高等数学教学中学生创新能力的培养

［摘 要］创新是一个民族的灵魂，大学生是中华民族崛起的希望，大学生创新能力的培养是增强我国综合竞争力的核心所在。高等数学是一门十分重要的基础课程，受众广、影响较大。在高等数学教学过程中注重学生创造性思维和创新能力的培养，是至关重要的。文章探讨了培养学生创新能力的重要性，进而探索在高等数学教学中培养学生创新能力的方法，提出了五个有效培养学生创新能力的途径：引导学生自己推导定义或定理；启发学生一题多解；指导学生用高等数学的方法解决本专业的问题；鼓励学生自己编写程序或绘制图形；科研促进教学，培养学生创新意识。

［关键词］高等数学；创新能力；教学改革

［中图分类号］G645 ［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2024）15-0009-05

一、培养大学生创新能力的重要性

创新能力是在技术和各种实践活动领域中不断提供具有经济价值、社会价值、生态价值的新思想、新理论、新方法和新发明的能力[1-2]。创新能力是民族进步的灵魂、经济竞争的核心；当今社会的竞争，与其说是人才的竞争，不如说是人的创造力的竞争。

大学生是一个民族的希望和未来，是开展“大众创业、万众创新”的关键群体；大学阶段是培养学生创新能力的重要阶段，如何系统地、可持续地提升大学生的创新能力，是摆在每一名高校教育工作者面前的重要课题[3-4]。

大一学生本应该是最具有创造力的一个群体，但事实上，少数大一学生上大学后认为目标已经达到，开始想要“躺平”和偷懒；部分学生养成了刷题的习惯，为了做题而做题，没有进行深入的思考；还有部分学生只关心课程能修几个学分、怎么样才能快速提高课程成绩等。因此，在大一入学阶段激发学生的学习兴趣、提高学生的创新思考能力迫在眉睫[5]。

高等数学是本科生入学的第一门公共基础课，它为后续课程的学习提供必要的数学基础，对培养学生的逻辑思维和数学素养具有重要意义。高等数学是几乎所有专业大一新生的必修课程，影响范围非常广，影响力非常强，是大一新生刚入学就要接触的重要课程，因此，在高等数学教学中培养和激发学生的创新能力尤为重要。

二、高等数学教学中培养学生创新能力的方法

（一）引导学生自己推导定义或定理

高等数学是一门基础课程，很多模块的知识点理论框架非常严谨。传统的教学法是“灌输式”的教师单一输出，教师从定义开始，一口气讲到定理的证明，再讲解法，再结合例子做计算或者证明[6]。这种“填鸭式”的教学非常0DxKKhVqVodLlUsYAJPw3RagBz+cbrqWyfm1vvLLWpE=不利于学生主动思考，就算学生被动记住了若干定义或定理，也没有深入理解知识点的来龙去脉和形成知识体系。学生往往不敢想象自己能推导出看似深不可测的定义或定理，但是如果能在教师的引导下经过尝试后推导出定义或定理，其自信心会大大增强，学习高等数学的兴趣也会被激发。虽然只是小小的一次尝试，但是这非常有助于对学生创新能力的培养。

现行的高等数学主流教材中，学生的学习一般是从极限的定义开始的。这对还停留在高中学习习惯阶段的大一新生来说是一个非常大的挑战，因为之前他们很少接触如此抽象的定义。极限的定义有25种（包括数列极限和函数极限），定义较多，而且由于课时的限制，教师无法对所有定义都展开细讲。这就导致部分学生因为不能很好地掌握这些知识点而降低了对学习的热情，甚至怀疑自己的学习能力。以下以极限定义的讲授方法为例（见图1），介绍如何引导学生自己推导定义或定理。

在教学中，教师要先精讲数列极限[limn→∞xn=a]的定义和性质，因为这是学生接触的第一个定义，而且是后面所有极限定义的基础。紧接着讲函数极限定义的第一种[limx→+∞f（x）=A]，因为这种函数极限定义和数列极限定义是最接近的。教师可以引导学生在已经学过的数列极限定义的基础上，推导得出函数极限[limx→+∞f（x）=A]的定义。这虽然是简单的一个推导，但已经从数列极限成功过渡到了函数极限，学会推导是学生创新能力培养的第一步。

随后，教师可以让学生自己尝试写出函数极限[limx→-∞f（x）=A]和[limx→∞f（x）=A]的定义，由于已学习过定义推导，因此学生是可以自己写出以上定义的。学生会发现经过自己思考得出的知识印象很深刻，而且也不再那么枯燥乏味。

教师在讲完自变量趋于无穷大时的函数极限后，开始讲述难点：自变量趋于有限值时的函数极限。这个内容需要学生具有一定的创新思维。教师要启发学生把前面定义[limx→+∞f（x）=A]中的[x]变更为刻画[x]和[x0]接近程度的指标[δ]，从而完成最难的函数极限定义[limx→x0f（x）=A]。这个教学内容就是在前面推导能力培养的基础上，对学生创新能力的启发和培养。

