2024年高考数学全国甲卷理第12题的多视角解法及拓展

摘要：涉及直线与圆的位置关系的综合应用问题，一直是高考中比较常见的基本考点之一.结合一道高考数学真题，借助问题的创新设置，从不等式思维与直线系思维等不同视角切入与应用，多思维层面切入，多技巧视角应用，探究破解问题的思路与变式拓展，指导数学教学与解题研究.

关键词：直线；圆；位置关系；方程；勾股定理

直线与圆的应用问题，是基于初中平面几何知识的应用与拓展，在逻辑推理的基础上，借助代数运算来处理平面解析几何中的一类基本应用问题，成为初、高中阶段知识之间的一个重要纽带.解决此类问题，将平面几何中两类基本平面图形放置于平面直角坐标系中，有“形”有“数”，有效联系起对应的基础知识与基本思想方法，很好地链接数学核心素养，是每年高考数学命题中的一个基本考点.

而借助直线与圆的位置关系，回归初中平面几何“形”的几何特征，联系高中解析几何“数”的运算性质，是多视角切入与应用的一个重要场景，切实吻合高考数学命题“在知识交汇点处命题”的理念，常考常新，一直成为高考的考查重点.

1 真题呈现

高考真题 （2024年高考数学全国甲卷理·12）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y－1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）.

在直线与圆的位置关系的基础上，结合弦长的取值范围的确定与应用，借助弦长|AB|为整数这一特殊设问方式来求解，合理进行变式与拓展，实现问题的深入应用，有利于深度学习与创新应用.

4 教学启示

4.1 合理交汇，巧妙应用

直线与圆的位置关系问题，是初中平面几何“形”的几何特征与高中平面解析几何“数”的代数性质的巧妙综合，符合在“知识交汇处命题”的理念，也是两者之间不同思维视角切入的重要载体.

解决此类涉及直线与圆的位置关系问题，可以从“形”的几何特征加以逻辑推理与直观想象，也可以从“数”的代数性质加以数学运算与推理应用，给考生以更多的尝试机会，成为全面提升数学“四基”、强化数学“四能”的一个重要场景.

4.2 深度学习，“一题多变”

基于此类典型的直线与圆的位置关系问题，在一定程度上合理挖掘问题的本质与内涵，同时架起初中与高中数学知识之间的桥梁，从不同思维视角切入与应用，成为“一题多解”“一题多思”的重要场景，进而在一定程度上，合理加以深度学习与应用，有效进行“一题多变”“多题一解”等方式的深入探究与创新应用，达到“一题多得”.

特别地，基于此类典型数学应用问题，合理挖掘问题的内涵与实质，渗透数学基础知识与思想方法，从而有效地培养学生的数学基本能力，在一定程度上提升数学的思维品质，从而构建一个更加完整的数学知识体系，有效落实数学基础知识与基本能力，养成良好的数学习惯，培养数学核心素养.