生长数学理念下“函数的对称性”教学设计与思考

卜以楼老师提出的生长数学的教学主张在数学教学中产生了较大反响，掀起了广大一线教师的生长数学教学热潮.生长数学教学是指以数学的知识结构、思维方法、重要思想的形态、方法与生长过程，来构建数学课堂的系统、样态、思维的生长活动.生长数学以“数学教学为学生生命成长助力”为理念，构建“以生长为构架的教与学的教学方式，坚持“让学生享受数学思维生长全过程”的教学主张.

生长数学教学基于大局观、整体观构建知识体系，旨在“能贯通、能生长”，利用可迁移的基础和经验——“前后联系、思维贯通”的“数学种子”，生长出更多的数学知识、思维方法和活动经验.

函数的对称性直观地体现在函数图象上，与奇偶性、单调性、周期性有着密切联系.教材虽没有专门的章节介绍，但在教材（人教A版）第85页练习3、第87页拓广探索13、第214页拓广探索19等处以习题的形式呈现，近几年全国卷高考题也多有考查.虽然能直观地从函数图象感知对称性，但从“式结构”和奇偶性、周期性的联系上，在必修一新课教学时并没有深入、系统地对其展开研究.因而本节课从学生已有认知基础和函数性质的研究方法出发，尝试在生长数学的教学理念下设计高三一轮复习课教学，旨在构建学生的知识生长框架，助力思维生长，感悟生长乐趣.

1 教学内容与目标分析

函数是现代数学最基本的概念，是描述现实世界中变量关系和规律的基本数学工具，在解决现实问题中发挥着重要的作用.函数是贯穿高中数学课程的主线.2019人教A版必修一教材的函数单元以体现数学基本思考方法的问题——“什么是函数的性质”“如何研究函数性质”等，促进学生思考，让学生在探究函数性质的完整过程中掌握研究函数性质的一般方法，提升学生学习和思考能力，并进一步研究了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数.

单调性、奇偶性、周期性是函数的三大基本性质.函数的性质主要是函数值随自变量的变化而变化的规律，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小（变化趋势），有没有最大值或最小值（特殊意义的取值），函数图象有什么特征（主要是对称性），有没有其他特殊取值（如函数零点），等等.本节课教学目标和重难点如下：

教学目标：（1）了解对称性的概念和几何意义，知道基本初等函数函数的对称性.

（2）知道对称性与奇偶性、周期性的关系.

（3）经历从具体到抽象、从特殊到一般的研究过程，提升数学抽象、逻辑推理素养，逐步学会用数学的思维思考世界.

重点：探究对称性与奇偶性、周期性的关系.

难点：对称性与奇偶性、周期性关系的应用.

2 教学过程设计

2.1 函数的轴对称与中心对称

师：今天和大家一起来研究“函数的对称性”.函数的对称性体现在函数图象上，就是我们熟悉的图形的对称性，包括轴对称和中心对称.

教师课件呈现函数的轴对称和中心对称示意图，叙述函数对称性的定义.

师：我们已经认识了函数图象轴对称和中心对称的“形特征”，如果考虑函数y=f（x），能从“数”的角度刻画函数的轴对称和中心对称吗？

学生讨论得出：若函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称，则有f（a+x）=f（a-x），或f（x）=f（2a-x）成立.若函数y=f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，则有f（a+x）+f（a-x）=2b，或f（x）+f（2a-x）=2b成立.

说明：数形结合是研究函数性质的主要方法.一方面通过观察和分析函数图象的特征，可以得到函数的一些性质；另一方面通过对解析式的代数运算，也可得出函数的一些性质.

教师呈现基本初等函数示意图（图1），引导学生讨论常值函数和幂函数的对称性.

说明：高中阶段学习的基本初等函数是现实世界最为基本而典型的运动变化现象的数学抽象.基本初等函数经过复合与综合后折射出现实世界的复杂运动变化，其性质反映了现实世界中大量事物的变化规律，因而探索和掌握基本初等函数的性质，是非常重要的.整节课以基本初等函数的对称性为问题研究链条，从对称性与奇偶性，到对称性与周期性，再到函数的互对称，体现了本节课的研究主线，是本节课的知识结构生长点.

2.2 奇偶性与对称性

学生讨论常值函数和幂函数对称性，回忆得出“偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称”.

师：同学们总结得很好.若一个函数的图象关于y轴对称，那它一定是偶函数吗？若一个函数的图象关于原点对称，它一定是奇函数吗？

学生根据偶函数和奇函数的定义及前面“数结构”得出肯定的结论.教师肯定学生的结论，课件呈现教材第85页练习3.

