一类双变元代数式最值问题的多解探究

摘要：涉及双变元代数式的最值（或取值范围）问题，命题设置场景丰富多彩，变化多样，可以有效考查考生的“四基”与“四能”，成为高考数学命题中比较常见的一类基本考查类型.借助一道模拟题中最值的设置，通过函数、不等式等场景巧妙创设，借助变量最值的求解，从不同思维视角切入，发散数学思维，进行“一题多解”，指导数学教学与解题研究.

关键词：函数；最值；基本不等式；换元

涉及双变元代数式的最值（或范围）问题，是基于不等式、函数与方程等基础知识，以更加丰富多彩的应用场景来创设，进而来合理确定相应的代数式的最值（或范围）.此类问题往往交汇与整合不等式、函数与方程、三角函数、函数与导数等相关的基础知识，借助合理的逻辑推理以及正确的数学运算等来达到考查与应用的目的，一直备受关注，成为各类数学试卷命题中的一个重点与热点问题.

1 问题呈现

问题 设函数f（x）=x3－x，任意正实数a，b满足f（a）+f（b）=－2b，若a2+μb2≤1，则实数μ的最大值为______.

此题以三次函数为问题背景，利用满足条件的函数关系式所构建的方程来创设条件，结合含参不等式恒成立，进而来确定对应参数的最值问题.借助三次函数背景正确构建双变元a，b之间满足的条件关系，并分离参数构建相应参数所满足的不等式，其实质还是双变元代数式的最值（或取值范围）问题.

结合问题的场景与应用，合理通过含参不等式的恒等变换与转化，进而构建对应的双变元代数式，从配凑思维、比值换元思维以及三角换元思维等方式切入，利用基本不等式、函数与导数的应用、二次方程有根的判别式法等技巧方法来应用，挖掘问题的实质，开拓问题的解题思路，实现问题的突破与解决.

点评：三角换元思维往往是对于一些具有特殊关系的双变元代数式关系应用的一种换元思维与技巧方法，引入三角变量，将代数问题转化为三角函数问题，进而利用三角函数及其相关知识来确定代数式的最值（或范围），也是解决双变元代数式的最值（或范围）问题中比较常用的一种技巧思维.三角换元应用中要注意换元的目标，以及换元中角的取值限制等条件，综合利用三角恒等变换公式，并借助三角函数的有界性等来分析与应用.

3 变式拓展

涉及此类基于函数场景下双变元代数式的最值（或取值范围）问题，创设场景精彩多变，技巧应用方式多样，合理变式拓展，综合创新应用.

变式 已知函数f（x）=x3+ex－e-x+1，若实数a，b满足f（3a2－3）+f（b2－1）=2，则a2+b2的最大值为______.（3）

4 教学启示

函数与方程、不等式等场景条件下的双变量代数式的最值（或范围）及其综合应用问题等，是巧妙融合函数与导数的应用，交汇函数与方程，利用不等式等综合知识的一个基本考点.此类问题难度往往都比较大，很好地融合函数与方程、函数与导数、不等式、三角函数等相关的数学知识，以双变量代数式的最值（或范围）的求法与应用为场景，融入其他一些相关的知识与应用，成为高考考查的一个基本方向与命题趋势，在课堂教学与复习备考过程中要加以重视.

基于此，在新教材、新课程、新高考的“三新”背景下，依托一些“在知识点交汇处命题”的创新设置与综合应用，全面考查考生数学“四基”与“四能”等方面的落实情况，充分体现高考数学试题更加注重数学思维品质、数学关键能力以及数学核心素养等方面的渗透与考查，更加关注数学中的创新意识与创新应用，培养学生的创新能力.