在数学教育视角下发展学生的高阶思维

［摘 要］ 数学教育承载着提升学生数学素养，发展学生高阶思维的基本功能.数学教学中发展学生高阶思维的实施路径包含三大阶段、六个环节，研究者以“正弦定理”的教学为例，给出了教学设计、分析及反思，并在实践中检验了该实施路径对指导当下数学教学具有重要的意义和价值.

［关键词］ 数学教学；高阶思维；实施路径；案例实践

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能. 数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察现实世界，会用数学思维思考现实世界，会用数学语言表达现实世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用［1］.

高阶思维是指学生在置身于复杂情境、碰到新问题时，能通过自身主动地联结、重组、批判、创造，解决问题的一种高层次的认知能力. 作为一个公认的事实，数学思维的重要特征是思维的深刻性，数学教育的基本目标就是促进学生思维的发展，在这个意义下，数学教育是发展学生高阶思维的一个极好载体［2］.

问题提出

现有的数学教育主要以实现数学学科目标为主，典型问题有：第一，教学活动的“双主体性”在落实中的片面化，现实中课堂教学行为多关注教师的“教”而忽视学生的“学”，注重知识与方法的传授，忽略学生的体验. 第二，不太关注学习活动的创设，过多关注学生对知识的记忆和复制，或对学习活动的展示流于形式，对学习活动的后续反馈也未充分跟进. 第三，课堂问题、学习任务等设计过多、过碎、过浅，对问题的思维深度要求不高. 问题的设计对学生学习主动性的激发不到位、解决不到位、迁移不到位，使得学生学习沉浸度不够，学习深度也不够. 第四，课堂上例题和练习的负担很重，教师讲解，学生机械模仿比较普遍. 第五，单纯的“一课教学”，整体观念下的数学教学意识比较单薄. 以上现象的发生都促使我们思考如何才能形成更高效的课堂生态.

如何解决

实践中我们发现，学生主动地、全身心地投入学习整个过程，是发展学生高阶思维的前提. 今天我们聚焦在课堂教学中，设置合适的情境，激活学生已有知识和经验，寻找新知识的生长点，让学生经历知识再创造的过程，形成个性化建构. 这样学生才能将所学知识迁移应用到新情境中，在解决新问题的过程中加深理解，强化反思，发展高阶思维.

数学教学中发展学生高阶思维的实施路径包含三大阶段、六个环节（如图1所示）.

数学教育是教与学的辩证统一，教师的主要作用是“引导”，学生的主要活动是“思考”，

实现“引”和“思”的对立统一是发展学生高阶思维中的主要矛盾. 教师在教学设计前先要回答两个问题：教学内容和目标是什么？学生已有的知识结构是什么？这本就是教学设计的必要组成部分. 只有搞清这两点才能在教学中设计出拓展学生思维深度、深化学生数学理解的活动.

第一阶段，提出问题.包括：（1）创设情境，引入课题. 每个人对新鲜事物都有好奇心，在现实情境或数学情境中通过发现问题、提出问题激发学生的好奇心是学习起点. 创设这个环节的目的是启动学生思考，提出的问题要指向明确，注重适度性、典型性和有效性，有吸引力，能激发学生的学习兴趣，有利于后续开展探究. （2）检索旧知，探究新知. 提出问题后，学生首先会调用已有的数学知识和方法来解决问题，当然会遇到困境，这时就需要探索认知图式以外的数学知识，通过分析、观察、猜测、类比、归纳、推理等一系列的方法发现数学知识，实现低阶的数学学习.

第二阶段，解决问题. 包括：（3）理解辨析，把握本质. 学生发生高阶思维的主要特征是对发现的数学知识的理解和对本质的把握. 教师用启发性、探索性、层进性问题去引发、驱动学生自觉思考. 一般地，教师可以问“能得到什么”“怎样得出来的”“为什么要这样做”等. 将新的数学知识与学生原有的认知图式联系起来，逐步内化. 这个环节可以师生、生生之间的互动，以及与课本之间的互动等形式进行. （4）例题讲解，巩固新知. 在这个环节中，学生能够初步运用新的数学知识解决问题，但很可能是片面的、不完整的，需要不断修正自己的理解. 这个阶段教师示范，学生模仿，能够帮助学生获得新的体验，在整个学习过程中有着承上启下的作用.

