精化图形解剖 深化学科融合 优化模块设计

【摘要】立体几何解题教学的有效路径之一是依托高考原题或名校试题，通过精准绘制直观图和平面图形，融会学科内部知识，草拟模块化解题片断，设计好解题路径。

【关键词】图形解剖；学科融合；模块设计；立体几何；解题教学

怎样把借来的问题分析透彻，并能触类旁通，还能提升学生解题能力呢？教学前教师首先要做的功课是：精准解剖图形，深度融合学科内部知识，优化设计解题的模块化路径，借用信息技术画出系列图形，这样才能提升学生的分析、解决问题的能力。现以2023年全国高考数学乙卷（理科）第19题为例详细谈谈立体几何解答题的解题教学。

引例：（2023年高考数学乙卷理科第19题）如图1，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=，

PB=PC=，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，

AD=DO，点F在AC上，BF⊥AO。

（1）证明：EF∥平面ADO；（2）证明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D−AO−C的正弦值。

一、立体图形精准解剖

像引例这样的高考题或名校模拟题，教师往往根据别人提供的解答，结合自己以往的经验，仅产生了比较浅薄的认知，并没有把点、线段、平面之间位置关系通通理顺就展示给学生看，其实这样的教学效果是非常有限的。要根据题中所给予的条件，精准解剖图形，既要画出题的母图，也要画出它的关键性表面、截面的平面图形，把问题的来龙去脉都理顺清楚，形成深厚的认知。这样也可以弥补培养学生提出、发现问题能力的缺憾。

1.直观母图的精准绘制

应用信息技术画出试题母图的直观图（如图2），当然欲画出标准的直观母图，首先教师须要理清图形中的点、直线、平面的位置关系，才能依据斜二侧画法准则画出母图，以此来确定立体图形的整体性、直观性地位。

2.平面图形的徒手绘制

模仿外科医生做手术方法认真解剖平面图形，把相关数量和位置关系梳理通畅：画底面△ABC草图，寻找相等角和计算角的三角函数值或寻找相似三角形（图3）；画侧面△PBA的草图，在已知AB=2，PB=

，AD=的条件下，把△PBA拓展成平面四边

形APQB，应用平行四边形的性质，计算PA=

（图4），同理可计算PF=；画出截面△POF

（拓展为△PHF）的草图，根据已得结论，直线FO

是线段BC的垂直平分线，又由PB=PC可知，点P

在平面ABC内的投影H在直线FO上，设OH=u，PH=h，列出简单的二元方程组，即可求出PH=，OH=1（图5）。

二、学科内部深度融合

所选引例是学科内部进行深度融合的很好案例。怎样进行学科内部融合呢？在前面精准解剖图形的基础上，从学科中不同的视角、方法，草拟模块化解题片断，为后续整体规划解题的路径与方法准备好“零件”，这也是教学前教师必做的功课。

1.平面模块化解题片断

模块化解题片断首先着力点是求解底面相关元素的位置、数量关系，基于条件AO是△ABC的一条中线，AB⊥BC，BF⊥AO，BC=，AB=2，求证目标是点F为CA的中点。可以选用不同的知识点切入生成模块化解题片断：

平面几何切入：在Rt△OGB和Rt△OBA中，因为∠CBF+∠AOB=90o，∠BAO+∠AOB=90o，所以∠CBF=∠BAO；在Rt△OBA和Rt△ABC中，因为，，故Rt△OBA～Rt△ABC，从而∠BAO=∠BCA，所以∠BCA=∠CBF，BF=CF。

又因为O为BC的中点，连结FO，即得FO⊥BC。由

于AB⊥BC，所以AB∥FO，从而可得点F为CA的

中点。

三角函数切入：由AB=2，BC=，AB⊥BC，点O

为BC的中点，又因为BF⊥AO，tan∠OBF=tan∠BAO

==，tan∠BCA=，所以∠OBF=

∠BCA。连结OF，有OF⊥BC，则有AB∥FO，即点F

为CA的中点。

平面向量切入：由AB=2，BC=，AB⊥BC，即

=0，点O为BC的中点，设，，由AO⊥BF，有

，得，即

点F为CA的中点。

得到了点F为CA的中点这个“纲”，稍微作点点缀就会“纲举目张”，应用三角形中位线定理和基本事实就能求证引例中问（1）；由DO2+AO2=AD2和AO⊥AF就能求证引例中问（2）；由，，，

再应用余弦定理就能得到，所以

，从而解答了引例中问（3）。

2.空间模块化解题片断

在精准底面图形解剖基础上构建空间模块化解题片断。若以BA为x轴，BC为y轴，点B为空间直角坐标系原点，建立空间直角坐标系B−xyz，如图6，则各点坐标分别为B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，，0），O

（0，，0）。设F（v，s，0），即=（v，s，0），=（-2，

，0），由于点F在AC上，得，又

由AO⊥BF，得，联立

得，即。设点

，，，列出方程组，易得，所以PB的中点为

，引例中问（1）、问（2）比较容易求证，现仅做

问（3）：设平面ADO的一个法向量为n=（w，m，1），

，所以，

即，解得，，

因此nn'。

又因为z轴⊥平面AOC，所以平面AOC的一个法向量为m=（0，0，1），设二面角D−AO−C的大小为，于是，所以。

在精准截面图形解剖的基础上，取O为空间直角坐标系原点，以OF为x轴，OC为y轴，作Oz∥HP，建立空间直角坐标系O−xyz，如图7，得A（2，-，0），F（1，0，0），C（0，，0），B（0，-，0），P（-1，0，），

因为点D是BP的中点，又得，下面仅对引例问（3）提供一种解题片断：

设平面ADO的一个法向量为P=（1，n，p），因为

，，

所以即解得

，故P，又因为z轴⊥平面AOC，

所以平面AOC的一个法向量为s=（0，0，1），设二面角

D−AO−C的大小为，于是

，故。

三、解题路径优化设计

在教学过程中，教师要引导学生精准绘制直观图形和徒手画出标上数量的平面图形，结合题设条件，草拟模块化解题片断的积累，就抓住了问题的要点，透彻理解了相关数量和逻辑关系，从而悟出了许多解题的方法。下面例举学生基于精准图形绘制，深度融合学科知识，以向量线性运算和基本定理为主线的解题路径优化设计一例：

1.如图8，记，则，

因为O是BC的中点，则，又AB⊥BC，则，由AO⊥BF，得

，故，即点F

是CA的中点，又点E、D分别是PA、PB的中点，由三角形中位线定理，有EF∥PC，DO∥PC，由基本事实得EF∥DO，因为EF平面ADO，DO平面ADO，所以EF∥平面ADO。

2.由1知，，，

又，所以，DO2+AO2=AD2，所

以，AO⊥DO，即AO⊥EF，又因为BF⊥AO，EF，BF

是平面BEF内两条相交直线，所以AO⊥平面BEF，又AO平面ADO，因此，平面ADO⊥平面BEF。

3.由，得，即得，又PO是等腰△BPC的中垂线，

所以，即，取FC的中点

为N，则∠DON是二面角D−AO−C的平面角，

，，又，

，

又，，故

，所以。

尽管在精准图形绘制和解题片断模块化时并没有考虑应用空间向量线性运算的解法，但通过上述两个关键性过程的积累，学生对图形中点、线段、平面的位置和数量关系了然于心了，就能产生生成性效果，派生一些其它解法。

【参考文献】

[1]葛宏伟.高中数学中立体几何试题的有效解题方法探究[J].数理化解题研究，2021（10）.