完成函数极限[limx→x0f（x）=A]的定义后，教师就可以较为轻松地引导学生推导出两个单侧极限[limx→x0+f（x）=A]和[limx→x0-f（x）=A]了。这样就完成了推广[→]创新[→]推广的完整思维训练。这种引导式的讲授方法更容易让学生参与课堂教学，而且学生对知识的理解和掌握会更加牢固。

（二）启发学生一题多解

高等数学是一门非常重要的基础课程，它给很多专业基础课奠定了数学基础和数学思维模式，同时也是全国硕士研究生统一招生考试中的必考科目。很多优秀学生大一刚入学就开始为考研打基础，在掌握了课堂基础知识之后，自己探索综合性更强、难度更大的题目。众所周知，数学是做出来的，做题对学生掌握高等数学的内容尤为重要。

在训练学生做题时，也可以对学生进行创新能力的启发和培养，那就是鼓励有能力的学生进行一题多解的尝试和训练。高等数学中很多题目都可以有多种解法。训练学生一题多解，既可以培养学生的发散思维，让学生尝试多角度解决问题；也可以让学生打破章节的界限，把知识点梳理得更加系统；还可以培养学生勇于尝试、不怕失败的精神；更重要的是可以鼓励学生迈出创新的第一步，而不是只会照搬公式。

本文以一个三重积分的题目为例来说明一题多解的巧妙使用。

例：计算[I=Ω（x2+y2）dxdydz]，其中Ω是锥面[x2+y2=z2]与平面[z=a（a>0）] 所围的立体。

解法一：球坐标变换

[I=Ω（x2+y2）dxdydz=][02πdθ0π4dϕ0acosϕr4sin3ϕdr ][=2π0π4sin3ϕ·]

[15a5cos5ϕ-0dϕ=π10a5]。

解法二：柱坐标变换

[I=Ω（x2+y2）dxdydz][ =02πdθ0ardrrar2dz=][2π0ar3（a-r）dr ][=2πa⋅a44-a55][ =π10a5。]

类似的例子可以找到很多，锻炼学生进行一题多解，是培养学生独立思考能力、创新能力的重要途径。

（三）指导学生用高等数学的方法解决本专业的问题

高等数学普遍开设于大学一年级，是几乎所有专业的必修课程。教师在授课过程中，如果能够针对学生的不同专业，将高等数学中的知识点与专业有关的前沿科技成果结合，会有很多方面的益处[7-8]。首先能够让学生了解到数学的基础作用和支撑作用，让学生认识到高等数学这门课是真正有用的课程；其次可以让学有余力的学生有进一步扩展学习的空间；更重要的是可以在解决本专业问题的过程中锻炼学生的创新能力。

数学基础课程与不同专业的交叉融合也是近年教学改革和研究的热点。针对不同专业的学生，任课教师要发挥自己的科研特长，了解学生所学专业的前沿问题，找到其与高等数学的契合点。在教学过程中，给学生布置任务，将任务转化为学生能够理解的数学模型或简单的应用问题。学生可以自由组合，以小组的方式来完成任务，任务完成的过程中会涉及背景的调研、文献资料的查阅、相关知识的学习、数学方法的融入等，每一个环节都是对学生创新能力、团队合作能力、解决问题能力的锻炼。下面是体现学生解决问题过程的一个很好的例子。

问题的提出：结合福岛核电站排污事件，思考传统的核废料处理的安全性。传统核废料的处理方法是将装有核废料的金属圆桶投入选定海底，专家表示金属圆筒是密闭的，核废料不会发生泄漏，但是圆桶是否会因与海底碰撞而发生破裂？经过大量的实验后发现圆桶下沉的速度超过每秒12.2米时，圆桶会因碰撞而破裂。由此得出需解决的问题——圆桶到达海底时的速度到底是多少？会因为碰撞而破裂吗？

问题的解决过程：设圆桶的重量为W，海水的浮力为B，圆桶的体积为V，则圆桶下沉时的阻力D=[k⋅v]， 其中k为阻力常数，[v]是下沉的速度。由牛顿第二定律可以建立一个二阶微分方程的初值问题，即

[md2ydt2=W-B-k⋅dydt， y（0）=0， dydtt=0=0。]

判断方程类别，可视为[y=f（x，y）]或者[y=f（y，y）]，依照两种模型分别求解问题的解为

[v（t）=W-Bk1-e-kmt] 或者[ym=-1kv-W-Bk2⋅]

[lnW-B-kvW-B]。

这两个解都含有未知参数，比如解1中含有未知的时间参数，解2中含有未知的速度参数。因此，如需寻找数值解答，可通过牛顿迭代法求出其数值解[v≈13.64 m/s]。因为13.64>12.2，圆桶下沉的速度超过了每秒12.2米，所以圆桶会因碰撞而破裂。

