GeoGebra软件在可视化教学中的应用研究

［摘 要］ 将信息技术合理应用于数学教学领域是时代发展的必然趋势，它可满足可视化教学的需求. 文章从GeoGebra软件、可视化教学、GeoGebra与可视化三个核心主题的界定出发，探讨GeoGebra软件在可视化教学中的应用需遵循信息组块避免冗余效应、多元联系践行深度学习、动态探索激发高阶思维三个原则，并从概念生成、命题发现、问题解决三个方面具体谈一谈GeoGebra软件在可视化教学中的实践.

［关键词］ GeoGebra软件；可视化教学；实施原则

随着信息技术在教育领域的普及，当代数学教学模式与传统数学教学模式相比，发生了翻天覆地的改变，信息技术已广泛应用到课堂教学中. 在学生认知负荷较重的背景下，教师需综合考虑教学内容与教学技术等因素，选择行之有效的教学方式提升教学效率. GeoGebra软件具有代数运算、几何作图与数据处理等作用，为可视化数学教学带来了更多便利.

核心主题界定

1. GeoGebra软件

GeoGebra是一个结合代数、几何、微积分的动态数学软件. 教师可在该软件上直接画点、线段、直线、向量、曲线、多边形或函数图象等，也可通过输入方程和点坐标获得相应图象. GeoGebra软件界面有几何窗口与代数窗口，两者具有对应关系，如改变代数数据，几何图象随之发生改变，反之亦然. 因此，这是一种具备同时处理几何图形与代数数据功能的软件.

2. 可视化教学

1987年美国自然科学基金会提出“可视化（Visualization）”一词，指借助一定的手段处理数据，使之形成可视化的图形或图象展示出来. 可视化教学是指教师借助信息技术手段，如GeoGebra或几何画板等软件的演示功能，将学生难以理解的知识转化成具体的图形或动画，使学生能更好地接受抽象的知识. 这种教学手段省略了很多烦琐冗长的教学过程，有效提高了课堂教学效率.

3. GeoGebra与可视化

俗话说“一图胜千文”. 数学可视化教学可将抽象的数学知识直观地展示在学生面前，帮助学生更好地发现、理解与建构数学知识. GeoGebra软件的介入，使代数方程或坐标与图形同步变化，学生对数学知识的理解更加直观，从真正意义上实现了“数与形”的有机结合. 同时，在GeoGebra软件中输入代数指令可为学生呈现动态的图形演示过程，让学生能更好地洞察数学世界，感知数学的独特魅力.

例如，对于式子++…++=1-的证明，从代数的角度应用等比数列求和法或错位相减法固然可以求证，但若借助GeoGebra软件，通过图形展示（见图1）进行“无字证明”，可让学生从可视化的图形中对该式一目了然，带给学生耳目一新之感.

由此可见，GeoGebra软件是实现可视化教学的重要工具之一，而可视化又是展示GeoGebra软件优势的重要方式，将两者有机地融合在一起对提高数学课堂教学效率具有重要意义.

实施原则

1. 信息组块避免冗余效应

视觉表征以可视化为载体，课堂借助动画影像、图象等直观形式，向学生展示抽象的数学知识，引导学生感知教学内容的丰富和直观，使学生更容易在内心建构形象化的数学信息，为实际应用奠定基础. 因此，视觉表征属于一种富有表现力的展示形式，学生从中能接收到丰富的信息. 值得注意的是，“读图”虽能有效提高学生对问题的理解程度，但过于复杂的图象会带来负面效应，让学生感到视觉疲劳.

究竟该如何降低学生的认知负荷，借助GeoGebra软件提高课堂可视化的教学成效呢？一方面需要关注可视化的效果，如利用曲线的动静结合、构图元素的疏密错落、丰富的色彩等提升学生的视觉感受；另一方面借助GeoGebra软件对可视化内容进行信息组块，借助多元方式调配组合相应的教学内容，提高学生的理解能力.

2. 多元联系践行深度学习

基于数学知识来看，学生在课堂中所接触到的新知相对而言都比较抽象，执意用一种方法描述新知，不同认知水平的学生接受时难免出现偏差，而且单一的描述形式也不能揭露知识本质. 事实上，课堂上单一或不恰当的表达方式也是导致学生出现思维卡壳的关键因素. 为了突破这一障碍，最好的办法就是在课堂上应用丰富的图文等多种形式表达知识内涵，如此不仅能深化学生对知识的理解，还能帮助学生构建完善的知识结构，不断优化学生的解题策略. 然而，表征系统间的转译并非一件容易的事情，若想充分发挥好多元表征在教学中的优势，可利用各种表征间有意义的联系进行，以便系统内化外在的数学符号.

如图2所示，此为祖暅原理的可视化呈现，即用3D绘图区的立体图形展示祖暅原理，让学生从平面的视图中感知数值情况，体会两者间的联系，从真正意义上理解“幂势既同，则积不容异”的内涵，实现深度学习.

3. 动态探索激发高阶思维

多变的几何位置关系，以及代数内容的丰富性导致数形关系复杂化，构建动态联系的视觉化情境，不仅能让学生在知识的动态变化中发现数学规律，还能感知知识的内涵与外延，为灵活应用做铺垫. 事实上，数学表征的动态联系，可将表征信息元素与整体关系精细地展示出来，还能将信息元素的结构关系与交互性暴露出来，促使学生对此产生关注，实现表征系统的互相转译，发展思维的缜密性与跳跃性，这也是高阶思维的形成基础［1］.

