走出“机械刷题” 走进“深度学习”

[摘 要] “机械刷题”依赖于题型、套路和范式，虽然能够在短期内提升学生的解题能力，但学生的思维受到了固化. “深度学习”有助于提升课堂教学效果与质量，关系到学生思维水平的提升. 在平时教学中，高中数学教师要针对学生数学思维发展需求与数学知识和方法积累需求，引导学生理解数学知识，探究数学方法的本质，提升数学学科核心素养，构建数学知识体系与能力体系. 基于此，研究者结合一道试题的讲评，带领学生走出“机械刷题”，走进“深度学习”.

[关键词] 高中数学;深度学习;理性分析

“机械刷题”是为了强化训练某个知识点、某个解题技巧而大量、重复地做题，有利于学生记忆、运用相关知识，能提升学生的解题速度，提高学生的考试成绩，备受学生、家长，以及部分教师的青睐，由此造成课堂上教师“满堂灌”“一个概念、几项注意、若干例题”，课后学生“练反复，反复练”等现象，导致数学教学以强化“记忆”为核心，轻定义、概念、原理形成的过程，重题型、套路、重范式的归纳和总结. 数学解题在“机械模仿”中度过，简单的“模仿”与“记忆”无法真正掌握知识，以至于“学得快，忘得也快”，长此以往，不仅会固化学生的思维，还会阻碍学生高阶能力的发展，使学生难以应付新高考，无法实现“高能高分”.

“深度学习”要求学生在独立思考、合作交流的过程中掌握核心知识，把握知识本质，厘清知识点的来龙去脉，构建数学知识体系，学会用数学方法提出问题、分析问题和解决问题. 基于“深度学习”构建高中数学解题教学课堂，要根据题目内容合理布置思考任务，科学创设问题情境，利用已有的解题矛盾，激发学生探索更多的解题方法和运算路径. 引导学生主动参与、深度参与解题过程，让学生将自有的认知经验和能力转化为学习的生长点，通过不断理解、应用、批判和反思，对相关数学知识和解题方法进行深度加工和内化迁移，继而提升学生的实践感和体验感，提高学生的解题能力和运算素养.

在解题教学过程中，如果教师评讲习题的方法跟学生解题的方法相同，那么学生会认为自己做对了或者能做对，然后埋头干自己的事，导致教师的解题方法、数学思想、运算素养无法传递给学生，学生的解题水平和数学素养还在原地踏步. 因此，教师在基于“深度学习”构建高中数学课堂时，要重视教学方法的选择，促使学生发挥主体作用，保持良好的学习状态;要重视知识的连续性，引导学生构建知识体系，完善知识结构;要重视从不同切入点引导学生多思考、多反思，引领学生走进“深度学习”，走出“机械刷题”.

题目：（2022—2023学年度苏州期中考试）已知正数x，y满足2x+y=1，若不等式x2-mxy+y≥0恒成立，则实数m的最大值为________.

课前：追根溯源，寻找突破

此题是苏州2022—2023学年度高一数学期中考试的填空题的第3题（下文简称第3题），作为四星级且生源较好的学校，第3题的均分只有2.4146分（满分5分），意味着全校有一半以上的学生做错或放弃，而第3题的背景、知识、结构、关键词及类似题，在课本和平时练习中都涉及较多. 例如人教A版（2019）必修第一册教材的第58页的第5题：若a，b>0，且ab=a+b+3，求ab的取值范围. 第6题：当k取什么值时，一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立？这两题都涉及“双变量”和“恒成立”，是平时教学的重点和难点. 通过相关训练，学生分别采用“减元”和“分离参数”两个不同方法去解决“双变量”和“恒成立”问题，导致学生求解第3题时产生了两个不同方向. 但在每一个方向的操作中，由于学生分析能力和计算能力的欠缺，导致计算比较烦琐，最终无疾告终.

课上：探究本质，提升素养

1. 减元优先，厘清根源

涉及二元的最值问题，若不能直接结合基本不等式解决，则学生容易利用减元的方法，将原问题转化为一元二次函数问题，借助函数图象，探究出不同运算路径，但是教师在评讲过程中，应引导学生采用合理的运算路径，优化运算路径，寻求最适合自己的运算路径.

