问题解读多解探索，方法总结应用拓展

［摘 要］ 多解探索是高中数学常用的教学方式，即引导学生从不同视角审视问题，探索解法，构建思路. 教学中需要注意考点分析、过程引导、方法总结，并适度拓展. 文章以一道圆锥曲线问题为例，开展多解探索，并提一提教学建议，谈一谈思考.

［关键词］ 圆锥曲线；多解；点差法；韦达定理

问题综述

解题教学探究是提升学生解析问题能力的重要方式，教学中需要注意两点：一是总结概括类型题的解法思路，实现“解一题，通类题”的效果；二是从不同视角，使用不同方法来探索多解问题.

在问题选取上，教师要慎重考虑. 问题选取不宜过难过偏，否则不仅对备考没有帮助，还会打击学生的学习信心. 问题选取建议围绕高考考点实施，可选取高考真题或模拟考题，也可选取教材中的经典例题或习题.

在问题探究中，建议教师分环节开展：环节1，引导学生分析问题，定位考点；环节2，过程引导，多维视角探究；环节3：解法探索，总结方法策略；环节4，教学探索，应用拓展.

问题解读

问题 已知直线l与椭圆+=1在第一象限相交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且MA=NB，MN=2，则l的方程为______.

解读 本题以直线与椭圆相交为背景设定条件，求解直线l的方程. 本题的核心条件有两个：一是线段相等（MA=NB），二是线段的长（MN=2）. 教学中需要指导学生慎重处理这两个核心条件，转化或提取关键信息. 本题涉及直线、椭圆、点之间的位置关系，但没有给定图象，属于复合型圆锥曲线问题，建议教学时先指导学生绘制相应的图象，再从不同视角加以解读分析.

根据题干条件可知，椭圆的焦点在x轴上，直线l与椭圆在第一象限相交于点A，B，同时直线l与x轴、y轴分别相交于点M，N. 若设AB的中点为E，则可据此绘制如图1所示的图象.

对于本题，可将其归为直线与椭圆相交的弦长问题，解析两者的关系是重点. 教学中可以引导学生采用如下两种方法破解：一是点差法；二是常规的联立方程法.

多解探索

指导学生对问题进行多解探索，可以设置多个教学环节：环节1，指导学生从不同视角审视问题，探索解法；环节2，构建解题过程，呈现具体过程；环节3，解后反思，深度分析解法. 下面从两大视角探索问题解法，构建解题策略.

解法1：弦中点解析，点差法破解

引导学生审视直线l与椭圆的相交情形，从弦中点视角看待问题，可知AB是直线l与椭圆的相交弦，点E为其中点，则问题可归为弦中点问题，因此采用点差法破解.

总体上分为两个阶段：第一，设点A，B的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，简化求解斜率的条件；第二，转化核心条件，求直线的特征参数. 解题教学可采用分步构建策略.

（1）过程构建

解析过程构建分三步，具体如下：

第一步，点差法推导斜率条件.

教学思考

开展问题多解探究，引导学生总结方法策略，是复习备考的重要教学策略. 上文围绕一道圆锥曲线典型问题，从不同视角解析，总结了点差法和联立方程法. 下面结合教学实践谈一谈思考.

1. 审视整合问题，引导充分探究

圆锥曲线知识内容具有两大特性：一是代数特性，涉及直线、曲线的解析式变形转化运算；二是几何特性，即对应的图象具有几何特性. 在探究教学中，要将问题分析、知识内容整合放在首位，引导学生把握问题特征、理清知识考点，然后在此基础上联系教材知识探索解法. 在多解探究教学中，要引导学生明晰解法，选取常用的、熟悉的且具有代表性的解法；要引导学生参与解题探究，互动交流，充分思考，感悟解法，体验解题过程. 在此提出两点建议：一是教师要充分了解学情，根据学生的情况来开展教学指导；二是鼓励学生自主探究，促使学生发现问题特征、探索解题方法.

2. 多解方法总结，适度拓展探索

圆锥曲线作为高中数学的重难点内容，其问题解法并不唯一，从不同视角审视问题可以获得不同的求解思路. 因此，在解题教学中，引导学生探索解法时，教师要注意多解方法的概括总结，包括解法特性、思路构建、解题过程，以及解法的适用范围、常见问题等；引导学生拓展知识时，教师要注意精选问题，开拓学生的解题思维.

总之，采用多解探索的教学方式，在引导学生认清知识、理解问题、掌握解法的同时，通过“再创造”，促进学生解题能力的提升.