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巧用平面几何知识突破解析几何问题

2017-08-09洪燕春

数学学习与研究 2017年15期
关键词:平面几何解析几何数形结合

洪燕春

【摘要】“数”具有概括性、抽象化的特点,而“形”具有具体化、形象化的特点,两者之间没有不可逾越的鸿沟.数形结合通过“以形辅数,以数解形”,使复杂问题简洁化,抽象问题具体化,从而达到优化解题的途径.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.然而在高中数学的学习中,解析几何虽常与作图联系在一起,但是学生仍然无法攻克,一来因为计算量大,考试时间有限;二来畏惧心理,直接放弃.其实采用数形结合思想,从平面几何的知识入手去突破解析几何问题能够大大地简化计算,提高解题速度,提高准确率,更能增强学生的信心.

【关键词】平面几何;解析几何;数形结合

一、以圆为背景

例1设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.

(Ⅰ)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程.

解析因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,

所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23=1(y≠0).

涉及的平面几何知识:平行线性质(两直线平行,同位角相等);等腰三角形的判定(等角对等边).

二、以椭圆为背景

例2已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线L与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为().

A.13

B.12

C.23

D.34

解析设OE的中点为点C,∵△BOC∽△BFM,∴BOBF=OCFM,即为aa+c=OCFM.又∵△AFM∽△AOE,∴AFAO=MFOE,即为a-ca=MFOE=MF2OC,

2(a-c)=a+c,∴ca=13,故选A.

涉及的平面几何知识:相似三角形的对应边成比例.

三、以双曲线为背景

例3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点,直线PO,PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M,N.若|PF1|=2|PF2|,且∠MF2N=60°,则双曲线C的离心率为().

A.2

B.3

C.7

D.333

解析|PF1|=4a,|PF2|=2a,∵∠MF2N=60°,∴∠F1PF2=60°,

由余弦定理可得4c2=16a2+4a2-2·4a·2acos60°,∴e=ca=3,故选B.

涉及的平面几何知识:对角线互相平分的四边形是平行四边形;平行四边形两对边平行;两直线平行,同位角相等.

四、以抛物线为背景

例4已知抛物线的焦点F到准线L的距离为P,点A與F在L的两侧,AF⊥L且AF=2P,B是抛物线上的一点,BC垂直L于点C且BC=2P,AB分别交L,CF于点D,E,则△BEF与△BDF的外接圆半径之比为().

A.12

B.32

C.233

D.2

解析∵BC∥AF,BC=AF=BF,∴四边形AFBC为菱形,即BA⊥CF,

将xB=3p2代入y2=2px,∴y=3p,∴∠BFG=60°=∠CBF,∴△CBF为等边三角形,CF=2P,且EF=P,又∵△CBD≌△FBD,∴∠DFB=90°,

又∵∠DBF=30°,∴DF=2P3,设△BEF和△BDF的外接圆半径为R1,R2,R1R2=EFDF=32,故选B.

涉及的平面几何知识:平行四边形的判定(对边平行且相等的四边形是平行四边形);菱形的判定(邻边相等的平行四边形是菱形);菱形的性质(菱形的对角线垂直平分);等边三角形,特殊三角形性质.

以上4个例题分别是基于解析几何的圆、椭圆、双曲线、抛物线这样4个背景下的题型,较为完整地展现了解析几何与平面几何的结合,将数形结合思想的应用体现得淋漓尽致.若能在解析几何题目中,巧妙运用平面几何知识来找出突破口,解决问题,那么我们就能极大简化计算,能提高解题效率.可见,平面几何方法解决解析几何问题是一种巧妙的方式,值得我们深究.

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