几种常用构建函数的技巧方法

摘要：构建函数来解决一些函数或方程、代数式、不等式等相关问题，是函数应用的一种基本解题意识与技巧方法.结合题设条件以及函数、不等式等的结构特征，从不同思维视角合理构建函数，进而转化为函数问题来处理，思维巧妙，策略得当，总结规律，指导数学教学与复习备考.

关键词：函数；导数；同构；放缩；证明

在解决一些复杂的综合应用问题时，特别是涉及抽象函数不等式的求解问题、抽象不等式恒成立问题、含参不等式恒成立问题以及函数不等式的证明问题等，经常要利用构建函数法来转化与应用.而借助题设条件与基本类型，构建函数的技巧方法也有一定的差异.本文中结合几种常用构建函数的技巧方法加以实例剖析，抛砖引玉.

1 利用导数运算法则构建函数

求解与导数有关的抽象函数不等式的综合应用问题时，结合题设条件的对比与分析，合理联想函数求导公式及导数运算法则，巧妙构建一个新函数，通过研究新函数的基本性质来分析处理与原抽象函数不等式相关的问题.

例1 设函数f（x）是定义在区间（－∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且2f（x）+xf′（x）>x2恒成立，则不等式（x+2 023）2f（x+2 023）>4f（－2）的解集为______.

分析：根据题意中的不等式恒成立加以恒等变形与转化，并结合导数运算法则的逆用，合理同构函数，进而结合函数的单调性来转化所要求解的不等式，实现不等式的巧妙转化与求解.

点评：对于比较复杂的不等式恒成立或不等式证明问题，直接构建函数处理时往往函数复杂，运算量大，而通过不等式的恒等变形与转化，构建两个相对简单的函数，通过比较F（x）min>G（x）max，而得以确定F（x）>G（x）恒成立，实现问题的巧妙转化，又能很好地减少数学运算量，优化解题过程.

在实际构建函数处理一些相关的复杂的综合应用问题时，要正确分析并转化题设条件，或利用导数运算法则构建函数，或利用同构法构建函数，或利用放缩法构建函数，或利用变形法构建双函数等，合理转化为对应的函数，结合所构建的函数分析对应的基本性质，进而合理转化与应用，开拓数学思维，提高数学能力，提升解题效益，形成良好的思维习惯，培养数学核心素养.