部分学生减元后利用三个“二次”关系，得到相应的“正确的结果”，但是其过程缺乏严谨性. 过程如下：由2x+y=1得y=1-2x，代入x2-mxy+y≥0，得（2m+1）x2-（m+2）x+1≥0. 利用二次函数的图象可得2m+1>0，

Δ=（m+2）2-4（2m+1）≤0，即m>-

，

0≤m≤4，所以实数m的最大值是4. 此过程看起来比较流畅，部分学生也沉淀在此方法中，此时教师提醒学生要仔细审题，学生通过仔细阅读后发现，上述方法有缺陷，题目中的条件“正数x，y”未用到，没有考虑自变量x实际的取值范围（实际上，由正数x，y及y=1-2x，得0<x<），而是把自变量x的取值范围定为R来解题. 若作为填空题，可以将m=4代入进行验证，得9x2-6x+1≥0，当x=时取等号，也能得分.

2. 化生为熟，巧借图象

如果第3题为解答题，那么问题可转化为：函数f（x）=（2m+1）x2-（m+2）x+1在x∈

0，

上的最小值大于等于零，求m的取值范围. 由于x2前面的系数不定，因此需要先讨论x2前面的系数是否为0. 如果x2前面的系数不为0，那么y=f（x）才是二次函数. 确定y=f（x）是二次函数后，再讨论其图象开口向上和开口向下两种情况，每种情况又要转化为动轴定区间三类问题进行讨论. 综上所述，总共七种情况，且计算还比较烦琐. 但是结合已知可得f（0）=1，f

=，如果y=f（x）是二次函数，那么其图象开口必向上. 结合y=f（x）的图象可知，当其对称轴x=≤0或x=≥时都符合题意，当x=∈0

，时，只需要Δ=（m+2）2-4（2m+1）≤0即可. 因此，借助函数图象可大大减少运算量，达到“以形助数”的效果.

3. 分离参数，合理运算

由于第3题涉及不等式恒成立，因此可以用“分离参数”的方法进行处理. 结合自变量x的取值范围比较小，可知分离参数不需要讨论，由此预判运算量不会太大：由（2m+1）x2-（m+2）x+1≥0得m（x-2x2）≤x2-2x+1，当0<x<时，x-2x2>0，所以m≤恒成立. 此时问题就转化为求函数f（x）=的最小值.

由于的分子和分母都是二次多项式，因此可以通过分离参数降次：==-+. 此时问题转化为求的最小值.

由于的分子是一次多项式，分母是二次多项式，常规手段就是对一次多项式进行换元处理：令t=1-x，则x=（1-t），t∈

，1

，===≥=，当且仅当t=，即x=时取等号. 所以的最小值为4，实数m的最大值为4.

上述运算过程仍然比较烦琐，想要简化它，可引导学生分析的结构，发现的分子是个完全平方式，由此对x-1进行换元，将问题转化为二次函数的最值问题. 分离参数得m≤=，令t=1-x，则x=1-t，t∈

，1（为保证t为正数便于计算，令t=1-x，而没有令t=x-1，更符合学生的运算习惯），===≥4，当且仅当=，t=，即x=时取等号. 所以的最小值为4，实数m的最大值为4.

上述过程先减元，然后分离参数，需要引导学生注意题目中的关键字眼“恒成立”，也可以直接分离参数，培养学生的直观想象能力. 同时提醒学生注意观察式子的结构，通过合理处理，减少运算量.

4. 分参先行，合理减元

由不等式x2-mxy+y≥0恒成立得mxy≤x2+y，由正数x，y得m≤=+. 在此减元，是减“y”还是减“x”，需要带领学生耐心分析：若减“x”，则式子变为+=+ ，式子的分子和分母都需要运算;若减“y”，则式子变为+=+，运算量稍微少一点，运算路径也更合理！

由+=+，问题转化为求+的最小值，部分学生会毫不犹豫地通分，得+=，回到上述问题，不再赘述. 也有部分学生提出分子和分母都有变量，可以先分离常数，得+=+= -++，问题转化为求+的最小值.

5. “1”的代换，理性分析

有学生提出可以这样换元：令m=1-2x，n=x，2x+y=1转化为m+2n=1，求+的最小值. 此时学生异口同声说道：把“1”用m+2n=1代换处理. 即+=

+=+++2≥+2+2=，当且仅当=，即x=时取等号.

还可以引导学生分析式子+，可知其分母的和为1-2x+x=1-x，不是定值，但通过配凑可得1-2x+2x=1，所以+=+=+2=+++2≥+2=，当且仅当x=时取等号.

