平面几何最值问题的解法解析

莫晓文

【摘要】 平面几何最值问题是高中数学教学过程中较为重要的学习内容，在高考中所占分数的比例还是较大的.但是由于在解题的过程中计算量较大，对运算求解能力要求比较高，所以学生对此内容的学习较为困难，因此，本文针对一些平面几何最值问题的经典例题，总结归纳其中的解答技巧，为分析研究关于平面几何最值的问题，提供相应的教学策略.

【关键词】 高中；平面几何；最值；教学策略

高中解析平面几何最值问题是数学教学中的一大难题，高考中分值所占的比重较大.可以简单划分成两种，一种是针对在平面中的几何图形所包含的两线之间的夹角、点线之间的距离，甚至几何图形的面积大小的最值；另外一种指的是直线与曲线之间的最值问题.

一、平面几何最值解题策略分析

平面几何最值问题属于综合性问题，这种综合性主要体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互融合，常见的解法有两种：曲线法、函数法.下面结合本人的教学经验和一些例题总结出几种利用平面几何知识巧解最值问题的方法.

（一）曲线定义

首先，圆锥曲线的概念，指的是曲线上动点的本质属性的反映.如果要研究分析圆锥曲线中最值的问题，需要巧妙熟练地运用定义，就可以把问题简单化，同时，还可收到好的效果，简单明了得到问题的答案.

例如，已知点F为抛物线y2=2x的焦点，点A（3，2），试在抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|的值最小，并求最小值.

解 如图所示：抛物线y2=2x的焦点为F 1 2 ，0 ，准线为l：x=- 1 2 ，由抛物线的定义知，PF与P到l的距离相等，于是，若对于抛物线上的点P作PQ⊥l于Q，则有|PF|=|PQ|，从而|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|，而为了使右端最小，其充要条件是A，P和Q三点共线.从而，若设P（x，y）为所求的点，则y=2.从而x= 1 2 y2=2，∴P点坐标为（2，2）.所以，|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|=|AQ|= 7 2 ，∴点P（2，2）为所求的点，此时|PA|+|PF|达到最小值 7 2 .

（二）函数思想

在高中解析几何最值问题的教学过程中，将合适的变量转化为函数思想进行最值问题的解决是一个有效的策略，例如，在2010年的福建高考题中，可以通过二次函数配方法快速解决解析几何中的最值问题.

例如，若点O和点F为椭圆 x2 4 + y2 3 =1的中心和左焦点，点P是椭圆上的任意点，求OF ·FP 的最大值.对于该题，可以巧妙地利用函数思想进行解答.首先，通过题意可以知F（-1，0），假设点P（x0，y0），则可以得到算式 x20 4 + y20 3 =1，将之变化为y20=3· 1- x20 4 .同时，因为FP =（x0+1，y0），OP =（x0，y0）.所以OP ·FP =x0（x0+1）+y20=x0（x0+1）+3 1- y20 4 = y20 4 +x0+3，可知-2≤x0≤2，因此，当x0=2时，OP ·FP 的最大值为 22 4 +2+3=6.

同时，在高中解析几何求最值的教学过程中，要注意四边形面积公式S= 1 4 |AB||CD||sinθ|的通用.這也是一种巧妙利用函数形式解决解析几何最值问题的重要途径.

（三）基本不等式

在高中解析几何的最值问题求解中，当所体现的函数关系满足基本不等式使用的条件时，可以将其转化为利用不等式方法来进行准确解答.在这一解题过程中，要掌握好配凑的技巧，结合“一正二定三相等”原则求最值，例如，

已知椭圆E： x2 a2 + y2 3 =1（a>3）的离心率e= 1 2 ，直线x=t（t>0）与曲线E交于M，N两个不同点，以线段MN为直径作圆C，圆心为C.问题：（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与Y轴相交于不同两点A，B，求三角形ABC的面积最大值.该题可以采用不等式的方法进行解答，获得最终答案.

对于问题1，可知 a2-3 a = 1 2 ，由此解答出a=2.也就能得出椭圆E的方程为 x2 4 + y3 3 =1.而对于第二个问题，可以设圆心为C（t，0）（0

而根据上面已经得到的半径值，可以得出|AB|=2 r2-d2 =2 12-3t2 4 -t2= 12-7t2 ，从而计算出三角形ABC的面积为S= 1 2 ·t 12-7t2 = 1 2 7 ×（ 7 t）· 12-7t2 ≤ 1 2 7 × （ 7 t）2+12-7t2 2 = 3 7 7 ，而且根据题意及不等式定义，当且仅当 7 t= 12-7t2 ，即t= 42 7 时，等号成立，因此，三角形ABC的面积最大值为 3 7 7 .

二、总 结

本文主要通过曲线定义、函数思想以及基本不等式三个方面研究分析了高中平面几何的最值的问题，通过相关案例可以简单清楚地了解其中所蕴含的奥秘，同时，也为平面几何最值的教学策略提供了很多丰富的内容及技巧.