例说含参函数零点问题的常见解法

【摘要】函数零点问题是函数问题中的重要题型，往往融合了函数的性质、方程、导数等知识，并蕴含着数学转化与化归、数形结合、极限等思想，体现了数学抽象、直观想象、数学运算等数学素养。相较于不含参函数的零点问题，含参函数的零点问题对数学思维和能力有着较高的要求。基于含参函数零点问题，立足通性通法，寻求变化衍生，归纳每一种解法的特征，有效地提升解题效率。

【关键词】函数零点；导数；解法

笔者以课堂探讨的一道含参零点问题为例，尝试从转化、构造函数等角度探究题目的多种解法，并尝试归纳方法的主要特征，提高解题效率。

一、问题呈现

题目：已知函数f（x）=lnx-x。

1.求函数f（x）的极值点；

2.若函数h（x）=af（x）+（a∈R）无零点，求a的取值范围。

第1小问解题过程：因为f（x）=lnx-x的定义域为（0，+∞），且f'（x）=。当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当xgt;1时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以x=1是f（x）的极大值点，无极小值点。下面主要讨论第2问解法。

二、解法探究

解法1：直接法—分类讨论解决零点问题。

由h（x）=alnx−ax+，x＞0，可得h'（x）=+

=（1-x）（+），当a=0时，h（x）=＞0，h（x）在定义域（1，+∞）上无零点，满足题意；当a＞0时，由x＞0，

可得+＞0，故当0＜x＜1时，h'（x）＞0；当x＞1时，

h'（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减。因为h（x）无零点，故h（x）max=h（1）=-a+＜0，即a＞；

当a＜0时，由f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，可得f（x）≤f（1）=-1，所以a（lnx-x）＞0，即h（x）=a（lnx-x）+＞0，所以h（x）在定义域（1，+∞）上无零点；

综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]∪（+∞）。

解法2：参变分离法—转化为一直线和一曲线两个函数交点问题。

通过转化的方法分离成一直线和一曲线，通过研究曲线的单调性确定取值范围，则可根据零点的个数问题求得参数的取值范围。

易知lnx≤x-1，可得lnx−x≤x-1，即lnx−x≠0，

令h（x）=0，a=。因为h（x）无零点，即a=无解，等价于直线y=a与y=的图像无交点。

设g（x）=，g'（x）=，因

为lnx−x-1＜0，令g'（x）=0，所以x=1；当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；当0＜x＜1时，

g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增。故g（x）max=

g（1）=，又因为x→0+，g（x）→0；x→+∞，g（x）＞0，所以g（x）值域为（0，]。g（x）的图像如图1所示。

因为y=a与y=的图像在（0，+∞）无交点，

所以a的取值范围是（-∞，0]∪（，+∞）。

解法3：部分分离—基于函数的凹凸性分类讨论。

将原函数分离成两个函数图像为曲线的函数，根据函数的凹凸性，进而确定参数的分类依据。

令h（x）=af（x）+=0，a（lnx−x）=−。由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，有f（x）max=f（1）=−1。

设m（x）=-，m'（x）=-，则m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，有m（x）min=m（1）−。