研究发现，动态探索需建立在数形结合上，学生通过对数学模型的探索与构建，自主发现解题思路与策略，从图形与数量之间的关系中抽象出数学知识的一般结构与规律，从而在问题解决过程中有效提升数学高阶思维与核心素养.

实施途径

1. 应用在概念生成过程中

概念是数学的基础，是数学思维构成的基石，关注核心概念的教学是发展学生数学思维的重要途径. 每一个数学概念的表达可以有多重方式，各种表征方式可促使学生产生不一样的数学思维. 实践证明，多元表征数学概念有助于学生多角度理解，深化掌握. 将GeoGebra平台灵活应用在概念生成的过程中，不仅与新课标所倡导的“关注过程性教学”理念相契合，还让学生能明确认知概念的形成与发展. 多角度表征概念，能增强学生对概念联系性的理解，在无形中助力学生灵活应用概念来分析与解决一些复杂的数学问题.

案例1 “任意角的三角函数”的教学.

学生在探索任意角的三角函数之前就已经有了一定的认知基础，新知的建构需基于原有认知体系进行. 因此，在课堂的导入阶段可带领学生回顾旧知，为建构新概念做铺垫. 新旧知识衔接的过程就是在知识的生长点处引导学生思考的过程. 值得注意的是，新知的建构需突破原有认知体系引发的思维定式，同时对角的终边上的任意点的联系产生明确认识.

如图3所示，借助GeoGebra软件引导学生基于可视化情境，对锐角三角函数与任意角三角函数的特征产生清晰认识，并从角的动态变化中帮助学生理清如何应用点坐标来定义三角函数，让学生在坐标度量的结论下认同“用点定义却与点的位置无关”的观念，令表征三角函数线的刻画变得更加合乎情理.

本例提示数学概念的形成与建构，学生的思维需要经历“由直观到抽象、由抽象到应用”的变化过程，有时还需要经过循环反复才能实现. 借助GeoGebra软件对概念进行可视化演示，可让概念获得“原型”支持.

2. 应用在命题发现过程中

数学命题是对数学对象关系或性质关系的判断句，其语言结构为“条件—结论”，属于一种以逻辑形式刻画数学对象的基本方法. 若将数学命题安排在其发生与发展的大背景下，不仅可以帮助学生理解知识的来龙去脉，还能让学生对数学思想变迁的原委产生深刻理解，从真正意义上实现“知其然且知其所以然”.

数学命题的教学就是将命题的逻辑意义转化成个体心理意义，概念学习与符号表征是数学命题的前提. “析理以辞，解体用图”均需意象与语言的双重编码来编制网络，构成结构图式，学生从整体的角度有序检索信息，实现对命题理解的融会贯通，此为命题关联性特征的基本体现.

案例2 解题认知图式的构建.

问题：已知椭圆C：+=1（a>b>0）的焦点和短轴的一个端点恰巧构成一个直角三角形，椭圆C与直线l：y=-x+3有且仅有一个公共点T.

（1）求椭圆C的方程，并写出点T的坐标；

（2）若坐标原点为点O，直线l′与OT平行，并与椭圆C分别相交于点A，B，与直线l相交于点P，证明存在常数λ可让AP2=λAP·BP，并求λ的值.

本题为一道综合题，学生初次接触难以入手. 教师借助GeoGebra软件将问题中的动态变化直观地暴露在学生面前，用仿射变换揭露圆的几何性质在圆锥曲线中的推广，通过问题源与流的探索，构建新的命题网（见图4）：①横向的类比推理与纵向的归纳思考，其中类比推理主要是从圆的切割线定理出发，分析圆锥曲线中的定制规律；归纳思考则从椭圆切割线定理和相交弦定理发现定值背后的幂定理，经过整合，归纳出圆锥曲线幂定理；②强、弱抽象，强抽象是指从幂定理到切割线定理的探索，弱抽象是将抛物线幂与椭圆幂中的定向参照弱化为圆锥曲线幂.

此类应用属于难度系数较高的数学探索，如果离开信息技术的辅助，学生很难通过独立思考揭露解题核心，而有图有真相的技术参与，则显著弱化了问题难度，将问题发生、发展的过程完全暴露出来，促使学生自主构建完整的认知图式.

3. 应用在问题解决过程中

学生对知识的理解程度或学习能力的高低均体现在解题过程中，解题还能锤炼学生的思维，发展学生的综合素养. 想要帮助学生更好地掌握问题的数形结构，借助GeoGebra软件研究问题的已知条件与结论之间的因果逻辑关系，探寻层次分明、逻辑清晰、规范表达的支持策略尤为重要.

案例3 问题情境图的构建.

问题：已知△ABC中的AB=6，AC=8，若△ABC的外心为O，则·的值是多少？

如图5所示，借助GeoGebra软件拖动点B，以改变三角形的形状，从数值表征中发现数量积的不变性特点，因而从一般退化至特殊，即为直角三角形时，点O位于BC上，获得结论；若从特殊到一般进行逆向分析，可通过向量分解（=+），实现解题.

该过程在可视性支架的辅助下，实现了“特殊与一般”的双向转化，随着实验数据的输入，学生的思维也豁然开朗. 因此，将GeoGebra软件应用在问题解决过程中，可进一步优化解题思路，发展学生的高阶思维.

总之，可视化教学的开展，使得学生有更多机会经历从具体到抽象的数学演变过程，尤其是GeoGebra软件的应用，既能让学生看见问题背后的数据，又能让学生看透问题所蕴含的内容，这是发展学生“三会”能力的基础，也是发展学生数学学科核心素养的重要途径.

参考文献：

张志勇. 高中数学可视化教学：原则、途径与策略——基于GeoGebra平台［J］. 数学通报，2018（07）.