绘图与思维结合，发展空间观念

【摘要】文章以“长方形、正方形的周长（复习课）”为例，通过变式练习的设计，促使学生逐步形成绘图意识和绘图能力，建构图形表征，发展空间观念等核心素养，并借助信息技术，赋能教学。

【关键词】练习设计；空间观念；技术赋能；改进教学

“长方形、正方形的周长”是沪教版小学数学三年级第二学期第六单元“几何小实践”中的内容。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：“周长的教学要引导学生在探索的过程中，形成初步的几何直观和推理意识，使学生在图形的认识与测量中，增强空间观念和创新意识。”

一、研究背景与意义

根据新课标的教学要求，为了检测教学方法的有效性和教学目标的达成度，笔者利用学习过程诊断平台，向学生推送了课后练习。通过对练习数据的采集与分析，笔者发现对于一些常规类练习，学生能运用公式正确计算长方形、正方形的周长；但是对于复杂情境的非常规类练习，由于绘图意识的薄弱和绘图能力的欠缺，学生无法建立正确的空间观念，从而不能运用长方形、正方形周长的计算方法来解决实际问题。因此，笔者以增强学生绘图的意识和能力为目的，设计了一系列变式练习。并选择同年级组学习水平相近的一个班级作为实验班，通过复习课的教学活动，丰富学生解决问题的经验，加强学生对知识的理解和运用。以此来培养学生的空间观念和创新意识，促进高阶思维能力的提升，检测改进教学的成效。

二、数据读取与分析

1.“学习过程诊断平台”的练习与学生表现

这道题考查了学生在复杂情境中，能否用长方形、正方形周长的计算方法解决实际问题。属于“运用”的学习水平，蕴含的核心素养是“空间观念”和“推理意识”，对学生的能力要求比较高。这道题班级正确率为14.3%，区域正确率为24.7%。

2.分析错误原因

这道题通过绘图可以解决复杂的问题。5个长方形拼成一个大长方形有这几种情况：

选择答案A的学生，没有理解“最短花边”即是求周长的含义，而是错误地认为要求“最短边长”，所以对小长方形较短的那条2厘米的边进行了5次连加，得出10厘米的结果。这类学生不理解题意，无法在较复杂的情境中提取相关信息。选择答案C得出最短周长是26厘米的学生人数最多，有的学生只想到图形②，有的学生想到图形②和③两种，并比较出图形②的周长更短。选择答案C或答案D的学生，他们具有初步的空间想象能力，但是思维还不够严密，解决问题的策略单一。

通过对学生的错误成因进行分析，学生的几何直观、空间观念和创新意识都比较薄弱。为了提高学生“图形与几何”中“问题解决”的能力，笔者对学生进行了绘图意识的培养和绘图方法的指导，帮助他们把抽象的问题具体化、直观化，从而理解题意，分析推理，解决问题，发展空间观念。

三、改进措施与成效

1.比较辨析，感知拼组图形周长变化的现象

这道练习让学生“小试牛刀”，将“两个”“小正方形”拼搭起来，根据正方形图形的特征（四条边都相等），以及少量的正方形个数，无论学生怎样拼搭，形成的图形只有一种。通过“点阵笔”采集数据，这道题的正确率为77.8%（21人/27人），其中，8名学生直接展开空间想象解决问题，13名学生通过绘图解决问题。另外，错误的学生有6人没有绘图，即使有绘图意识，但是不知道怎么画拼组图形。

这道练习增加了正方形的个数，使得空间想象不再容易，这也让更多地学生意识到使用“绘图”策略在解决问题过程中的必要性和便捷性，练习2的正确率也大大提升。

在解决这道练习的过程中，笔者还发现学生除了“绘图”的意识加强，计算方法也是多样的。不同的计算方法也体现了学生不同层次的空间观念，通过两种计算方法的对比，促进了生生之间的交流，灵活选择自己喜欢的方法来解决问题，优化了自己的解题策略。

与上两题相比，这道题的图形从“小正方形”的拼搭变为“小长方形”的拼搭，由于图形的特征不同，拼搭的方向也从单一到多样。在反馈的过程中，学生将练习1和练习3进行了对比和联系，发现图形的形状变化了，拼搭的位置不同，能够形成新的图形，提高了学生的空间观念和推理意识。

