关于“距离的计算”章节知识内容的教学指导与思考

［摘 要］ 教学“距离的计算”章节知识内容时，要注意知识整合，采用活动探究的方式，引导学生经历知识的探究和应用过程，帮助学生掌握程序性解法. 文章就此开展教学探究，提出相应的教学建议.

［关键词］ 距离的计算；教学；活动；应用

“距离的计算”是高中数学的重要章节知识内容，是“空间向量与立体几何”的重要知识内容的组成. 该部分教学需要教师指导学生掌握空间距离的计算方法，强化学生的空间几何观，提升学生的数学素养. 因此，教学中需要整合知识内容，精设教学环节，合理引导学生探究. 下面结合实践展开叙述.

整合内容，策略探究

向量是数学中特殊的“量”，其具有大小和方向，故具有代数与几何双重特性，因此可作为沟通代数与几何的桥梁，用于解决代数与几何问题. 本章节教学中，需要将空间向量作为解析三维空间中图形的位置关系与数量关系的重要工具.

1. 内容整合

教学“距离的计算”章节知识内容时，可将其分为两部分：一是点到直线的距离，以及两平行线间的距离；二是点到平面的距离，以及两平行面间的距离. 学生在学习时已经掌握了空间向量的相关知识，在此基础上深入探索用空间向量解决距离问题的方法.

如图1所示，“空间向量的定义及其运算”“用空间向量表示点、直线、平面等元素”“建立空间图形与空间向量的联系”是探究学习“距离的计算”的三大基础知识，需要指导学生重点掌握.

教学中需要明晰知识间的关系，利用知识网来定位本章节的知识内容. 对于其中的关系网，需要关注两条关系链：一是利用“空间向量的定义及其运算”构建“空间向量运算的几何表示”，从而利用空间向量运算解决空间距离问题；二是利用“空间向量的定义及其运算”构建“空间向量运算的坐标表示”，后续应用该知识解决空间距离问题.

教学中需要明确如下三大任务目标：一是引导学生归纳空间中的四类距离向量表示方法（空间中点到直线的距离、两平行线间的距离、点到平面的距离、两平行面间的距离的向量表示）；二是引导学生利用空间向量解决立体几何距离问题，总结程序性解题方法；三是渗透数学思想，培养学生应用意识.

2. 策略探究

对于“距离的计算”知识内容的教学，建议以问题为导向，驱动课堂探究. 教师要关注学生的思维活动，引导学生探究、合作、交流、思考，鼓励学生质疑、讨论、展示，参与课堂的探究活动，经历知识的生成过程.

具体教学可以采用如图2所示的策略，从“实例”中引申问题，类比“点到直线的距离”来探究“点到平面的距离”. 教学环节中围绕教学核心知识设计小组活动，活动过程中设计师生互动交流，从不同方面探究知识，如一般解题程序的总结、解题策略的外延、典例研究、成果展示等.

活动设计，知识生成

教学环节建议采用活动的方式，引导学生经历探究过程，参与课堂讨论，体验知识生成. 教学过程分为三个环节：环节1，实例引入，初步感知；环节2，自主探究，概念生成；环节3，互动交流，概念深化. 下面按照上述环节设计教学活动，推动课堂教学.

环节1：实例引入，初步感知

该环节需要引导学生从生活中提炼数学问题，从而引出本章节的核心知识内容. 问题设计建议与生活生产相贴近，学生利用已有知识无法解决，从而激发学生的求知欲.

引入问题：数学与生活生产有着密切关系，图3是石油库的建造图，请同学们观察图象，其中有哪些距离是我们熟悉的？对于其中的距离问题，我们是否可以用向量来研究？

教学时可利用与生活贴切的问题来引导学生思考. 上述引入问题涉及学生已掌握的两平行线间的距离，以及不熟悉的点到平面的距离、线到平面的距离等. 探究中注意两点：一是引导学生从中提炼数学模型问题；二是引导学生思考运用所学知识是否可以解决问题.

环节2：自主探究，概念生成

该环节是对问题的向量化，即对几何问题赋予向量意义，建立几何条件与向量运算之间的关系. 对于概念生成，建议引入几何模型，引导学生采用类比方法探究点到平面的距离.