第三阶段，总结迁移. 包括：（5）批判质疑，凝练升华. 依靠例题示范与模仿，使学生获得进入高阶思维的“入场券”，从而形成对新知识的理解和批判、联系和建构. 学生主动总结凝练是十分必要的，在自己的脑海中重组新旧知识的网络结构，通过反例、图表等方式把本质属性和非本质属性加以区分，提升思维层次. （6）能力拓展，知识迁移. 学生发生高阶思维的重要表现是对知识的迁移和应用.学生能够在新情境中主动连接与重组知识，创造性地解决问题，并在此过程中深度思考，甚至进一步提出高质量的新问题，使得学习有新起点，如此循环往复，螺旋上升，拓展能力的边界［3］.

随着高阶思维的发展，学生可以进一步加工新对象和自身已知图式，通过顺应、同化，构建关于数学对象更复杂的“新图式”，作为后继学习中新知识的“生长点”. 同时，在学习过程中联系、批判、应用、体验，助力学生从数学学习中获得超越具体知识和技能层面的东西，收获一般化的思维策略，提升思维品质.

案例实践

环节1 创设情境，引入课题.

问题1 某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B. 某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现了火情. 在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情发生在北偏西60°方向. 已知B在A的正东方向10千米处，试求火场C与观测点A和B之间的距离.

师：上述情境中，包含了怎样的数学问题？

生1：在△ABC中，已知A=130°，B=30°，c=10千米，求b与a.

从实际情境出发，引导学生将实际问题转化为数学问题.通过提问，促使学生体会正弦定理源于生产、生活实际，并与现实世界有着密切联系，激发学生的学习兴趣.

师：三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，其中后两类我们统称为斜三角形. 今后若不特殊说明，△ABC的三个角分别记作A，B，C，它们的对边分别记作a，b，c. 在三角形的三个角和三条边这六个元素中，已知三个元素（至少一个为边），求另外三个元素，称为解三角形. 在初中我们通过锐角三角比，完成了解直角三角形的学习，但在解决实际问题时，往往还会遇到不少解斜三角形的问题.

从解三角形的角度，提出研究三角形边角关系的问题是本单元的学习主题，为后续学习余弦定理，以及解决简单的三角形的应用问题奠基.

环节2 检索旧知，探究新知.

师：三角形中的边角关系有哪些？

生2：三角形中的边角关系有大边对大角、大角对大边、勾股定理等.

师：你能用这些知识解决生1提出的问题吗？请分组讨论解决方法，各组派代表发言.

生3：过点A作AE垂直BC于E，则由锐角三角比bsinC=AE=csinB，得b=，将已知数据代入即可得b.

上述问题依次递进，第一个问题问的是三角形中的边角关系，能调动学生的知识储备；第二个问题引出本节课“已知‘两角一边’解三角形”的学习内容. 通过小组合作的形式引导学生进行有效交流与表达，并相互启发.

接下来不同小组学生对求a的回答出现了两种情况：

生3：分别在Rt△AEB和Rt△AEC中，求得CE和BE，相加即可得a.

师：能够用求b的方法来求a吗？

由于已经构造了两个直角三角形，因此生3的解法是一种非常自然的选择. 但是运用这种解法，并不利于后续抽象出正弦定理这一算法结构. 教师在这里适时点拨，有意识引导，有利于正弦定理这一算法结构的形成.

生4：类似地过点B作BF垂直CA的延长线于F，则asinC=BF=csin（π-A）=csinA，从而a=，将已知数据代入即可得a.