在解决这道练习时，有22名学生已经能够“举一反三”地将三个小长方形运用“短边拼接”和“长边拼接”的方法进行拼搭并正确计算出结果。由于小长方形“长”和“宽”数据的特殊性，除了短边拼接”和“长边拼接”的一般拼搭，还能通过“旋转”小长方形，形成一个新的大长方形。想到三种方法的有3名学生，有作图意识，但是无法作图的有2名学生。

这道题能想到运用“旋转”方法解决问题的学生具有比较高的空间想象能力，突破了思维的局限，但是人数不多，没有达到笔者的课前预设。通过反思，笔者想这可能是学生在“绘图”时，画的小长方形“长”和“宽”比例不准确导致的，从而无法建立正确的几何直观和空间观念。如果在这个教学活动中，提供“三个长6厘米，宽3厘米的长方形”的纸模，将小长方形“长”和“宽”长度数据的特殊性准确体现出来，增加学生动手操作的体验，可能运用“旋转”方法的学生会更多。

2.方法选择，运用拼组图形周长的变化解决生活问题

经过四道变式练习积累，学生已经形成了作图意识和习惯，具有一定的作图能力。实验班中，有12名学生选择答案B（12人/27人），正确率从14.3%大幅度提升到44.4%。在做对的学生中，9名学生能够画出三种图形，说明这些学生思维严谨，思考比较全面，具有初步的空间观念；3名学生画出两种图形，课后笔者与学生进行了交流，询问为什么没有画出“短边拼接”这个方法，学生说到“用五个小长方形的周长之和减重合边的总长度就是大长方形的周长，‘短边拼接’重合边的总长度比‘长边拼接’重合边的总长度短，那么拼成的大长方形的周长就更长，题目求的是最短的周长，所以只要画‘长边拼接’的图形就可以了。”从学生的想法中可以看出，虽然他们只画出两种图形得出正确答案，但思维水平丝毫不逊色于三种图形都画出来的学生，具有较强的空间观念和创新意识。另外，选择答案C的有9名学生，画出两种图形。选择答案D的有5名学生，只画出一种图形。1名学生遇到复杂的情境，感到无从下手，无法绘图，没有作答。

创造性活动对发展空间观念是非常重要的，经过前面四道练习的铺垫，学生的绘图意识和能力得到了不断地强化，在运用策略解决这道题时发挥了巨大的作用，使抽象的空间观念“可视化”，促进了学生应用意识的提高和高阶思维能力的发展。

四、案例收获与反思

1.练习设计的层次性、开放性、情境化

基于“双新”“双减”背景，在单元教学的视域下，教师要重视对学生“学科核心素养”的培养，聚焦课堂练习和课后作业设计的提质赋能，注重知识技能和核心素养的融合，关注课上教师的教与课后学生的练的一致性。

练习设计要重视学生对数学概念的理解及运用，注重培养学生良好的数学思维能力和解决问题能力。通过选编、改编、创编练习，依据因材施教的理念布置作业，逐渐从对作业练习“量”的关注，延伸到对作业练习“质”的研究。

2.作图对于培养空间观念的重要性

在复习课一系列的活动中，绘图对解决问题起到了不可替代的重要作用。绘图，不仅能够提高学生的学习兴趣，更重要的是让学生在绘图的过程中建立起对空间观念的具体表征，对图形的特征也能够得到进一步的认识与理解，完善图形与几何的知识结构。绘图是发展学生空间观念的重要策略。但是，要有效发展学生的空间观念，短期的课堂教学是不够的。

3.用好平台载体助力教学改进

我校作为区级项目“学习数据分析支持下的小学数学精准教研深化研究”的核心实验校，学校致力于打造数字化课堂。借助学习过程诊断平台和“点阵笔”技术，以课堂学习与课后练习诊断的数据分析为基础，采集学生练习数据，分析学生思考过程，对学生作业错误现象加以归类分析，从而挖掘学科能力薄弱的根本原因，排除教学盲点、改善教学方式，为教学改进研究提供依据，解决一些课堂教学存在的问题，切实提高课堂教学效能，让教研从基于经验转向经验与证据相结合，继而实施靶向问题的改进措施。

以“技术赋能”促进学科教学的发展，在后续的研究中，教师还要继续探索：通过“点阵笔”的应用，能够自动化、智能化地判断学生作业表现，凸显“数据分析”的优势。并通过学生表现的生成，让教师去分析、反思教学预设，并对“教”与“学”的行为进行改进，让研究更加有效。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2]王宝芳.浅谈现代信息技术在小学数学教学中的运用策略[J].天天爱科学（教学研究），2021（10）.