指向深度学习的单元教学活动设计

［摘 要］ 单元教学能促进学生深度学习的发生. 文章以“三角函数”单元教学为例，借助大概念“单位圆”设计系列单元教学活动，帮助学生构建结构化知识体系，持续进阶地发展学生的数学学科核心素养，实现数学的育人价值.

［关键词］ 单元教学活动；大概念；三角函数；单位圆

引言

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（简称新课标）强调重视单元教学，以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实［1］. 单元教学是促进学生深度学习的重要方式，通过大背景、大概念、大思路来进行高观点的结构化管理，能有效提升教师的教学质量和学生的学习能力. 因此，整体把握教学内容，理解数学知识产生和发展的过程，厘清单元逻辑主线，突出单元教学的主干知识和研究路径，促进深度学习的发生是一线教师亟待解决的问题.

基于深度学习的单元教学大概念提取

“大概念”能反映学科的本质，居于学科的中心地位，是具有较为广泛的适用性和解释力的原理、思想和方法［2］. 系统化的单元教学设计需要整体规划单元教学任务，以“大概念引领，大任务驱动”的方式设计结构化单元教学活动，在统一背景下关联课时教学活动［3］. 单位圆模型在三角函数单元中具有广泛的解释力. 通过单位圆建立本单元的研究框架，构建三角函数的定义，可以直观研究诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等公式等，对于学生理解知识间的联系，探索新问题具有持久的可迁移价值.

本文基于深度学习理论，以三角函数中的“单位圆”为大概念，作为该单元的逻辑主线设计单元教学活动，促进学生在系统化的学习中积累数学活动经验，构建结构化的知识网络，促进深度学习的发生.

以“单位圆”为大概念的单元教学活动设计

为了发挥单位圆的作用，人教A版（2019）教材在引入弧度制时就给出了单位圆的定义，并在后续内容的处理中，始终以单位圆为载体，串联三角函数单元中的知识与活动.

活动1 单位圆视角下弧度制的引入.

如图1所示，两个以点O为圆心，半径分别为r和r的圆，探究圆心角θ与弧长l，l以及半径的关系.

学生探究 由l=r，l=r可知，θ确定时，弧长的确定还需要给定半径；而==是一个随着θ的确定而唯一确定的定值.

教师启发 当半径r=1时，就能用弧长l来表示圆心角θ，实现用实数表示角的大小的目的，为用角作为函数自变量进行研究打下基础.

设计意图 通过单位圆模型体验单位圆的特殊性和代表性，实现实数与角的一一对应，使自变量与因变量的形式得到统一，为定义三角函数埋下伏笔.

活动2 单位圆视角下的三角函数的定义.

观察图2，当角α变化时，探究其终边与单位圆交点的坐标的变化情况.

学生探究 任意角α的终边OP与单位圆的交点P（x，y）是唯一确定的，而且点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数；当角的终边相同时，与单位圆的交点的坐标也相同，对应关系具有“周而复始”的特点.

教师启发 给出三角函数的定义（简称单位圆定义法）：正弦函数、余弦函数和正切函数都是以角α为自变量，以其终边与单位圆的交点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数；单位圆上的点的坐标重复出现，非常直观地体现了三角函数的周期性.

设计意图 回顾三角函数的发展史，任意角的三角函数正是由圆周运动的研究而产生的，历史上曾被称为圆函数.单位圆定义法可以启发学生反思弧度制引入的必要性，也有利于学生在大概念的视角下逐步构建三角函数的知识体系.

活动3 在单位圆中推导诱导公式.

如图3所示，观察角α，π-α的终边与单位圆的交点P，P之间的对称关系，试用角α的三角函数值表示角π-α的三角函数值.

学生探究 由角α，π-α的终边关于y轴对称，可得cos（π-α）=-cosα，sin（π-α）=sinα. 借助GeoGebra软件，从几何直观出发，继续探究角α的三角函数值与π+α，±α，-α的三角函数值之间的关系.

教师启发 这些角的终边在单位圆上的对称关系具有一般性，由这些对称关系得到的等量关系式就是诱导公式.

设计意图 利用单位圆抽象三角函数的定义后，引导学生从单位圆的对称性中得到启示，使用数形结合方法推导诱导公式，从而发展学生的数学抽象、直观想象等数学学科核心素养；引导学生逐步熟悉三角函数的单位圆定义，明确研究路径，有助于学生在后续学习中利用单位圆推导三角函数的其他公式，促进深度学习的发生.

活动4 单位圆定义法的应用一：画出正弦函数的图象并研究其性质.

利用计算机软件，在坐标轴上标注点（x，sinx），画出三角函数的精确图象，研究三角函数的性质.

学生探究 设角x的终边与单位圆的交点为P（cosx，sinx）. 用软件Geo-Gebra绘制动点D（x，sinx）；当点P在单位圆上旋转运动时，对点D（x，sinx）开启跟踪，得到点D的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象（如图4所示）. 点P的纵坐标按照0→1→0→-1→0…的规律连续且周而复始地变化，根据诱导公式得到正弦函数在定义域R上的完整图象（图象关于原点对称）. 观察正弦函数的单调性、最值，并记录下来（见表1）.