（在分组活动中，某小组把三角形放在平面直角坐标系内统一处理，这将在环节5中进行阐述.）

环节3 理解辨析，把握本质.

问题2 两个小组解决问题的基本思想方法分别是转化为两个直角三角形和通过锐角三角比求另外两条边.如果我们把上述问题的条件略作修改为A=135°，B=35°，c=10千米，那么b=______千米，a=______千米.

生齐声答：类似前面的方法，作两条高求解……

师：是否有更便捷的方法？

通过追问，引发学生大胆思考，引出学生主动抽象问题本质的高阶思维：学生在这个过程中品味出“作高”仅是解决上述问题的一种表象，这个问题的本质是通过一条高的两次计算，获得三角形中对边和对角的关系.

生5：直接利用前面得到的两个式子b=和a=，将相关数据代入即可得a和b.

实际上生5回答得很好，他已经意识到，“高”不是本质，而边角关系才是. 这里教师通过追问，让他把这个体验传递给班里所有的同学，也为后续的严格证明埋下了伏笔.

师：上述两个问题的三角形不是同一个，为什么可以用前面的结论呢？

生5：两个问题的解答过程是类似的，前面得到等式的过程完全可以相同地重复一次.

师：实际上，第一个问题（问题1）的解答过程已经说明了对一切钝角三角形均有b=和a=成立.

师：那么对锐角三角形或直角三角形，这个结论还成立吗？

有了解钝角三角形的经验，求证其余两类三角形中结论是否成立是水到渠成的事情. 在这个过程中，学生感受到解决复杂问题的基本思想——分类讨论.

生6：对于直角三角形……对于锐角三角形……

师：结合生6的回答，一起梳理上述两个等式的证明过程. 至此我们得到：对于一切三角形，均有b=和a=成立.

师：以后遇到类似的解三角形问题，我们都可以利用上述两个等式快速求解. 能否通过代数变形将这两个等式变得更“美观”一点，更容易记忆一点？

引导学生自我建构新知识，并在已有的认知图式中开辟出一个“新空间”存放正弦定理.

生7：可以变为=和=.

师：能再简化一下吗？

生7：==.

至此，正弦定理完全露出了真容，学生也经历了知识的“再发现”，思想的“再体验”，整个过程围绕着探究三角形的边角关系这个主题，并连接和重组新的数学知识与原有的关于三角形的认知图式.

问题3 在△ABC中，已知A∶B∶C=4∶1∶1，则a∶b∶c=_______.

生8：因为A+B+C=π，A∶B∶C=4∶1∶1，所以A=π，B=，C=.由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，所以a∶b∶c=∶1∶1.

正弦定理是“大角对大边”这一几何性质的定量刻画，通过一个简单问题，明确公式所阐述的事实本质.

环节4 例题讲解，巩固新知.

师：利用我们掌握的方法来解决引例所包含的数学问题.

例1 在△ABC中，已知A=130°，B=30°，c=10 km，求a与b. （结果精确到0.1 km）

利用正弦定理来解三角形，教师示范，学生模仿，规范学生的解题步骤，同时引导学生体会正弦定理在算法上的便捷性.

师：在三角形中边a与对角A的正弦之比为定值，当a和A固定时，此三角形的形状不能固定，此时点A的运动轨迹为一段圆弧，可知此三角形的外接圆的大小是确定的. 利用我们掌握的知识，小组讨论例2.

例2 已知圆O是△ABC的外接圆，半径为R，试用R与A，B，C的正弦来表示△ABC三边的长.

主要介绍正弦定理的几何意义.本例对圆的基础知识有一定的要求，所以题目给出了三角形的外接圆这一背景，就学生的探究体验而言，更贴近学生的思维活动.

环节5 批判质疑，凝练升华.

师：在前面的分组活动中，有个小组把三角形放在平面直角坐标系内统一处理，我们来听一听他们是怎么做的.

