中国与加拿大初中数学教材“圆”内容比较研究

【摘要】“圆”作为初中阶段图形与几何领域的必学内容，一直是教师教学的重点和难点.选取中国和加拿大教材中“圆”几何学单元作为研究对象，分别从内容结构、呈现方式、题目设置和信息技术四个维度对其进行比较.基于研究结果，为我国教材建设提供可行性建议.

【关键词】比较研究；初中数学；教材研究；圆

1问题提出

纵观百年课改历史，传统的教学内容以精简为主，我国上一轮课改也对平面几何课程动了大手术，必学的内容越来越少；作为义务教育阶段必学的“圆”，一些看上去稍有难度的内容甚至干脆删除[1].然而，从国际视角来看，很多国家都非常重视学生对于“圆”内容的学习，如日本、韩国和美国对于内容所呈现的定理对应的几何思维水平要求比中国更高[2-3].通过对比不同国家的数学教材，可以让我们学习其他国家教材的优点，从而完善我们的教材，让其变得更好被接受和理解.

加拿大对教育事业的发展高度重视，基础教育改革呈现出独特的风格.由于各省之间教育体系的差别，加拿大没有全国统一的教材，相比而言，Math Makes Sense 这版教材的使用范围相对较广，能够满足不同学生的需求[4].本文选取的是Math Makes Sense的G9第8单元“圆几何学”（以下简记为加拿大教材）和我国人民教育出版社教科书数学九年级上册第二十四章“圆”（以下简记为人教版教材）进行比较研究，以期对我国的“圆”内容改革有所启示.

2内容结构比较

将两国教材中“圆”内容的章节目录进行比较，结果如表1所示.

从表1中可以看出：

第1，从章节安排来看，两国教材在内容设置的顺序上有所不同.人教版的顺序是从圆的概念入手，探究圆的性质、圆中有关的角、点与圆、直线与圆、圆与正多边形之间的位置和数量关系，侧重于“圆”知识学习的完整性和系统性，重视图形的性质、图形的变化和图形的证明的有机结合.加拿大教材的顺序是探究圆的切线、弦和角的性质，侧重于图形性质的探索过程，重视直观感知、操作实验和逻辑推理的有机结合.

第2，从教学内容安排来看，加拿大教材中“圆”的内容更加详细.据统计，“圆”内容的对应篇幅数，人教版47页，加拿大教材40页；知识点数，人教版37个，加拿大教材32个.两国教材篇幅相差不大，相比加拿大教材，人教版虽在内容上新增了圆与多边形的关系（扇形和弧长知识点加拿大在G8第八单元已经介绍过），但加拿大教材在垂径定理的推论、弦切角、圆周角与圆外角的关系等知识点上均深入介绍过.相比之下，我国教材虽然涉及知识点更多，但没有加拿大教材呈现的详细和深入.

3呈现方式比较

3.1总体结构呈现方式比较

人教版“圆”内容总体结构的呈现方式是：章前言→各节知识内容→本节习题→阅读思考→数学活动→本章小结→本章复习题.其中每小节的知识呈现按照“探究→知识讲解→例题教学→练习”的方式展开.新知识的呈现多以设问的形式导出，并且在每一个知识呈现后会有严谨的逻辑推理，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论后的自然延续，展现思维过程.符合《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的“让学生经历归纳、概括事物本质的过程，获得数学概念等研究对象”[5]的相关要求.

加拿大教材的知识呈现结构有所不同.其整体的结构呈现方式是：本章目标→关键词→各节知识内容→几何软件操作验证→章节期中测试→学习指南→章末复习.每小节呈现方式较为固定，通常为：每节目标呈现→操作探究→反思和小组分享→知识呈现→例题教学→讨论思考→本节练习→本节回顾.在例题教学中配有详细的解答过程和所运用的知识点，考虑到了所有学生的学习需要；在每道练习题之后会有设问“你用到了哪些圆的性质解决问题？”相当于对之前问题的回顾与反思.

相比较而言，人教版在知识讲解上遵循先思考探究再推理证明的过程，重视研究方法的引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展.加拿大教材则淡化了定理证明的内容，在历经动手操作和测量后，开门见山式地给出概念、性质或定理.

从“圆”知识总体呈现方式来看，人教版主要按照“圆中弦的性质→角的性质→切线的性质”的顺序编排；加拿大教材则是以“切线的性质→弦的性质→角的性质”展开，可以发现两种教材在圆相关性质的呈现方式是相反的.

