相关概念

1.1 重心坐标

杨路教授给出了重心坐标和重心规范坐标的定义.

平面上任取一个△A1A2A3叫作坐标三角形.对于该平面上任意一点M，将下述三个三角形面积的比值△MA2A3∶△MA3A1∶△MA1A2=μ1∶μ2∶μ3叫作点M的面积坐标，或叫作重心坐标，记为M（μ1∶

μ2∶μ3）或M（μ1，μ2，μ3）.

注 这里△MA2A3，△MA3A1，△MA1A2的面积都是带符号的.通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负.这样，各个坐标分量μ1，μ2，μ3都是可正可负的.

1.2 重心规范坐标

进一步，我们令λ1=μ1μ1+μ2+μ3，λ2=μ2μ1+μ2+μ3，λ3=μ3μ1+μ2+μ3，

并将点M的重心规范坐标规定为（λ1，λ2，λ3）.

显然λ1+λ2+λ3=1.重心规范坐标的各分量是唯一确定的，不再带有比例常数.事实上，对于某个点M，可以具体计算出这些分量：

λ1=△MA2A3△A1A2A3，λ2=△MA3A1△A1A2A3，λ3=△MA1A2△A1A2A3.

我们也可以通过向量给出重心规范坐标的定义.

设A1，A2，A3是不共线的三点，O是空间中的一个定点，M是△A1A2A3所确定的平面上的任意一点， 则必有

OM=λ1OA1+λ2OA2+λ3OA3，λ1+λ2+λ3=1. ①

事实上， 由于点M在△A1A2A3确定的平面上， 故A1M，A1A2，A1A3是三个共面向量， 其中A1A2与A1A3不共线，故存在不全为零的实数u，v使A1M=uA1A2+vA1A3，因此

OM-OA1=u（OA2-OA1）+v（OA3-OA1），

OM=（1-u-v）OA1+uOA2+vOA3.

分别令λ1=1-u-v，λ2=u，λ3=v就得到（1）式.反过来，不难证明满足（1）式所对应的点M和向量OM必在由点A1，A2，A3所确定的平面上.

在（1）式中对应于点M的有序三数组（λ1，λ2，λ3）叫作点M的（规范）重心坐标.而△A1A2A3叫作坐标三角形[1].

重心规范坐标也称为面积坐标.记法同上，则有序数组（λ1，λ2，λ3）称为点M关于△A1A2A3的面积坐标，记为M（λ1，λ2，λ3）[2].

按照定义， 容易得到点A1，A2，A3的重心坐标分别为（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），且△A1A2A3的重心G的重心坐标为（1，1，1），重心规范坐标为（13，13，13）.

1.3 三角形重心规范坐标的几何意义如图1所示，λ1，λ2，λ3的几何意义是λ1=S△PBCS△ABC，λ2=S△PCAS△ABC，λ3=S△PABS△ABC.

此处的S是有向面积，当三角形顶点按逆时针排列时，Sgt;0，否则，Slt;0.三角形中的线段视为有向线段，如AD，PD同向时，ADPD为正，否则为负.

2 重心规范坐标的性质

设坐标△ABC的三个顶点分别为A，B，C，O为平面ABC内的一定点，则有如下的性质.

性质1 A，B，C三点的重心规范坐标分别为

A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.

性质2 设BC的中点为M，则M的重心规范坐标为M（0，12，12）.

性质3 设AP=λAB，则点P的重心规范坐标为P（1-λ，λ，0）.

性质4 设M，N的重心规范坐标为M（x1，y1，z1），N（x2，y2，z2），若MP=λPN，则点P的重心规范坐标为P（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ，z1+λz21+λ）.

注 我们把性质4的结论称为定比分点公式.

性质5 设P是△ABC所在平面内任一点，P的重心规范坐标为P（λ1，λ2，λ3），连接AP，BP，CP分别交BC，CA，AB或其延长线于D，E，F，则D，E，F的重心规范坐标为D（0，λ21-λ1，λ31-λ1），E（λ11-λ2，0，λ31-λ2），D（λ11-λ3，λ21-λ3，0）.