生9：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，可得C（bcosA，bsinA），B（c，0），所以△ABC的面积S=bcsinA. 同理S=acsinB，S=·absinC……

学生通过建立平面直角坐标系，把三角形顶点的坐标和三角形中的不变量联系起来，是非常不容易的，体现了学生迁移应用知识的能力. 这里教师不妨提出疑问：这样处理为什么不用像其他小组一样分类讨论呢？这个问题能够深化学生对任意角三角比的定义的理解.

师：这节课，我们学习了什么知识？有哪些收获？

生10：本节课我们学习了正弦定理===2R（2R是△ABC外接圆的直径）；△ABC的面积S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB.

学生的关注点仅仅落在本节课的知识或方法层面上，教师还要引领学生感悟思想方法，如本节课涉及的分类讨论、从特殊到一般等思想方法，这样就能够帮助学生加深知识的记忆与理解，内化知识结构，从而发展学生的高阶思维.

环节6 能力拓展，知识迁移.

作业布置：

作业1：上教社（2020）数学必修第二册教材P48习题中的6.3A组第1题、第7题，B组第1题、第9（1）题.

作业2：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A=30°，c=8，a分别取4，10，3，4时，求C. （结果精确到0.1度）

作业3：绘制本节课的思维导图.

作业是对所学知识的巩固与检验，一方面是对本节课所学内容的回顾，另一方面检测本节课的教学目标是否达成. 作业2通过取a在动态变化中的几个具体值，引导学生经历从特殊到一般的过程，理解正弦定理反映的是三角形的性质，却未必能唯一确定三角形. 作业3用思维导图将本节课的知识结构“显性化”，引导学生体验相应数学知识、数学思想的内涵及其联系，为后续迁移到边与角的余弦之间的关系的探究做铺垫. 丰富的课后学习资源，对发展学生的高阶思维非常重要.

实践反思

第一，课堂应多关注从特殊到一般，再从一般到特殊这一认识事物的过程，这符合人类认知客观世界的规律，更有助于学生发展高阶思维.本节课从两个具体问题抽象出正弦定理，再回到具体问题，在这个过程中教师就像一名“导游”，带领着学生体验了一次数学抽象之“美”.

第二，课堂关注思维冲突的设计，小组交流、经验分享、自我评价、相互评价等，都是激发学生进行深度思考的好手段. 本节课中的小组讨论、代表发言、开放式环境，能更好地促进“做、学、教”的统一.

第三，重视概念教学，关注知识的发生、发展过程. 正弦定理的实质是对解斜三角形方法的一种提炼，就实际情境而言，我们完全可以构造几个直角三角形来解决问题. 本节课让学生体验到类似“两角一边”的问题，都可以用类似的方法求解，展现了正弦定理的发生过程，对知识的记忆、理解和内化都大有裨益.

第四，注重火热的思考过程与冰冷的数学符号之间的关系. 本节课中证明正弦定理的几何法，学生有所感知，他们能够参与进来，然后通过自己审美，将其表述为极具数学简洁美和对称美的正弦定理，这就很有成就感.

第五，学生发展高阶思维，反思与总结是必不可少的，这是一个自我消化的过程，在此基础上才有可能进行知识迁移和应用. 当然这个消化过程未必能在一节课上完成，但可以在大单元教学中逐步完成. 事实上，本节课中证明正弦定理的坐标法，就是对任意角三角比的定义的应用，使学生经过一次次体验，逐步加深对任意角三角比的认知.

总的来说，数学教学中建构发展学生高阶思维的实施路径，目的是改变现有教学模式中的一些弊端，对培养学生的数学学科核心素养，提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，都有重要的意义和价值.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 马淑风，杨向东. 什么才是高阶思维？——以“新旧知识关系建立”为核心的高阶思维概念框架［J］. 华东师范大学学报（教育科学版），2022，40（11）：58-68.

［3］ 傅海伦，刘亚男，张晓芸. 数学深度学习模型构建及案例分析［J］. 数学教学研究，2023，42（02）：2-5.