说明：唤醒学生的已有认知，寻根溯源，呼应教材内容，引导学生重视教材，也为从特殊推广到一般作铺垫.

师：对于一般的情况，若函数y=f（x）的图象关于直线x=a（a≠0）对称，它不一定是偶函数.你可以从y=f（x）出发，构造一个偶函数吗？

师：若函数y=f（x）关于点（a，b）（a2+b2≠0）对称，可以进行类似操作吗？

说明：通过代数运算和图象直观，从具体到抽象、从特殊到一般，精确刻画出对称性和奇偶性的关系.在整个探究过程中，学生不仅掌握了知识，还学习了数学思考和研究的方法，不仅生长出新的知识和方法，也提升了数学抽象、逻辑推理核心素养.

学生讨论得出，可以将函数y=f（x）的图象通过平移得到偶函数或奇函数.总结得出如下结论：

结论1：函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称y=f（x+a）为偶函数.

结论2：函数y=f（x）的图象关于点A（a，b）成中心对称图形y=f（x+a）-b为奇函数.

教师课件呈现教材第87页拓广探索13，肯定学生的成果.

说明：寻根溯源，呼应教材内容，引导学生重视教材.

探究1：若y=f（a+bx）为偶函数，则y=f（x）的图象关于______对称.

探究2：若y=f（a+bx）为奇函数，则y=f（x）的图象关于______对称.

追问：若y=f（a+bx）为奇函数，则f（a）=______.

说明：从形和数的角度深度认识函数的奇偶性与对称性，进一步在所得结论1和结论2的基础上生长出新的结论.

例1 （2017全国卷Ⅰ）已知函数f（x）=ln x+ln（2-x），则下列说法正确的是（ ）.

A.f（x）在（0，2）上单调递增

B.f（x）在（0，2）上单调递减

C.f（x）的图象关于直线x=1对称

D.f（x）的图象关于点（1，0）对称

例2 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现，解答下列问题.

（1）求函数f（x）=13x3-12x2+3x-512的对称中心；

（2）求f12 023+f22 023+f32 023+……+f2 0222 023的值.

说明：在综合问题情境中促使学生应用所学知识解决问题，熟练掌握对称性.

2.3 周期性与对称性

教师呈现基本初等函数（图1），引导学生回顾正弦函数和余弦函数的对称性；课件呈现教材第214页拓广探索19，肯定学生的成果.

师：正弦函数是奇函数，原点是它的一个对称中心，由于它具有周期性，因而有无数个对称中心；正弦函数的图象也是轴对称图形，由于周期性，它具有无数条对称轴.对一般的函数y=f（x）而言，如果它有x=a，x=b两条对称轴，那么它具有周期性吗？如果有，周期是多少？

学生自主展开探究，有的利用特殊作图探究，有的利用数式证明.教师及时评价学生的探究成果，得出如下结论：

结论3：若函数y=f（x）以直线x=a和x=b为对称轴，则f（x）为周期函数，且周期T=2|a-b|.

教师追问所得周期是否为最小正周期.

说明：学生比较习惯于“观察图象，得出性质”，所以教学中要有意识地渗透从代数角度研究函数性质的方法.在积累了一定的知识后，还要让学生形成“由性质画图象”的意识.

对于函数具有（a，0），（b，0）两个对称中心、函数关于直线x=a和点（b，0）对称的情形，通过探究，可得出如下结论：

结论4：若函数y=f（x）以（a，0），（b，0）为对称中心，则f（x）为周期函数，且周期T=2|a-b|.

结论5：若函数y=f（x）以点（b，0）为对称中心，直线x=a为对称轴，则f（x）为周期函数，且周期为T=4|a-b|.

师：正弦函数和余弦函数作为周期函数的代表，都是既有对称中心又有对称轴，那是不是一般的周期函数都具有对称性呢？如果一个周期函数具有对称中心，即它是不是一定也有对称轴呢？

mSe65q9iGPAJxbkgTAdFvg==

学生讨论发现，并不是所有的周期函数都具有对称性.例如，y=|sin x|只有对称轴，y=tan x只有对称中心，y=x-［x］既没有对称轴、也没有对称中心.

说明：深度剖析周期性与对称性的关系.

例3 （2021全国卷Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+2）为偶函数，f（2x+1）为奇函数，则（ ）.

A.f-12=0

B.f（-1）=0

C.f（2）=0

D.f（4）=0

例4 （2018全国卷Ⅱ）已知y=f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（50）=（ ）.

A.-50

B.0

C.2

D.50

说明：在综合情境中促进学生掌握周期性与对称性，积累解题经验，强调“双对称→周期性”.