教师启发 借助单位圆和信息技术研究正弦函数的图象与性质，体现了数形结合思想方法. 你能依据这个研究路径，类比得到余弦函数、正切函数的图象与性质吗？

设计意图 通过单位圆标注点的坐标，把正弦函数的图象与性质的研究归结为点的纵坐标与旋转角x之间的对应关系的探讨，这是一个一般函数概念指导下的探究活动，用以加深学生对单位圆视角下的弧度制、三角函数一般定义的认识；类比正弦函数的研究路径，确立研究三角函数的图象与性质的基本框架，让学生在迁移学习中积累基本活动经验，发展数学学科核心素养.

活动5 单位圆定义法的应用二：推导两角和与差的正弦、余弦公式.

在单位圆中点A，B，C，D的坐标如图5所示，探究三角形中的等量关系，以及cos（α-β）与角α，β的正弦函数值、余弦函数值之间的关系.

学生探究 由单位圆的对称性可证△BOC与△DOA全等，则DA=BC，根据两点间的距离公式可得两角差的余弦公式；再分别用-β，±β代替β，推导出其他三组公式（两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角和的正弦公式）.

教师启发 两角和与差的正弦、余弦公式随着三角学的诞生而诞生，有着悠久的历史. 在众多推导和证明方法中，美国数学家麦克肖恩使用的方法更加直观和简便：利用线段或坐标直观表示α-β的三角函数，再借助平面几何中的全等三角形的性质，抓住变化中不变的量构建方程，然后用函数代换思想推导出上述公式［4］.

教师追问 利用单位圆和上述思想方法，你能证明以下等式吗？

（1）（sinα+sinβ）=sin·cos；

（2）（cosα+cosβ）=cos·cos.

设计意图 两角和与差的正弦、余弦公式是推导其他三角函数公式的起点，其本质是借助单位圆以坐标的形式将三角函数写出来，体现了几何直观与代数运算的特点，凸显在变化中寻找恒等关系的数学思想方法.教师的追问，既是对单位圆大概念的深化，又是对学生素养提升的考查. 数学史的引入，让学生感受数学家细致严谨的精神品格和在专业领域的责任担当，这也是对深度学习理念的体现和落实.

单元教学活动设计反思

在单元教学中，教师借助大概念进行整体单元活动设计，能帮助学生完善知识体系，促进深度学习的发生，落实数学学科核心素养（见图6）. 同时教师也要开展反思，不断提升单元教学活动设计能力.

首先，单元教学活动设计要注重教学内容的系统性与研究思路的一致性.学生学习学科的基本结构，以“联想与结构”的方式去理解，是深度学习发生的重要特征［5］. 新课标加强了函数主题与三角函数内容的整体性，把“三角恒等变换”纳入“三角函数”中. 教材按照“事实背景—角与弧度—数学对象—图象与性质—三角恒等变换—事实应用”的结构展开教学. 因此，三角函数的单元活动设计，要特别注重体现函数的一般研究思路，强调任意角和三角函数值的对应关系，并以单位圆的几何直观为认知逻辑链，将三角恒等变换与三角函数有机融合起来.

其次，单元教学活动设计要促进学生数学学科核心素养连续性和进阶性的发展. “活动与体验”是深度学习的特征之一，即让学生典型地、简约地经历结构性的关键过程与关键内容，促进学生自觉成长［5］. 在活动2中，需要学生把握住角α与x，y的几何元素之间的对应关系，突破以往对基本初等函数的“代数运算”的认识，体会引入弧度制的必要性，发展数学建模、直观想象等素养；活动3、活动4是对单位圆定义的迁移应用，需要学生抓住“本质与变式”，注意问题的提出与解决，归纳思想方法，进一步发展数学抽象素养；活动5则体现了数学结合思想的应用. 由两角和与差的正弦、余弦公式推导出二倍角公式，以及和差化积、积化和差等一系列三角函数公式，让学生充分体验化归思想，构建完整的知识体系. 单元教学下的每一个活动设计都应具有进阶性，从而促进学生的数学学科核心素养进阶发展，促使深度学习的发生.

最后，单元教学活动设计要关注持续性的教学评价，全面实现数学的育人价值. 深度学习将教学的“价值与评价”自觉化、明细化，帮助学生形成正确的价值观，形成有助于学生自觉发展的核心素养［5］. 在单元活动的全过程中，教师始终要以学生为活动的主体，引导学生独立思考、交流分享，并在探究中及时给予激励性的评价，持续激发学生的数学探究热情. 教师可以在课堂观察、师生活动、小组互评等活动中，设置评价标准，记录学生的学习过程，展示数学学科核心素养的发展过程. 例如，在活动4中，需要学生通过类比归纳，推导余弦、正切函数的图象与性质，教师引导学生交流展示、探讨互评，将学生的知识构建过程外显化，有利于形成你追我赶的良性学习竞争，树立正确的数学学习观和价值观.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 顿继安，何彩霞. 大概念统摄下的单元教学设计［J］. 基础教育课程，2019（18）：6-11.

［3］ 刘琦琦，吴立宝，宋书宁. 指向深度学习的单元教学设计——以“抛物线及其标准方程”为例［J］. 中国数学教育，2022（24）：38-44.

［4］ 蔡真逸. HPM视角下借助圆串起的三角函数单元教学［J］. 上海中学数学，2022（Z2）：17-20+45.

［5］ 刘月霞，郭华. 深度学习：走向核心素养［M］. 北京：教育科学出版社，2018.