3 重心坐标的几个重要定理

定理1[3] "（直角坐标与重心坐标的转化）设坐

标△A1A2A3在某个直角坐标系中的坐标依次为A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）.令点M的重心坐标为（μ1，μ2，μ3），它的直角坐标为（x，y），则有

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3，y=μ1y1+μ2y2+μ3y3μ1+μ2+μ3.

证明 连接A3M交A1A2于点A4，如图2所示.

设A4的直角坐标为（x4，y4），由定比分点公式有

x4=A4A2·x1+A1A4·x2A1A2

=S△MA2A3·x1+S△MA3A1·x2S△MA2A3+S△MA3A1

=μ1x1+μ2x2μ1+μ2.

由定比分点公式，又有

x=MA3·x4+A4M·x3A4A3

=（S△MA2A3+S△MA3A1）x4+S△MA1A2·x3S△A1A2A3

=（μ1+μ2）x4+μ3x3μ1+μ2+μ3.

将上述的表达式代入，即得

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3.

类似可得

y=μ1y1+μ2y2+μ3y3μ1+μ2+μ3.

定理2 设坐标三角形三顶点A1，A2，A3到所在平面上某条直线l的距离分别是h1，h2，h3，则直线l上的动点M（μ1，μ2，μ3）必满足下列线性方程h1μ1+h2μ2+h3μ3=0.

也就是说，在重心坐标中，直线方程是齐次线性方程.

证明 以直线l为某一条轴（比如取其为y轴）建立直角坐标系.这时直线l上任一点M的横坐标x=0，但由定理1知

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3，

这就得到μ1x1+μ2x2+μ3x3=0.

又因为直线l是y轴，所以有

x1=h1，x2=h2，x3=h3.

因此h1μ1+h2μ2+h3μ3=0.

注 定理2中，点到直线的距离也都是带符号的.我们约定：如果A1，A2位于直线l的同侧，则它们到直线l的距离h1，h2是同号的.反之，如果A1，A2位于直线l的不同侧，则它们到直线l的距离h1，h2是异号的.

定理3 （三角形面积公式）设P1，P2，P3是△A1A2A3所在平面上的三点，其重心规范坐标为Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，则

S△P1P2P3=x1y1z1x2y2z2x3y3z3·S△A1A2A3.

证明 取O为坐标原点，设Ai（αi，βi），i=1，2，3.由三角形面积的行列式表示，知

S△A1A2A3=111α1α2α3β1β2β3.

因为P1，P2，P3的重心规范坐标为Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，所以

OPi=xiOA1+yiOA2+ziOA3，i=1，2，3.

从而P1，P2，P3三点的直角坐标分别为

P1（x1α1+y1α2+z1α3，x1β1+y1β2+z1β3），

P2（x2α1+y2α2+z2α3，x2β1+y2β2+z2β3），

P3（x3α1+y3α2+z3α3，x3β1+y3β2+z3β3）.

其中xi+yi+zi=1，i=1，2，3.

因此△P1P2P3的面积为S△P1P2P3

=111x1α1+y1α2+z1α3x2α1+y2α2+z2α3x3α1+y3α2+z3α3x1β1+y1β2+z1β3x2β1+y2β2+z2β3x3β1+y3β2+z3β3

=x1+y1+z1x2+y2+z2x3+y3+z3x1α1+y1α2+z1α3x2α1+y2α2+z2α3x3α1+y3α2+z3α3x1β1+y1β2+z1β3x2β1+y2β2+z2β3x3β1+y3β2+z3β3

=111α1α2α3β1β2β3

x1x2x3y1y2y3z1z2z3

=111α1α2α3β1β2β3x1y1z1x2y2z2x3y3z3

=x1y1z1x2y2z2x3y3z3·S△A1A2A3.

定理4 （三点共线的充要条件）设Pi的重心坐标为Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，则P1，P2，P3三点共线的充要条件是x1y1z1x2y2z2x3y3z3=0.

证明 由定理3知，P1，P2，P3三点共线S△P1P2P3=0x1y1z1x2y2z2x3y3z3=0.

定理5 （两点式直线方程）设P1，P2的重心坐标为P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），则直线P1P2的方程为

xyzx1y1z1x2y2z2=0.

证明 设直线P1P2上任意一点P的重心坐标为P（x，y，z），则P1，P2，P三点共线，由定理4有xyzx1y1z1x2y2z2=0.