问题的结论：核废料装入金属圆桶沉入海底的处理方法不安全，不可取。

（四）鼓励学生自己编写程序或绘制图形

在高等数学学习的过程中，数形结合法是一个非常重要的教学方法。高等数学几乎所有章节都可以结合图形展开教学，这样可以让学生更好地理解问题，从而解决问题。尤其是在“定积分的应用”“空间解析几何”“方向导数和梯度”“重积分”“线面积分”这些章节中，会用到大量的图形。

教师可以鼓励学生自己编写程序或者学习使用一些绘图软件、数学计算软件等来绘制图形。在这个过程中，激发学生的好奇心、探究欲，培养其创造能力。看着通过自己的努力绘制出来的图形，学生会非常有成就感，学习的热情也会被大大地激发。学生的优秀作品可以作为教师上课展示的素材，这样还可以丰富教师的图形库；同时，在课堂展示学生的优秀作品，可以激发学生的竞争意识和再创造意识。可以说，鼓励学生自己画图，能够达到一举多得的效果。

（五）科研促进教学，培养学生创新意识

实施大学生科研训练计划是构建与研究型大学相适应的本科人才培养体系的关键措施。科研训练计划与专业课程教学有机结合是促进学生创新能力和综合素质提高，推动研究型大学本科教学改革的有效途径。教师可以将自己的部分科研问题引入高等数学课堂，并结合数学建模创新实践课程，以及各类数学建模竞赛培养学生的创新意识和协作精神，达到使教师科研项目与课程教学内容互融共促的目的。

教师可以通过调研挖掘各专业对数学知识的需求，研制出一系列具有专业特色的应用型教学案例，将科学问题与工程问题引入高等数学教学课堂，将科研方法与数学建模思想融入课程教学。例如，由国产大飞机C919工作原理引出二阶微分方程的解的结构，由斐波那契数列诠释单调有界原理。这种科研项目促进教学的实践，可以有效补充高等数学课程的教学内容，极大地增强学生的创新意识。

再比如讲解梯度和方向导数时，可以介绍梯度在神经网络中的应用。神经网络的运行依赖于梯度下降法和反向传播算法。梯度下降法是最基本的求最小值的优化算法，反向传播算法使得人工智能被广泛应用。这两类算法组合构成了BP神经网络，使深度网络能够从数据中学习，赋予它们分类图像、识别语音、翻译语言、理解无人驾驶路况以及完成大量其他任务的能力。梯度下降法是一种可以使得误差逆向传播，将全局误差收敛到极小值从而训练BP神经网络的训练方法，采用计算梯度的方式来一步步逼近误差极小值。

总之，在教学中，教师应该注重信息技术与工程数学的深度融合，进一步从教师团队的科研工作中凝练适合高等数学课堂的典型问题，通过引导学生参加数学建模竞赛或科技小论文竞赛的方式培养学生的创新意识和协作精神，做到“教师科研项目—课程思政案例—创新教学竞赛—科技论文竞赛”的互融共促，有效提升教师的教学水平和学生的学习质量，同时也能培养学生的创新能力。

三、结语

大学生是一个民族的希望，大学生的创新能力是一个民族崛起的寄托，培养当代大学生的创新能力，在当今这个竞争激烈、变化多端的世界里，显得尤为重要。

高等数学的学习不只是学习一个个定理，而是培养学生用数学思维去解决实际问题的能力。学生通过学习案例，学会如何建模，如何求解，如何舍弃次要因素、找到主要因素。由于高等数学课程的受众较广，在高等数学教学中培养学生的创新能力更加迫切和关键。

笔者结合多年的一线教学经验，深入探讨了在高等数学教学中培养学生创新能力的方法，提出了五个有效培养学生创新能力的途径：引导学生自己推导定义或定理；启发学生一题多解；指导学生用高等数学的方法解决本专业的问题；鼓励学生自己编写程序或绘制图形；科研促进教学，培养学生的创新意识。笔者对这五个方法进行了详细的阐述，并列举了具体的案例。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 刘炎，张学奇.大学数学教学中加强学生创新能力培养的研究[J].当代教育理论与实践，2018，10（2）：27-30.

[2] 张敏.高等数学教学培养学生创新能力的探索[J].吉林广播电视大学学报，2020（7）：133-135.

[3] 王立冬，张春福，陈东海，等.高等数学教学中创新思维培养：问题与对策[J]. 数学教育学报，2019，28（4）：81-84.

[4] 郑连存，朱婧，司新辉.高等数学教学中如何培养学生创新能力的实践[J].大学数学，2014，30（S1）：42-47.

[5] 杨人子，王静.基于创新型人才培养的高等数学教学探讨[J].大学教育，2014（13）：157-158.

[6] 许春根，杨孝平，赵培标，等.加强高等数学课程建设 提高人才培养质量[J].中国大学教学，2009（4）：43-45.

[7] 朱红旗，华洁.高等数学“课程思政”的创新教学[J].淮南师范学院学报，2020，22（6）：139-142.

[8] 梅强.以点引线以线带面：高校两类全覆盖课程思政探索与实践［J］.中国大学教学，2018（9）：20-22.

［责任编辑：苏祎颖］