3.2相同内容呈现方式比较

（1）垂径定理

两国教材在垂径定理的导入有相似之处，均鼓励学生通过折叠圆形纸片发现圆的对称性，结合圆的对称性发现垂径定理及其推论.但在知识呈现的形式上两国教材有明显区别.人教版通过严谨的几何证明得到了垂径定理的内容“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”进一步得到垂径定理的推论.但通过进一步的探索会发现，垂直于弦的线段不一定非得是直径，只需要一条经过圆心的线段垂直于弦即可得到垂径定理的相关结论.这一点在教材上没有明确地说明，但在例题教学中呈现了一般情况，需要教师进一步做解释和说明.相比之下，加拿大教材的呈现方式更加直观.如图1，其在讲解垂径定理条件时运用的文字是“过圆心垂直于弦的线段”并且以图例，文字说明和数学语言的推理过程解释垂径定理及其推论.

在垂径定理的例题教学部分，两国教材均从不同的角度引导学生理解和运用垂径定理.人教版以计算赵州桥的半径为例让学生在实际背景中结合垂径定理和勾股定理解决求值问题.加拿大教材则是提供了三个例子，分别是在三角形中求角度、结合勾股定理求长度和运用弦的性质求出水面最深处的实际问题.两国教材在例题教学部分均展示了详细的解答过程，帮助学生理解垂径定理的运用.

（2）切线的性质

在呈现切线的性质时两国教材有着异曲同工之妙.均规避了对于学生而言较为困难严谨的几何证明过程，加拿大教材通过让学生自己测量切线和过切点的半径形成的角度得到结论“圆的切线垂直于过切点的半径”.人教版则运用切线的判定定理引导学生思考切线与过切点的半径的位置关系，直接给出了切线的性质定理，不要求学生掌握反证法的证明方法.与人教版不同之处在于，加拿大教材在介绍完切线的性质后，罗列了三个对应例题.让笔者眼前一亮的是题目呈现了两条切线并要求学生寻找圆心的位置，既考查了切线性质的运用，同时训练了学生尺规作图的能力，如图2.

（3）圆周角定理

加拿大教材在圆周角定理的证明上比较简单，通过让学生测量同弧所对的圆周角和圆心角的关系后得到同弧所对圆周角和圆心角的关系.并且教材所展示图例也很单一，仅考虑了圆心在圆周角内部的这一种情况.人教版非常重视圆周角定理的证明，教材运用了完全归纳法来证明圆周角定理.以圆上任意一点为顶点的圆周角虽然有无数多个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：圆心在角的一边上；圆心在角的内部；圆心在角的外部.因此，圆周角定理的证明有三种情况，如图3.这样的安排有利于让学生理解分类证明的必要性，进一步培养其推理论证的能力.

4题目设置比较

4.1题目数量比较

人教版“圆”部分的题目分四种类型：例题、练习、每小节对应的习题和章末的复习题.其中习题和章末复习题分为三个层次：复习巩固、综合运用和拓广探索.加拿大教材“圆”部分的题目共有四种类型：例题、练习、章节期中复习题和章末复习题.此外，在加拿大教材的练习中会引入新的知识点，例如切线长定理、圆内接四边形对角互补、弦切角等内容均在练习部分加以说明，而未在正文展示.这就解释了为什么在目录中加拿大教材仅有三节内容，但在篇幅和知识点数量上却与人教版相差不大的情况.因此，加拿大教材的练习不仅仅是巩固知识，还承载着拓展新知识点的功能.两国“圆”部分题目数量比较见表2，括号中的百分比表示该部分题在总题目数量中所占的比例.

从表2可以看出，两国教材在例题部分占比旗鼓相当，说明两者对于示范教学的重视程度相近.加拿大教材在练习题部分的比重明显多于人教版，说明其更加重视对知识点的及时训练和巩固.但在复习题部分，加拿大教材却是望尘莫及，反映出人教版更强调课后的巩固复习，这也许和中国实行双基教育有着悠久的历史有关.与人教版有所不同的是，加拿大教材还包含了章节期中复习题，这说明其重视对学生阶段学习的检测.

4.2题目难度比较

在习题难度比较方面，借鉴吴立宝等对习题难度的刻画方式[6]对比两国教材“圆”章节习题的难度.习题难度N从要求水平（YQ）、知识点个数（ZS）、习题背景（BJ）三个方面进行刻画，权重分别取0.38，0.36和0.26.

1.要求水平

根据圆内容部分特点，将习题要求水平分为模仿、理解、运用、探究，分别赋值1，2，3，4.两个版本教科书圆习题要求水平情况如表3.