这即是直线P1P2的方程.

由定理2，可以直接推出如下定理.

定理6 两条直线平行的充分条件是它们的方程可以分别写为h1x+h2y+h3z=0，

（h1+τ）x+（h2+τ）y+（h3+τ）z=0.

4 重心坐标在平面几何中的应用

上述定理对于解决平面几何中的共点线问题、共线点问题、面积问题、平行线问题等提供了卓有成效的工具.

题型1 三点共线问题.

例1[4] 如图3所示，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积比为3∶4∶1.点M，N分别在AC，CD上，满足AM∶AC=CN∶CD，且B，M，N三点共线，求证：M与N分别是AC，CD中点.

证明 取△ABC为坐标三角形，易知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.

设S△ABC=1，由题意知S△ABD=3，S△BCD=4.

而S△DAC=3+4-1=6，所以S△DCA=-6.

所以S△BCDS△ABC=4，S△DCAS△ABC=-6，S△ABDS△ABC=3.

故D（4，-6，3）.

依题意AMAC=CNCD，得AMMC=CNND.

设λ=AMMC=CNND，可知

M（11+λ，0，λ1+λ），

N（4λ1+λ，-6λ1+λ，1+3λ1+λ）.

由B，M，N三点共线，根据定理4得

01011+λ0λ1+λ4λ1+λ-6λ1+λ1+3λ1+λ=0.

整理，得1+3λ-4λ2=0，

解得λ=1（λ=-14舍去）.

故M与N分别是AC，CD的中点.

例2 如图4所示，设A1，B1，C1是直线l1上的任意三个点，而A2，B2，C2是另一直线l2上的任意三个点，设直线B1C2与B2C1的交点为L，直线A1C2与A2C1的交点为M，直线A1B2与A2B1的交点为N， 则L，M，N三点在一条直线上.图4 例2图

注 这就是巴卜斯（Pappus）定理，这条直线称为Pappus线.

证明 取△A1C1B2为坐标三角形，则三个顶点A1，C1，B2的重心坐标分别为

A1=（1，0，0），C1=（0，1，0），B2=（0，0，1）.

由于点B1在直线A1C1上， 而直线A1C1的方程为z=0，因此点B1的坐标可设为（u，v，0）（uv≠0）.

设直线l2的方程为c1x+c2y+c3z=0，由于该直线通过点B2（0，0，1）， 因此有c3=0.

故直线l2的方程为c1x+c2y=0.

设A2与C2两点的重心坐标分别为

A2=（c2，（-c1），s），C2=（c2，（-c1），t）.

因为A2，C2不在直线l1上，

故st≠0，s≠t（c1，c2不同时为零）.

由于B2C1的方程为x1=0，直线B1C2的方程为

x1x2x3uv0c2-c1t=0.

即vtx1-utx2-（uc1+vc2）x3=0.

由此得点L（0，（uc1+vc2），（-ut））.

同理可得到，M（tc2，（-sc1），st），N（（uc1+vc2），0，vs）.

计算由三点L，M，N的重心坐标组成的三阶行列式

0uc1+vc2-uttc2-sc2stuc1+vc20vs=0.

由三点共线的充要条件， 证得L，M，N三点共线， 从而完成了Pappus定理的证明.

题型2 面积问题.

例3[5] 在△ABC的边AB，BC，CA上，分别任取与顶点不重合的三点M，N，K.求证：△KAM，△BNM和△CKN中，至少有一个三角形面积不大于△ABC面积的14.

证明 取△ABC坐标三角形，建立重心坐标系，易知A，B，C的面积坐标为 A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.如图5所示，可设M，N，K的面积坐标为M（m，1-m，0），N（0，n，1-n），K（1-k，0，k）.其中， 0lt;m，n，klt;1.

根据定理3（面积公式），并取S△ABC=1，得

S△AMK=100m1-m01-k0k·S△ABC=k（1-m），

S△BNM=010m1-m00n1-n·S△ABC=m（1-n），

S△CKN=0011-k0k0n1-n·S△ABC=n（1-k）.

根据柯西不等式，得

S△AMK·S△BNM·S△CKN=mnk（1-m）（1-n）（1-k）

≤［m+n+k+（1-m）+（1-n）+（1-k）6］6

=（14）3.