2.4 对称性的拓展研究

师：前面围绕函数的对称性，探索了它与奇偶性、周期性的关系，更多地见证了函数值中的“等”的关系.实际上，利用对称性也可以处理“不等”，即“大小比较”的关系.

例5 设y=f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，试比较f（-1），f12，f（2）的大小.

变式 若f（x+1）是定义域为R的偶函数，且在（1，+∞）单调递减，试比较f（-1），f12，f（2）的大小.

学生讨论发现，可以将函数值的大小比较转化为自变量与对称轴距离的比较，亦可以将自变量转化到同一个单调区间进行比较.

例6 设f（x）=ln xx，试比较f（2），f（3），f（5）的大小.

学生作出函数f（x）=ln xx的图象，其没有对称轴，在x=e处取到极大值，呈现出左陡右缓的趋势.由于没有对称轴作为参照，因此学生尝试将自变量转化到同一个单调区间进行比较.

由于3，5∈（e，+∞），2（e，+∞），部分学生试图寻找（2，f（2））的等值点，发现f（2）=ln 22=ln 44=f（4），成功将三个函数值对应的自变量转化到同一个单调递减区间.教师乘胜追击，提出问题.

师：如果我们没能发现f（2）=f（4），或者下次不能进行类似转化了，怎么办？

生：研究点（2，f（2））关于直线x=e的对称点（2e-2，f（2）），由3<2e-2<5，得f（3）>f（2）>f（5）.

师：如图2，对一般的“类对称”函数图象，我们可以有什么发现？

学生讨论得出：若f（x1）=f（x2），则x1+x2>2a.有学生提出“极值点偏移”.教师肯定学生的发现.

说明：通过运算，理解函数所蕴含的规律，掌握通过图象直观（定性）和运算（定量）获得函数性质的方法，感受其中蕴含的基本数学思想.

2.5 课堂小结与展望

教师引导学生对本节课的知识和方法进行小结，如图3.

教师呈现基本初等函数（图1），引导学生回顾指数函数和对数函数，虽然它们本身不具有对称性，但底数互为倒数的指数函数之间、底数互为倒数的对数函数之间、同底的指数函数和对数函数之间是具有对称性的，由此引出下节课的课题——函数的互对称.

说明：生长数学的课堂，是数学知识和方法能够生根、发芽、生长的课堂，是有生命的、灵动的课堂.整节课沿着基本初等函数对称性的思维链条，提出问题、解决问题，在小结后提出可以进一步研究的问题，让学生感悟到数学生长的力量.

3 教学反思

罗晓峰在文［1］中提出生长数学的三点要义：生长点、延伸点、落脚点.生长数学要找准问题的生长点，自然迁移，强调思维的连贯性.本节课的知识生长点就是从函数图象的对称呈现出的“形特征”到y=f（x）的点（x，y）横、纵坐标关系的“数表达”.方法生长点是学生已有研究函数性质的活动经验和方法.生长数学要做好延伸点，注重知识整体结构的构建.问题的提出以回顾熟悉的基本初等函数的对称性一以贯之，问题的解决回应了教材内容，研究中发现对称性与奇偶性、周期性联系紧密，建构了学生的知识整体观，提高了学生的学习兴趣.整节课学生的学习是轻松的，思维是自然的，兴趣是高涨的.生长数学要深化落脚点，本节课升华了函数性质的本质，积淀了数形结合的思想，落实了数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养.

从结构性思维来看，卜以楼

老师强调生长数学用“式结构”与“形结构”来浇筑知识结构.本节课在第一阶段“函数的轴对称和中心对称”，由函数图象对称的“形特征”到“数表达”，进行了运算推理，生长出新的结构.第二阶段“奇偶性与对称性”为学生铺设合适的认知台阶，使学生经历完整的学习过程，提升对函数对称性的理解水平.第三阶段“周期性与对称性”，通过代数运算和图象直观构建从具体到抽象、从特殊到一般的过程，提升学生的抽象思维水平，生长出新的知识.

从策略性思维来看，以深度研究为要领，在第四阶段“对称性的拓展研究”，以不变应万变，以对称应不对称，更好地把握客观世界中事物的变化规律，生长出新的思维.

从整体性思维来看，本节课的研究始于直观、抽象数式，终于推理.以数形结合思想方法引领，以基本初等函数的对称性一以贯之，第五阶段“课堂小结与展望”总结收获，提出新的研究问题，建立学生知识和方法的整体观，生长出整体知识结构和方法［2］.

参考文献：

［1］罗晓峰.生长数学的三点要义［J］.中学数学教学参考，2019（18）：70-71.

［2］庞海燕.基于整体观构建的探究发现式教学——以“利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”为例［J］.数学教学通讯，2023（12）：14-16，20.