活动探究1 点到直线的距离.

问题1 图4表示用向量法计算点A到直线l的距离，思考为什么要用向量法来计算点到直线的距离.

第三步，提取公式：点P到平面α的距离d=.

完成上述两个探究活动后，引导学生梳理利用空间向量计算点到平面距离的方法步骤：

第一步，确定平面α的法向量n，选择参考向量；

第二步，构建向量在法向量n上的投影向量；

第三步，结合向量数量积公式计算投影向量的长度.

环节3：互动交流，概念深化

环节3需要对概念和程序性解法进行深化，教学中引导学生进行互动交流，观察实例模型，从中体验向量法的优点.

活动1 互动交流.

请学生分享利用向量法计算点到直线的距离、点到平面的距离的感想，以及使用向量法时需要注意哪些要素.

活动2 实例感悟.

请学生观察图6中的图形，然后从不同视角思考：使用向量法有哪些优势？

教学引导 教学中进一步挖掘向量法的本质内涵，同时借用不同的实例模型进行向量法的拓展与外延，让学生思考其他解决点到平面的距离问题的方法，对比感悟向量法的优势点. 教学中注意给学生留足思考空间，让学生分组互动讨论，分享成果，亲身体会.

运用探究，解题指导

“运用探究，解题指导”是“距离的计算”章节知识内容的重要教学环节，该环节教学需要结合实例引导学生分析探究，过程中要注意三点：一是深度分析问题，把握问题特征；二是引导学生思考问题解法；三是解题过程指导，引导学生剖析解法策略.

问题呈现 如图7所示，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E，F分别为上底面ABCD和侧面CDDC的中心，则点C到平面AEF的距离为______.

教学引导 教学中需要引导学生灵活运用程序性解法来求解点C到平面AEF的距离，可分三个阶段进行引导探究. 第一阶段，问题条件分析；第二阶段，过程分步构建；第三阶段，解后反思总结.

第一阶段，问题条件分析.

（1）对于上述问题，可将其归为哪种类型？

（2）上述问题有什么特点？核心条件有几个？应采用怎样的解题方法？

第二阶段，过程分步构建.

先根据特征建立空间直角坐标系，然后利用向量法，按照解题程序步骤求解.

第一步，建立空间直角坐标系.

如图8所示，以点A为原点，AB，AD，AA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，易得A（0，0，0），E（1，1，2），F（1，2，1），C（2，2，0）.

教学引导 教学中引导学生思考如何建立空间直角坐标系更为便捷（从点坐标设定、几何特性等视角进行引导）. 完成空间直角坐标系的建立后，让学生结合线段长自行求解点的空间坐标.

第二步，求解平面的法向量.

设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则n

·=x+y+2z=0，

n

·=x+2y+z=0.令y=-1，可得n=（3，-1，-1）.

教学引导 该步需要引导学生关注两点：一是利用向量数量积构建方程求解平面的法向量；二是理解平面的法向量并不唯一，可以按要求随意设定.

第三步，利用距离公式求解.

结合点到平面的距离的向量公式可知，点C到平面AEF的距离为==.

教学引导 该步是本章节核心知识的体现，需要引导学生灵活运用. 教学中要让学生关注两点：一是公式中每一个要素所代表的含义与几何量；二是求出结果后，慎重思考是否满足题意.

第三阶段，解后反思总结.

问题求解后，引导学生反思过程与方法. 可从三个方面引导学生反思：①对于上述问题，还有其他解法吗？②对于上述向量法，第二步运用了向量的哪些几何性质？③若用向量法求解直线到平面的距离，应如何构建过程？

教学中引导学生深入思考，反思过程与方法，强化解法，拓展应用，掌握该类问题的解法策略. 必要时可以设置拓展性问题，引导学生思考更加深入.

总之，对于“距离的计算”章节知识内容的教学，需要慎重处理三大模块：整合知识内容，确定探究策略；合理设计探究活动，引发知识自然生成；总结问题的程序性解法，综合运用，强化解法. 整个教学环节，充分引导学生参与课堂讨论，让学生在活动中感悟知识、内化知识. 同时注意合理渗透数学思想方法，发展学生的数学学科核心素养.