因为h（x）无零点，即af（x）=m（x）无解，转化为y=af（x）与y=m（x）的图像无交点。有以下三种情况：

1.若a＞0，af（x）最大值为-a，m（x）最小值为−，且同时在x=1取到最值，要满足题意，只需使−a＜−，

即a＞；

2.若a=0，即m（x）=0，显然符合题意；

3.若a＜0，因为m（x）＜0恒成立，ag（x）＞0恒成立，符合题意。

综上所述，a的取值范围为（-∞，0]∪（，+∞）。

解法4：直观想象—指对同构，构造函数。

此函数包含指数、对数结构，利用指对互化、换元等知识，确定新变量范围，构造新函数。

h（x）=af（x）+=a（lnx−x）+=aln+，因为h（x）

无零点，等价于−a=无解。

令t=，即−a=无解，等价于y=−a与y=的图

像无交点。

设n（x）=，n'（x）=，易知n（x）在（0，1）上单调递

增，在（1，+∞）上单调递减，n（x）max=n（1）=，∴n（x）值域为（0，]，即t∈（0，]。

令w（t）=，t∈（0，]，w'（t）=＜0，则w（t）在

（0，]单调递减。当t→0+，w（t）→0，且w（t）min=w（）=

−，w（t）的图像如下页图2所示。

因为y=−a与y=的图像无交点，所以−a＜−或−a≥0，得a∈（−∞，0]∪（，+∞）。

三、解法比较

解法1是此类导数题目的常规解法，其本质是函数单调性的分类讨论，利用单调性与极值研究函数的图象，将零点问题转化为图像与x轴的交点问题，难点在于求导之后式子的整理与化简以及含参函数单调性的分类讨论。

解法2优势在于通过分离参数避免了函数单调性的分类讨论问题，虽然作为大题的解答过程似乎不那么完美，但是作为解法探究具有实用价值。例如这一函数可以通过参变分离转化为一条直线与一个可探究单调性的函数的图像交点问题，涉及了通过极限思想讨论函数取值范围的方法。

解法3的解题思路源于第一小问，把问题转化为

函数y=a（lnx−x）与函数y=−的交点问题，并且根据两个函数的凹凸性质探究参数a的取值范围。这一方

法难点在于要准确理解函数f（x）=lnx−x与m（x）=−图像的凹凸性质，同时蕴含的数学思想较多，对数学思维的要求较高。

解法4的解题思路主要是利用同构和换元的方法构造新的函数，实现化繁为简的目标，其思维高度高于前三种解法。这一方法难点主要是对同构特征的掌握程度要求较高，同时需要考虑复合函数整体换元之后新“元”的变化范围。

以上4种解法本质上都是探究函数图像的形态，区别在于讨论图像形态方法存在多样性，体现了零点问题中蕴含的数形结合、转化与化归思想。虽然并非每一道与零点有关的题目都可以采用上述四种解法，但是通过归纳总结，有助于拓展导数零点问题的思路，加深对导数知识的理解。

其次，基于对函数图像的直观想象，通过转化方法构造不同的函数从而产生了四种解题方法，这正是在函数思想指引获得的结果，让做题“可视化”，让那些看似很巧妙的解法显得“恰到好处”。

四、学以致用

已知f（x）=−x2+2ex+m−1，g（x）=x+（x＞0），确定m的取值范围，使得h（x）=g（x）−f（x）存在两个零点。

解：要使得h（x）=g（x）−f（x）存在两个零点，即g（x）−f（x）=0存在两个不同的实数根，等价于f（x）=

−x2+2ex+m−1与g（x）=x+（x＞0）的图像有两个不同的交点，如图3所示。

当x＞0时，由基本不等式的性质可知g（x）=x+≥2e，当且仅当x=，即x=e时取等号。此函数位于第一

象限的图像具有下凸的性质。而f（x）=−x2+2ex+m−1的对称轴为直线x=e，且f（x）max=f（e）=m−1+e2，具有上凸的性质。当m−1+e2＞2e时，m＞−e2+2e+1，h（x）存在两个零点。如果此题按照不分离参数或者完全分离参数的方法进行解答，后续运算会比较繁琐。而利用部分分离参数的思路正是来源于对两个熟悉函数图象凹凸性的观察，正是因为这种函数思想的引领，在方法的选择上才会更加从容。

在解题实践中，寻求一题多解并进行归纳总结不仅可以整合与内化知识，而且可以激发学科学习兴趣，进而提升学生的数学思维水平和综合运用能力。

【参考文献】

[1]陈伟连.例说含参零点问题的突破策略[J].中学数学研究（华南师范大学版），2022（17）.

[2]谢新华.例析含参函数相关的零点问题[J].中学教学参考，2021（32）.

（基金项目：本文系2023年度广州市南沙区教育科学规划课题“基于高中数学新教材‘拓广探索’栏目的校本课程的开发与实践”的阶段性研究成果，课题编号NSJYKY2023036）