2.知识点个数

知识点个数分为含1个知识点、含2个知识点、含3个知识点、含4个知识点以及以上四级，分别赋值1，2，3，4.两国教材“圆”习题包含知识点个数情况见表4.

3.习题背景

习题背景主要分为无背景、个人生活背景、公共常识背景、科学背景四级，分别赋值1，2，3，4.两国教材“圆”习题背景情况如表5.

4.习题难度

将两个版本“圆”习题在要求水平、知识点个数和习题背景三个维度的结果进行汇总，情况见表6.

5信息技术使用的比较

加拿大教材十分关注信息技术的运用.在“圆”章节中有4页篇幅的内容在详细说明如何用几何软件验证所学知识.在学习完切线性质和垂径定理后，教材安排了章节的第一次信息技术的详细学习.内容设置类似软件的使用说明书，教学生分7步验证切线的性质；再分6步验证垂径定理，学生可以独立地按照步骤自己进行软件操作.第二次信息技术的细致学习被安排在学习完圆周角定理之后，构造的圆周角情况十分周全，教学生拖动动点位置不仅可以在劣弧上，同时也在优弧上运动，严谨地验证了圆周角定理.

加拿大教材在“圆”章节中共有12处运用了信息技术，其中包括用动态几何软件验证定理，用图形计算器计算例题中的线段长度.在专栏“我如何学好数学”中，详细说明了运用几何软件和计算器研究数学的优势，便于直观理解.

相比之下，人教版在“圆”章节仅有两处提及了信息技术的运用.一处是在圆周角定理的证明时，提示学生可以用计算机软件度量圆周角和圆心角，鼓励有条件的同学尝试.另一处是在研究直线和圆的位置关系时，说明可以利用信息技术工具研究直线和圆的位置关系.但两处都只是简单的叙述，没有具体的操作步骤.相比我国教材，加拿大教材在很多地方均使用了信息技术.我国教材中的信息技术形同虚设，教师在教学中也不够重视[7].

6对我国教材建设的启示

6.1适当调整教材结构，丰富栏目设计

学习“圆”章节不仅要研究圆中的基本要素，还要探索与圆有关的性质，故而其本身内容十分丰富，并且学习“圆”的内容时经常要用到前面学过的几何知识.因此“圆”章节综合性很强，是老师教学和学生学习的重点和难点.人教版的呈现方式是以问题思考为引子，历经操作探究和几何证明后习得定理和性质，再运用知识完成例题和习题，然而却缺乏了引导学生自我反思和内化知识的过程.相比之下，加拿大教材在每小节之后增设了反思的栏目，引导学生画思维导图，或以文字梳理的方式回顾本节内容和知识.反思栏目会让学生举生活中的实例来说明定理和性质，或者举一些社会话题让学生感知圆有关的性质在生活中的运用.如在8.1切线的性质末尾，加拿大教材联系奥运五环的位置关系增强学生对性质的理解.

为了加强圆知识间的联系与综合，两国教材均设置了章末小结.我国教材的章末小结以知识结构图和六个问题总结本章内容；而加拿大教材则将本章涉及的所有定理和性质以“图示+文字”的方式回顾本章内容.两种方式都可以有效地将本章内容联系起来，形成知识网.此外加拿大教材还增设了学习指南的栏目，介绍了学习圆相关知识的三种策略：可以通过动手操作、信息技术和严谨的几何证明学习相关的性质和定理.这也正是研究平面几何图形的一般规律即历经直观感知、操作实验和逻辑推理最终探索得到知识.我国教材的编写可以借鉴这种方式，增设一些新的栏目，帮助读者掌握研究的一般规律，从圆这个特殊的几何图形到所有的图形，达到“窥一斑而知全豹”的效果.

6.2突出圆的核心概念，把握性质之间的内在关联

圆的核心概念，包括圆的定义，以及弧、弦、圆周角和圆心角的定义.这些核心概念是进一步研究圆与其他图形位置关系和数量关系的主要依据.人教版教材就是按照这样的顺序进行编写的，旨在学生认知螺旋式上升.但圆的定义在第一个小节“昙花一现”后便没有再出现在读者的视野中.“到一点距离为定长的点的集合”已经使用了集合的概念来说明圆的定义，涉及高中的集合思想，可以稍作展开加以讲解.或者如加拿大教材的处理方式，将其与函数图象结合，横轴为时间，纵轴记为到一点的距离，在图象上展示出来便是一条平行于x轴的直线.将其与函数图象结合理解圆的定义也是很特别的方式.