如果△AMK，△BNM，△CKN的面积都大于14，则上式不可能成立，故这三个三角形中，至少有一个三角形面积不大于△ABC面积的14.

例4 设P是△ABC的底边BC上任意一点，过点P作PE∥AB，PF∥AC，分别交AC于点E，交AB于点B（如图6所示）.求证：△BPF，△PCE及四边形PEAF的面积中，必有一个

不小于△ABC面积的49.

证明 设P关于△ABC的重心坐标为P（0，p，1-p）.由于FP∥AC，且点F在AB上，故F（1-p，p，0）.

同理，E（p，0，1-p）.

根据定理3（面积公式）， 可得

S△BPF=0100p1-p1-pp0·S△ABC

=（1-p）2S△ABC.

同样地，

S△CEP=001p01-p0p1-P·S△ABC=p2S△ABC.

于是PEAF的面积应为

S△ABC-（1-p）2S△ABC-p2S△ABC=S△ABC［1-（1-p）2-p2］=2p（1-p）S△ABC.

下面分三种情况讨论.

①当23≤p≤1时，S△CEP≥49S△ABC.

②当0≤p≤13时，1-p≥1-13=23，

故S△BPF=（1-p）2S△ABC≥49S△ABC.

③当13≤p≤23时，p（1-p）=-p2+p是一条开口向下的抛物线，最大值在p=12处达到， 因此p（1-p）在［13，23］中的最小值在两端点处达到，即13×23=29，这时四边形AFPE的面积等于2p（1-p）S△ABC≥2×29S△ABC=49S△ABC.

由此可见， 四边形PEAF的面积不小于49S△ABC.

综上所述， 这三部分面积中，至少有一块大于或等于△ABC面积的49.

题型3 平行直线问题.

例5 证明：如图7所示，自△A1A2A3的一个顶点A1向其他两角的平分线作垂线，则两垂足E，F的连线平行于该顶点A1的对边.

证明 取△A1A2A3为坐标三角形， 设E=（α1，α2，α3），F=（β1，β2，β3）.

首先不难算出

α1∶α3=a1∶a3，

α2∶α3=a2cos（A3+A22）∶a3cosA22.

于是

E=（a1cosA22∶a2cos（A3+A22）∶a3cosA22）.

同理

F=（a1cosA32∶a2cosA32∶a3cos（A2+A32））.

由定理5可得直线EF的方程为

xyza1cosA22a2cos（A3+A22）a3cosA22a1cosA32a2cosA32a3cos（A2+A32）=0.

利用积化和差等三角公式，化简得

（a2a3sinA1）x-（a3a1sinA2）y-（a1a2sinA3）z=0.

再由正弦定理， 有x+y+z=0.

也可写为2x-（x+y+z）=0.

由定理6即知此直线应与直线x=0平行.

5 结束语

利用纯几何法解决平面几何问题，很多时候解题过程简短，但经常需要添加辅助线，以及利用一些不易想到的技巧，技巧性强，不易掌握.然而，利用直角坐标来处理，则运算量特别大，过程繁杂.如果是利用重心坐标来处理平面几何问题，尤其是平面几何中的共点线问题、共线点问题、平行线问题、面积问题等，问题会变得更简单，同时解题思路清晰、操作性极强，而且解题过程简洁.因此可以说，重心坐标是解决平面几何问题的新视角、新思路和新方法.

重心坐标的引入，给平面几何问题的解决带来了新的突破.也许重心坐标解几何题没有“点几何”来得那么直接而迅速，但也不失为一种方法，值得尝试，值得进一步探究.从上文例题的解答过程可知，利用重心坐标来解决平面几何问题，要比利用直角坐标来解决简单得多.

参考文献：

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［2］ 苏企谱.面积公式及其应用[J].中等数学，1988（03）：15-18，1.

［3］ 吴悦辰.三线坐标与三角形特征点[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2015.

[4] 李根友.面积坐标及其应用[J].嘉兴教育学院学报（综合版），1994（Z1）：66-68.

[5] 林向东.利用面积坐标解一类几何竞赛题[J].福建中学数学，2004（01）：10-13.

［责任编辑：李 璟］