上述两种方法都涉及“1”的代换，到此绝大多数学生能想到+中的“1”也可代换计算，运算量比较小. 其实类似题在平时教学中都有所涉及，比如“已知2a+b=1，求+的最小值”，学生看到这个题目感觉非常熟悉，而看到+就容易把“1”的代换抛到九霄云外去，究其原因是学生没有理解和把握“1”的代换的本质，平时做题时都是机械刷题，在记忆中做题，在做题中记忆，将数学知识、方法、思想文科化和机械化，只会感性做题，不会理性分析题目. 遇到背景稍微新一点或与平时练习背景不同的题目时，就不能游刃有余地解决相关问题.

课后：总结反思，助力成长

1. 通过联系，提升学生思维的深刻性

在高中数学学习的起始阶段的高一来说，对于题目的评讲，不能就题讲题，仅仅把解题过程搬到黑板上去，而是需要引导学生理性分析、耐心思考，促使他们探索不同的求解途径，并在此过程中深化对相关知识点的认知，厘清知识内在联系与区别，比较不同方法的优劣，寻找各个解法的共同点，让学生能够“举三反一”和“举一反三”，寻找各个解法的不同点，根据解法的差异，引导学生探究必要调整的路径，包括进一步思考如何简化运算等. 通过学生总结和反思五个解法，逐步建立结构性的认识;通过批改作业和跟学生交流，分析学生的认知特点，带领学生突破逻辑结构的局限性. “数学基础知识的教学，不应求全，而应求联”，教学中要充分利用这个“联”给学生留下深刻的印象，努力提升学生的思维品质.

2. 通过变化，培养学生思维的灵活性

学生没有一步到位利用“1”的代换求解第3题，其根本原因是学生对基本的减元和分参问题的解决没有完全掌握. 因此，教学中先设置相关的简单问题，然后尽可能使用完善的方法和能够推广的方法来解决它们. 同时重视研究视角的拓宽或改变，善于跳出原先的思考路径，并从不同角度进行分析和思考. 虽然评讲一道题需要一堂课，但是通过一道题的讲解、变化、延伸、拓展，以及师生互动、探讨、修正，能够带领学生真正学到知识. 引导学生研究“什么变了，什么没变”，让学生善于“从变化中抓不变”和“从不变中抓变化”，培养学生思维的灵活性.

3. 总结、反思、再认识

评讲结束后，教师应留下足够的时间让学生订正、整理，反思、总结，促使学生分析、评估解题活动（包含解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题过程中的作用等），调整解题过程（包含纠正错误）;促使学生以后遇到同类题，能够自我意识到“选择怎样的一条解题途径”“选择的解题途径是否可行”“选择的解题途径是否最好”“是否有更好的解题途径”“采用的解题途径是否可以彻底解决问题或能否对此起到很大的促进作用”等等. 通过这样的总结与再认识，进一步发展和优化自己的认知，真正做到“化多为少”“化复杂为简单”，从而实现认识的发展和优化，由局部性认识发展到整体性认识.

4. 乐于思考、善于思考

部分学生不管在平时练习还是考试中，拿到题目就下手，不作任何的预判和思考，做题就像踩西瓜皮，滑到哪里算到哪里，甚至不知道对在哪里，也不知道错在哪里，做题没有任何活动经验，更谈不上思维的清晰性、条理性、严密性与自觉性. 教师教学中应立足具体的数学活动，比如具体的解题过程中，带领学生进行数学思维分析，通过具体的知识内容和解题过程提升学生的思维品质. 在思维分析的前提下，不管计算的繁简度如何，带领学生将运算进行到底，以便学生较好地做到“胸中有数”，并能乐于计算、乐于数量分析，善于计算、善于数量分析，形成良好的“数感”促进学生思维的发展，提升学生的思维品质，培养学生“乐于思考、勤于思考、善于思考”的习惯.

“数学是思维的体操”，深度学习是一种面向高阶思维的学习，构建深度学习的高中数学课堂时，要将教学模式创新的重点放在“学习”和“深度”两个词上，促使课堂教学从灌输式教学向以学生为中心的生本教学转变. 当然，让学生“走进深度学习”比“机械刷题”要复杂得多、花费更多的时间，需要教师对解题和教材有更深入的研究，以便面对复杂的数学问题，教师能通过多种方式进行处理，使其更加简单化，更加符合学生认识规律和学习能力发展规律，切实提高学生的思维、能力和核心素养，最终培养高质量创新性人才.