另外，我国教材在介绍圆的切线判定和性质时，练习着重针对训练学生判定圆的切线和利用切线的性质求值的能力，欠缺了与之前所学的圆其他性质的联系.相比之下，加拿大教材在圆周角定理中安排了有关探究“弦切角”的练习，就很好地兼顾了切线性质和圆周角定理的运用.因此，我国教材在设置章节后期内容时应该考虑到圆的整体性质的衔接，尝试将之前所学的圆心角、圆周角和弦的性质与切线的性质结合，把握圆的性质之间的内在关联.

6.3优化习题要求水平，注重习题的背景多样化

人教版的例题和习题紧扣本章内容，强调对知识点的反复练习和强化.其中模仿和运用层级的习题最多，缺乏探究层级的练习，不利于培养学生独立思考探究的能力.因为学生对定理和性质的理解仅仅停留在模拟教材的例题以及在模仿的基础上辨别知识点的运用，当学生在解决新情境下圆与其他知识的综合问题时，缺乏分析问题的能力，缺乏将未知转化为已知的思考.加拿大教材则侧重培养学生在新的情境中分析和解决问题的能力，习题设置丰富多彩，强调圆各种性质的运用.其将圆与函数、圆与四边形、圆与三角形相似结合创设不同的情境，引导学生用不止一种方法解决问题，开拓学生思维.因此，我国教材可以将圆置于图形与几何这个更大的单元中加以思考，不仅能将圆内部的知识打通形成网络，也可以在习题部分融入其他几何图形和性质的运用，强调变式训练，促进学生从不同角度理解知识，增强知识运用的灵活性，并构建起结构更合理的的知识网络.

在习题背景方面，我国教材中习题略显背景单一，“圆”章节习题中半数以上的题目均为无背景的纯数学计算，蕴含背景的习题也多为个人生活和公共常识.其中个人生活背景题目占比为10.42%，题目涉及学生体育课跑圈问题、校园绿化带美化问题等，主要围绕学生校园生活展开，背景略显单一.建议适当增加我国教材习题背景的多样化，进一步加强圆与现实生活、数学知识和其他学科之间的联系.加拿大教材中科学背景习题占比为11.25%，涉及历史学、航天科学、社会研究等方面丰富的背景，使得教材更加贴近生活实际，增强学生运用圆的知识解决现实生活及其他学科问题的意识和能力.

6.4加强现代信息技术的合理使用，在动态变化中发现图形的性质

现代信息技术特别是计算机、计算器等对数学产生了不同程度的冲击，许多国家已将其纳入到数学教科书中，成为一种认知工具.根据学习内容的需求，选用合适的信息技术工具，充分利用它的运算作图、展示过程、探究规律等功能，可以使学生能够更好地认识数学的本质、探究数学问题.加拿大教材详细介绍了动态几何软件和绘图计算器的运用，让图形动起来，引导学生在动态变化过程中发现圆的相关性质，运用信息技术可以很方便地测量弦的长度和圆中的角度，有利于发现其中变与不变的位置关系和数量关系.同时在习题计算中，使用图形计算器取代了繁琐的计算，降低了解题时的重复性和机械性，大大提高了教学的效率.人教版仅有两处以“小贴士”的方式提醒学生可以运用信息技术测量圆中角度和探究圆与直线的位置关系，但缺乏明确的指导，没有可操作性.基于此，我国教材可以针对软件和图形计算器的使用加以介绍，并辅之具体的示范过程，方便学生在动态变化中发现图形的性质.

参考文献

[1]章建跃.“圆”的课程教材设计与教学[J].数学通报，2020，59（07）：1-7，34.

［2］蔡庆有，黄燕苹，金美月，等.中日韩小学数学教材内容的对比研究[J].课程·教材·教法，2014，34（07）：114-120.

［3］秦梅，虞秀云.中美初中数学教材内容呈现的比较：以“圆的弧与弦的有关性质”为例[J].中学数学杂志，2016，（08）：27-31.

［4］何双.中加小学数学教材中“图形与几何”的比较研究[D].武汉：华中师范大学，2021：37.

［5］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版[M].北京：北京师范大学出版社.2022.

［6］吴立宝，王建波，曹一鸣.初中数学教科书习题国际比较研究[J].课程·教材·教法，2014，34（02）：112-117.

[7]吴骏，胡鹏艳，朱维宗，等.中国与新加坡高中数学教材复数内容比较研究[J].数学通报，2016，55（01）：12-16.

作者简介沈爱桐（1997—），女，云南昆明人，硕士研究生;研究方向为数学教育研究.

杨亚平（1987—），女，云南大理人，博士，副教授，硕士生导师;研究方向为STEM教育和数学教育研究.